资源描述
直线与方程
一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)
1．(2021·嘉兴高一检测)点A(2，－3)关于点B(－1,0)的对称点A′的坐标是( )
A．(－4,3) B．(5，－6)
C．(3，－3) D.
解析：选A 设A′(x′，y′)，由题意得
即
2．已知直线l的方程为y＝－x＋1，则直线l的倾斜角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．135°
解析：选D 由题意知k＝－1，故倾斜角为135°.
3． 点(1,1)到直线x＋y－1＝0的距离为( )
A．1 B．2
C. D.
解析：选C 由点到直线的距离公式d＝＝.
4．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于P、Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为( )
A. B．－
C．3 D．－3
解析：选B 设P(a,1)，Q(7，b)，则有
∴故直线l的斜率为＝－.a＝－5.
5．过点(－1,3)且平行于直线x－2y＋3＝0的直线方程为( )
A．x－2y＋7＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x－2y－5＝0 D．2x＋y－5＝0
解析：选A ∵直线x－2y＋3＝0的斜率为，
∴所求直线的方程为y－3＝(x＋1)，
即x－2y＋7＝0.
6．若直线mx＋ny＋3＝0在y轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线x－y＝3的倾斜角的2倍，则( )
A．m＝－，n＝1 B．m＝－，n＝－3
C．m＝，n＝－3 D．m＝，n＝1
解析：选D 依题意得－＝－3，－＝tan 120°＝－，得m＝，n＝1.
7．和直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为( )
A．3x＋4y＋5＝0 B．3x＋4y－5＝0
C．－3x＋4y－5＝0 D．－3x＋4y＋5＝0
解析：选A 设所求直线上的任一点为(x，y)，则此点关于x轴对称的点的坐标为(x，－y)，由于点(x，－y)在直线3x－4y＋5＝0上，所以3x＋4y＋5＝0.
8．若三点A(3,1)，B(－2，b)，C(8,11)在同始终线上，则实数b等于( )
A．2 B．3
C．9 D．－9
解析：选D 由题意知kAB＝kBC
即＝，解得b＝－9.
9．将一张坐标纸折叠一次，使点(10,0)与(－6,8)重合，则与点(－4,2)重合的点是( )
A．(4，－2) B．(4，－3)
C. D．(3，－1)
解析：选A 由已知知以(10,0)和(－6,8)为端点的线段的垂直平分线的方程为y＝2x，则(－4,2)关于直线y＝2x的对称点即为所求点．设所求点为(x0，y0)，则解得
10．设点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过P(1,1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是( )
A．k≥，或k≤－4 B．－4≤k≤
C．－≤k≤4 D．以上都不对
解析：选A 由题意知kAP＝＝－4，
kBP＝＝.由斜率的特点并结合图形可知k≥，或k≤－4.
二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)
11．已知点A(2,1)，B(－2,3)，C(0,1)，则△ABC中，BC边上的中线长为________．
解析：BC中点为即(－1,2)，所以BC边上中线长为＝.
答案：
12．经过点A(1,1)且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的直线方程是________．
解析：当直线过原点时，满足要求，此时直线方程为x－y＝0；
当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1，由于点(1,1)在直线上，所以a＝2，此时直线方程为
x＋y－2＝0.
答案：x－y＝0或x＋y－2＝0
13．过点A(2,1)的全部直线中，距离原点最远的直线方程为____________．
解析：如右图，只有当直线l与OA垂直时，原点到l的距离最大，此时kOA＝，则kl＝－2，所以方程为y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0.
答案：2x＋y－5＝0
14．已知点A(4，－3)与B(2，－1)关于直线l对称，在l上有一点P，使点P到直线4x＋3y－2＝0的距离等于2，则点P的坐标是____________．
解析：由题意知线段AB的中点C(3，－2)，kAB＝－1，故直线l的方程为y＋2＝x－3，即y＝x－5.设P(x，x－5)，则2＝，
解得x＝1或x＝.
即点P的坐标是(1，－4)或.
答案：(1，－4)或
三、解答题(共4小题，共50分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)(2022·绍兴高二检测)已知直线l的倾斜角为135°，且经过点P(1,1)．
(1)求直线l的方程；
(2)求点A(3,4)关于直线l的对称点A′的坐标．
解：(1)∵k＝tan 135°＝－1，
∴l：y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
(2)设A′(a，b)，
则解得a＝－2，b＝－1，
∴A′的坐标为(－2，－1)．
16．(本小题满分12分)已知两条直线l1：x＋m2y＋6＝0，l2：(m－2)x＋3my＋2m＝0 ，当m为何值时，l1与l2(1)相交；(2)平行；(3)重合？
解：当m＝0时，l1：x＋6＝0，l2：x＝0，∴l1∥l2.
当m＝2时，l1：x＋4y＋6＝0，l2：3y＋2＝0，∴l1与l2相交．
当m≠0且m≠2时，由＝得m＝－1或m＝3，由＝，得m＝3.
故(1)当m≠－1且m≠3且m≠0时，l1与l2相交．
(2)当m＝－1或m＝0时，l1∥l2.
(3)当m＝3时，l1与l2重合．
17．(本小题满分12分)如图，已知点A(2,3)，B(4,1)，△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x－2y＋2＝0上．
(1)求AB边上的高CE所在直线的方程；
(2)求△ABC的面积．
解：(1)由题意可知，E为AB的中点，
∴E(3,2)，且kCE＝－＝1，
∴CE所在直线方程为：y－2＝x－3，即x－y－1＝0.
(2)由得C(4,3)，∴|AC|＝|BC|＝2，AC⊥BC，
∴S△ABC＝|AC|·|BC|＝2.
18．(本小题满分14分)如图所示，在△ABC中，BC边上的高所在直线l的方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1,2)，求点A和点C的坐标．
解：由方程组解得顶点A(－1,0)．
又AB的斜率为kAB＝1，且x轴是∠A的平分线，故直线AC的斜率为－1，AC所在直线的方程为y＝－(x＋1)．
已知BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，故BC的斜率为－2，BC所在直线的方程为y－2＝－2(x－1)．
解方程组
得顶点C的坐标为(5，－6)．
所以点A的坐标为(－1,0)，点C的坐标为(5，－6)．
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