【1对1】2021年高中数学学业水平考试专题综合检测-模拟试卷(十一).docx

11　高中学业水平考试《数学》模拟试卷(十一)
一、选择题(本大题共25小题，第1～15题每小题2分，第16～25题每小题3分，共60分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分)
1. 设全集U＝{1，2，3，4，5}，已知A＝{1，2，3}, B＝{2，5}，则A∩(∁UB)等于(　　)
A. {2} B. {2，3} C. {3} D. {1，3}
2. 下列函数中，周期为π的奇函数是(　　)
A. y＝sin x B. y＝sin 2x C. y＝tan 2x D. y＝cos 2x
3. 若一条直线的倾斜角的正弦值为，则此直线的斜率为(　　)
A. B. ± C. D. ±
4. 下列命题正确的是(　　)
A. ac＞bc⇒a＞b B. a2＞b2⇒a＞b C. ＞⇒a＜b D. ＜⇒a＜b
5. 函数y＝log(1－3x)的定义域是(　　)
A. B. C. D.
6. 已知抛物线y2＝2px的焦点坐标为(2，0)，则p的值等于(　　)
A. 2 B. 1 C. 4 D. 8

(第7题)
7. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是(　　)
A.
B.
C.
D. 1
8. 圆x2＋y2－6y－16＝0的半径等于(　　)
A. 16 B. 5
C. 4 D. 25
9. 若数列{an}为等差数列，且a2＋a5＋a8＝39，则a1＋a2＋…＋a9的值为(　　)
A. 117 B. 114 C. 111 D. 108
10. 下列函数中，在区间(0，＋∞)上为减函数的是(　　)
A. y＝－ B. y＝4x
C. y＝logx D. y＝x2－2x＋3
11. 若则目标函数z＝x＋2y的取值范围是(　　)
A. [2，6] B. [2，5] C. [3，6] D. [3，5]
12. 已知两条直线m，n与两个平面α，β，下列命题正确的是(　　)
A. 若m∥α，n∥α，则m∥n B. 若m∥α，m∥β，则α∥β
C. 若m⊥α，m⊥β，则α∥β D. 若m⊥n ，m⊥β，则n∥β
13. 在△ABC中，∠B＝135°，∠C＝15°，a＝5，则此三角形的最大边长为(　　)
A. 5 B. 4 C. 5 D. 4
14. 已知过点P(2，2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a的值为(　　)
A. － B. 1 C. 2 D.
15. 已知数列{an}的前n项和Sn＝，则a3＝(　　)
A. B. C. D.
16. 已知向量a＝(1，2)，向量b ＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x等于(　　)
A. －4 B. 4 C. 0 D. 9
17. 点P(a，b，c)到坐标平面xOz的距离是(　　)
A. B. C. D.
18. 方程lg x＝8－2x的根x∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝(　　)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
19. 已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则椭圆C的方程是(　　)
A. ＋＝1 B. ＋＝1
C. ＋＝1 D. ＋＝1

(第20题)

20. 如图，E，F分别是三棱锥P－ABC的棱AP，BC的中点，PC＝10，AB＝6，EF＝7，则异面直线AB与PC所成角的大小为(　　)
A. 60° B. 45°
C. 0° D. 120°
21. “m＝”是“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0垂直”(　　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
22. 已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外， 则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)
A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不确定
23. 把函数y＝cos(x＋)的图象向右平移θ(θ>0)个单位，所得的图象关于y轴对称，则θ的最小值为(　　)
A. B. C. D.
24. 已知椭圆＋＝1和双曲线－＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是(　　)
A. x＝±y B. y＝±x
C. x＝±y D. y＝±x
25. 不等式>22ax＋a对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是(　　)
A. (1，4) B. (－4，－1)
C. (－∞，－4)∪(－1，＋∞) D. (－∞，1)∪(4，＋∞)
二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)
26. sin 23°cos 37°＋cos 23°cos 53°＝________．
27. 命题“全部实数的平方都是正数”的否命题为______________________________．
28. 设f(x)是R上的奇函数，且当x∈时， f(x)＝x2－2x，则f(－2)＝________．
29. 已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点， 且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为______________．
30. 已知圆O：x2＋y2＝5，直线l：xcos θ＋ysin θ＝1(0<θ<)．设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则k＝________．
三、解答题(本大题共4小题，第31，32题每题7分，第33，34题每题8分，共30分)
31. (本题7分)在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，cos＝.
(1)求cos B的值；
(2)若·＝2，b＝2，求和c的值．

32. (本题7分，有A、B两题，任选其中一题完成，两题都做，以A题计分)
(A)如图， 在底面是菱形的四棱锥P－ABCD，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝a，点E是PD的中点．求证：
(1)PA⊥平面ABCD；
(2)PB∥平面EAC.
,[第32题(A)])　　　　,[第32题(B)])
(B)已知正方形的边长为2，AC与BD交于点O.将正方形ABCD沿对角线折起，使AC＝a，得到三棱锥A－BCD，如图所示.
(1)当a＝2时，求证：AO⊥平面BCD；
(2)当二面角A－BD－C的大小为120°时，求二面角A－BC－D的正切值．

33. (本题8分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且3an＋1＋2Sn＝3(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记S＝，若对任意正整数n，kS≤Sn恒成立，求实数k的最大值．

