2020-2021学年高中数学(北师大版)必修二单元质量评估2-第二章.docx

温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。单元质量评估 (二)其次章(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(2022银川高一检测)与直线y=-2x+3平行，且与直线y=3x+4交于x轴上的同一点的直线方程是()A.y=-2x+4B.y=12x+4C.y=-2x-83D.y=12x-83【解析】选C.y=3x+4与x轴交点为-43,0，又与直线y=-2x+3平行，故所求直线方程为y=-2x+43，即y=-2x-83，故选C.2.若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0相互垂直，则实数m的值为()A.1B.-1C.1或-1D.-4【解析】选A.由于两直线x-2y+5=0与2x+my-6=0相互垂直.所以12+(-2)m=0即m=1.【变式训练】已知两直线l1：x+m2y+6=0，l2：(m-2)x+3my+2m=0，若l1l2，则实数m的值为()A.0或3B.-1或3C.0或-1或3D.0或-1【解析】选D.(1)当m=0时，l1：x+6=0，l2：x=0，l1l2；(2)当m0时，l1：y=-1m2x-6m2，l2：y=2-m3mx-23，由-1m2=2-m3m且-6m2-23，所以m=-1.故所求实数m的值为0或-1.3.(2022蚌埠高一检测)与圆x2+y2-ax-2y+1=0关于直线x-y-1=0对称的圆的方程是x2+y2-4x+3=0，则a=()A.0B.1C.2D.3【解题指南】先确定圆x2+y2-4x+3=0的圆心，求圆心关于直线x-y-1=0的对称点，即为圆x2+y2-ax-2y+1=0的圆心.【解析】选C.x2+y2-4x+3=0化为标准形式为(x-2)2+y2=1，圆心为(2，0)，由于(2，0)关于直线x-y-1=0对称的点为(1，1)，所以x2+y2-ax-2y+1=0的圆心为(1，1).由于x2+y2-ax-2y+1=0，即为x-a22+(y-1)2=a24，圆心为a2,1，所以a2=1，即a=2.【一题多解】本题还可以使用以下方法求解：x2+y2-4x+3=0的圆心为M(2，0)，x2+y2-ax-2y+1=0的圆心为Na2,1，MN的中点4+a4,12在直线x-y-1=0上，所以4+a4-12-1=0，所以a=2.4.已知点A(1，3)，B(-2，-1).若过点P(2，1)的直线l与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是()A.k12B.k-2C.k12或k-2D.-2k12【解析】选D.过点P(2，1)的直线可以看作绕P(2，1)进行旋转运动，通过画图可求得k的取值范围.由已知直线l恒过定点P(2，1)，如图.若l与线段AB相交，则kPAkkPB，由于kPA=-2，kPB=12，所以-2k12.5.(2022阜阳高一检测)过点M(1，2)的直线l与圆C：(x-2)2+y2=9交于A，B两点，C为圆心，当ACB最小时，直线l的方程为()A.x=1B.y=1C.x-y+1=0D.x-2y+3=0【解析】选D.当CMl，即弦长最短时，ACB最小，所以klkCM=-1，所以kl=12，所以l的方程为：x-2y+3=0.6.(2022渭南高一检测)与圆x2+y2-4x+6y+3=0同心且经过点(-1，1)的圆的方程是()A.(x-2)2+(y+3)2=25B.(x+2)2+(y-3)2=25C.(x-2)2+(y+3)2=5D.(x+2)2+(y-3)2=5【解题指南】由于所求的圆与已知圆同心，故它们的圆心坐标一样，所以依据已知圆得到圆心为(2，-3)，设出所求圆的方程，把(-1，1)代入即可求出.【解析】选A.由圆x2+y2-4x+6y+3=0得圆心为(2，-3)，设所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=m，又由于该圆经过点(-1，1)，代入得：m=(-1-2)2+(1+3)2=25，所以所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25.7.若直线y-2=k(x-1)与圆x2+y2=1相切，则切线方程为()A.y-2=34(1-x)B.y-2=34(x-1)C.x=1或y-2=34(1-x)D.x=1或y-2=34(x-1)【解析】选B.圆心坐标为(0，0)，到直线的距离等于半径1，即|2-k|1+k2=1，所以k=34.【误区警示】本题简洁错选D，要留意已知条件中直线的表达式是点斜式，说明直线的斜率存在，x=1虽是圆的切线，但斜率不存在.8.(2021新课标全国卷)已知点A(-1，0)，B(1，0)，C(0，1)，直线y=ax+b(a0)将ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是()A.(0，1)B.1-22,12C.1-22,13D.13,12【解析】选B.由题意画出图形，如图(1).由图可知，直线BC的方程为x+y=1.由x+y=1,y=ax+b,解得M1-ba+1,a+ba+1.可求N(0，b)，D-ba,0.由于直线y=ax+b将ABC分割为面积相等的两部分，所以SBDM=12SABC.又SBOC=12SABC，所以SCMN=SODN，即12-bab=12(1-b)1-ba+1.整理得b2a=(1-b)2a+1.所以(1-b)2b2=1+aa，所以1b-1=1+1a，所以1b=1+1a+1，即b=11+1a+1，可以看出，当a增大时，b也增大.当a+时，b12，即b1-22.由上分析可知1-22b0，若AB中有且仅有一个元素，则r的值是_.【解析】据题知集合A中的元素是圆心为坐标原点，半径为2的圆上的任一点坐标，集合B的元素是以(3，4)为圆心，r为半径的圆上的任一点坐标，由于r0，若AB中有且仅有一个元素，则集合A和集合B只有一个公共元素即两圆有且只有一个交点，则两圆相切，圆心距d=R+r或d=R-r；依据公式求出两个圆心的距离为5，一圆半径为2，则r=3或7.答案：3或715.(2022湖北高考)直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆C：x2+y2=1分成长度相等的四段弧，则a2+b2=_.【解析】依题意，圆心(0，0)到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的14，圆心到l1：y=x+a的距离为|01+0(-1)+a|12+(-1)2，圆心到l2：y=x+b的距离为|01+0(-1)+b|12+(-1)2，即|a|2=|b|2，|a|2=cos45=22，所以a2=b2=1，故a2+b2=2.答案：2【误区警示】解答本题时简洁毁灭的问题是不能把“将单位圆C：x2+y2=1分成长度相等的四段弧”用数学语言表示出来.三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)推断以A(10，-1，6)，B(4，1，9)，C(2，4，3)三点为顶点的三角形的外形.【解析】依据空间两点间距离公式，得|AB|=(10-4)2+(-1-1)2+(6-9)2=7，|BC|=(4-2)2+(1-4)2+(9-3)2=7，|AC|=(10-2)2+(-1-4)2+(6-3)2=72.由于|AB|2+|BC|2=|AC|2，且|AB|=|BC|，所以ABC是等腰直角三角形.【举一反三】题干中A，B，C顶点坐标不变，则三角形的面积是多少？【解析】由两点间的距离公式得|AB|=7，|BC|=7，|AC|=72，于是|AB|=|BC|，|AC|2=|AB|2+|BC|2，所以ABC是等腰直角三角形.SABC=12|AB|BC|=492.17.(12分)(2022深圳高一检测)已知圆C：x2+y2-4x-14y+45=0，及点Q(-2，3).(1)P(a，a+1)在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率.(2)若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值.【解析】(1)由于点P(a，a+1)在圆上，所以a2+(a+1)2-4a-14(a+1)+45=0，所以a=4，P(4，5)，所以|PQ|=(4+2)2+(5-3)2=210，kPQ=3-5-2-4=13.(2)由于圆心C坐标为(2，7)，所以|QC|=(2+2)2+(7-3)2=42，圆的半径是22，点Q在圆外，所以|MQ|max=42+22=62，|MQ|min=42-22=22.18.(12分)有一圆与直线l：4x-3y+6=0相切于点A(3，6)，且经过点B(5，2)，求此圆的方程.【解析】方法一：由题意可设所求的方程为(x-3)2+(y-6)2+(4x-3y+6)=0，又由于此圆过点(5，2)，将坐标(5，2)代入圆的方程求得=-1，所以所求圆的方程为x2+y2-10x-9y+39=0.