34. (本题8分)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的离心率为，圆O以原点为圆心，半径等于椭圆C1的短半轴长，且直线l：y＝x＋2与圆O相切．
(1)求椭圆C1的方程；
(2)设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直于l1，垂足为点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；
(3)若AC，BD是经过椭圆C1右焦点F2的两条相互垂直的弦，求四边形ABCD面积的最小值．

11　2022高中学业水平考试《数学》
模拟试卷(十一)
1. D　2. B　3. B　4. D　5. D　6. C　7. B
8. B　9. A　10. C　11. A　12. C　13. C　14. C
15. A　16. D　17. C　18. B　19. D　20. A
21. A　22. B　23. B
24. D　[提示：由双曲线－＝1可知焦点在x轴上，且c2＝2m2＋3n2.又∵椭圆＋＝1和双曲线具有相同的焦点，∴c2＝3m2－5n2，∴2m2＋3n2＝3m2－5n2，化简得m2＝8n2，而渐近线的斜率k＝±＝±，故选D.]
25. B　[提示：不等式>22ax＋a对一切实数x都成立等价于2x2－4x>22ax＋a，∴x2－4x>2ax＋a，即x2－(4＋2a)x－a>0，∴Δ＝(2a＋4)2＋4a≤0，解得－1<a<4.]
26. 　27. 存在一个实数的平方不是正数　28. 0
29. x2－＝1　[提示：由抛物线y2＝8x可知c＝2.又∵e＝2，∴a＝1，则b2＝3，故双曲线的方程为x2－＝1.]
30. 4　[提示：由圆心到直线的距离d＝＝1<r＝，可知满足条件的点有4个．]
31. 解：(1)∵cos＝，∴sin＝sin(－)＝，cos B＝1－2sin2＝.
(2)由·＝2可得a·c·cos B＝2.又∵cos B＝，∴ac＝6.由b2＝a2＋c2－2accos B可得a2＋c2＝12，∴(a－c)2＝0，∴a＝c，∴a＝c＝.
32. (A)证明：(1)∵底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，∴AB＝BC＝CD＝DA＝AC＝a.∵PA＝AC，∴PA＝AB＝a，PB＝a，∴PA⊥AB，同理可证PA⊥AD.又∵AB∩AD＝A，∴PA⊥平面ABCD.
(2)连接AC，BD相交于O，则O为BD的中点．∵E为PD的中点，∴PB∥OE.又∵OE⊂平面EAC，PB⊄平面EAC，∴PB∥平面EAC.

(第32题)

(B)(1)证明：依据题意，在△AOC中，AC＝a＝2，AO＝CO＝，∴AC2＝AO2＋CO2，∴AO⊥CO.又∵AO⊥BD，BD∩CO＝O，所以AO⊥平面BCD.
(2)由(1)知，CO⊥OD，以O为原点，OC，OD所在的直线分别为x轴，y轴建立如图的空间直角坐标系Oxyz，则有O，C，B.设A，则＝，＝.平面ABD的法向量为n＝(z0，0，－x0)．平面BCD的法向量为m＝(0，0，1)，且二面角A－BD－C的大小为120°，∴＝＝，得z02＝3x02.∵OA＝，∴＝.解得x0＝－，z0＝.∴A.平面的法向量为l＝(1，－1，)．设二面角的平面角为θ，∴cosθ＝|cos〈l，m〉|＝＝.∴tan θ＝.∴二面角的正切值为.
33. 解：(1)∵3an＋1＋2Sn＝3(n∈N*)，①
当n≥2时，3an＋2Sn－1＝3(n∈N*)．②
①－②化简得＝(n≥2)，
又∵a1＝1，3a2＋2a1＝3，解得a2＝，∴数列{an}是首项为1，公比为的等比数列， 故an＝()n－1.
(2)由(1)知Sn＝＝＝[1－()n]．
又∵对任意n∈N*恒有k≤[1－()n]，得k≤1－()n.
∵数列{1－()n}单调递增，∴a1＝为数列中的最小项，∴必有k≤，
即实数k的最大值为.
34. 解：(1)由于e＝，所以＝＝，得2a2＝3b2.又直线l：y＝x＋2与圆x2＋y2＝b2相切，则＝b，得b＝，所以a2＝3.因此所求椭圆C1的方程为＋＝1.
(2)由题意得＝，故动点M到定直线l1：x＝－1的距离等于它到定点F2(1，0)的距离，所以动点M的轨迹C2是以l1为准线，F2为焦点的抛物线．因此所求点M的轨迹方程C2为y2＝4x.
(3)当直线AC的斜率存在且不为零时，设直线AC的斜率为k，A(x1，y1)，C(x2，y2)，则直线AC的方程为y＝k(x－1)．由得(2＋3k2)x2－6k2x＋3k2－6＝0，由韦达定理得x1＋x2＝，x1x2＝.
故|AC|＝＝＝.
由于直线BD的斜率为－，用－代换上式中的k可得|BD|＝.
由于AC⊥BD，所以四边形ABCD的面积为S＝|AC|·|BD|＝，
由于(2k2＋3)(2＋3k2)≤[()2＝[]2，所以S≥，
当2k2＋3＝2＋3k2，即k＝±1时取等号.
易知，当直线AC的斜率不存在或斜率为零时，四边形ABCD的面积S＝4.
综上可得，四边形ABCD面积的最小值为.