方法二：设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，则圆心为C(a，b)，由|CA|=|CB|，CAl，得(3-a)2+(6-b)2=(5-a)2+(2-b)2,(5-a)2+(2-b)2=r2,b-6a-343=-1,解得a=5,b=92,r2=254,所以所求圆的方程为(x-5)2+y-922=254.方法三：设圆心为C，则CAl，又设AC与圆的另一交点为P，则CA的方程为y-6=-34(x-3)，即3x+4y-33=0.又由于kAB=6-23-5=-2，所以kBP=12，所以直线BP的方程为x-2y-1=0.解方程组3x+4y-33=0,x-2y-1=0,得x=7,y=3.所以P (7，3).所以圆心C为AP的中点5,92，半径为|AC|=52.所以所求圆的方程为(x-5)2+y-922=254.【拓展延长】直线与圆的位置关系(1)争辩直线与圆的位置关系，要联系圆的几何特性，尽可能地简化运算，如“垂直于弦的直径必平分弦”“圆的切线垂直于过切点的半径”“两圆相交时连心线必垂直平分其公共弦”等.在解题时应留意机敏运用.(2)直线与圆相交是解析几何中的一类重要问题，解题时留意运用“设而不求”的技巧.另外，涉及弦的最长、最短问题时要考虑圆的有关性质.19.(12分)一束光线l自A(-3，3)发出，射到x轴上，被x轴反射后与圆C：x2+y2-4x-4y+7=0有公共点.(1)求反射光线通过圆心C时，光线l所在直线的方程.(2)求在x轴上，反射点M的横坐标的取值范围.【解题指南】圆心C关于x轴的对称点为C，过点A，C的直线的方程即为光线l所在直线的方程.点A关于x轴的对称点为A，求出过点A的圆C的两条切线可以得到x轴上反射点M的横坐标的取值范围.【解析】圆C的方程可化为(x-2)2+(y-2)2=1.(1)圆心C关于x轴的对称点为C(2，-2)，过点A，C的直线的方程x+y=0，即为光线l所在直线的方程.(2)点A关于x轴的对称点为A(-3，-3)，设过点A的直线为y+3=k(x+3).当该直线与圆C相切时，有|2k-2+3k-3|1+k2=1，解得k=43或k=34，所以过点A的圆C的两条切线分别为y+3=43(x+3)，y+3=34(x+3).令y=0，得x1=-34，x2=1，所以在x轴上反射点M的横坐标的取值范围是-34,1.20.(13分)过原点O作圆C：x2+y2+6x=0的弦OA.(1)求弦OA中点M的轨迹方程.(2)延长OA到N，使|OA|=|AN|，求N点的轨迹方程.【解析】(1)圆C：x2+y2+6x=0可化为(x+3)2+y2=9，连接CM，则CMOA，所以点M的轨迹是以OC为直径的圆(不含原点)，其圆心为-32,0，半径为32，所以弦OA中点M的方程为x+322+y2=94，即x2+y2+3x=0(x0).(2)设点D为圆C与x轴的另一交点，连接ND，AC，由于A，C分别为NO，DO的中点，所以|ND|=2|AC|=6，所以N点的轨迹是以D(-6，0)为圆心，半径为6的圆(不含原点)，其方程为(x+6)2+y2=36，即x2+y2+12x=0(x0).21.(14分)(2022江苏高考)如图，为了疼惜河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形疼惜区.规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；疼惜区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸)，tanBCO=43.(1)求新桥BC的长.(2)当OM多长时，圆形疼惜区的面积最大？【解析】(1)如图，以OC，OA为x，y轴建立直角坐标系，则C(170，0)，A(0，60).由题意，kBC=-43，直线BC的方程为y=-43(x-170)，又kAB=-1kBC=34，故直线AB的方程为y=34x+60.由y=-43(x-170),y=34x+60,解得x=80,y=120.即B(80，120)，所以|BC|=(80-170)2+1202=150(m).(2)设OM=t，即M(0，t)，0t60，由(1)直线BC的一般方程为4x+3y-680=0，圆M的半径为r=|3t-680|5，由题意知r-t80,r-(60-t)80,由于0t60，因此r=|3t-680|5=680-3t5=136-35t，所以136-35t-t80,136-35t-(60-t)80,所以10t35，所以当t=10时，r取得最大值130m，此时圆形疼惜区的面积最大.关闭Word文档返回原板块