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其次章测试
时间120分钟 满分150分
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在下列四个选项中，只有一项是符合题意的)
1．已知点P(－，1)，点Q在y轴上，且直线PQ的倾斜角为120° ，则Q点的坐标为( )
A．(0,2) B．(0，－2)
C．(2,0) D．(－2,0)
解析 设Q(0，y)，由k＝＝－，得y＝－2.
答案 B
2．已知两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1相互垂直，则a等于( )
A．2 B．1
C．0 D．－1
解析 由题意，得a(a＋2)＝－1，得a＝－1.
答案 D
3．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为( )
A．0 B．－8
C．2 D．10
解析 由＝－2，得m＝－8.
答案 B
4．若点A是点B(1,2,3)关于x轴对称的点，点C是点D(2，－2,5)关于y轴对称的点，则|AC|＝( )
A．5 B.
C．10 D.
解析 A(1，－2，－3)，C(－2，－2，－5)代两点间距离公式即可．
答案 B
5．直线y＋4＝0与圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是( )
A．相切
B．相交，但直线不经过圆心
C．相离
D．相交且直线经过圆心
答案 A
6．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形直角顶点P的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝4(x≠±2) B．x2＋y2＝4
C．x2＋y2＝2(x≠±2) D．x2＋y2＝2
解析 由题可知，点P的轨迹是以MN为直径的圆(除去M、N两点)，∴点P的轨迹方程是x2＋y2＝4(x≠±2)．
答案 A
7．若直线3x＋2y－2m－1＝0与直线2x＋4y－m＝0的交点在第四象限，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－2) B．(－2，＋∞)
C. D.
解析 由得
由题意，得得m＞－.
答案 D
8．已知圆C的方程为x2＋y2－4x＝0，若圆C被直线l：x＋y＋a＝0截得的弦长为2，则a＝( )
A．2＋ B.
C．2± D．－2±
解析 由弦长公式，得3＝4－2，
得a＝－2±.
答案 D
9．将直线2x－y＋λ＝0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与x2＋y2＋2x－4y＝0相切，则实数λ的值为( )
A．－3或7 B．－2或8
C．0或10 D．1或11
解析 将直线平移后得到y＝2(x＋1)＋λ＝2x＋2＋λ，
由题可知，＝，
得λ＝－3，或λ＝7，故选A.
答案 A
10．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则a的值为( )
A．－2或2 B.或
C．2或0 D．－2或0
解析 圆的圆心(1,2)，∴d＝＝，得a＝0，或a＝2.
答案 C
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)
11．当a为任意实数时，直线ax－y＋1－3a＝0恒过定点________．
解析 原方程可化为a(x－3)－(y－1)＝0，∴直线l过(3,1)．
答案 (3,1)
12．直线x－2y＋5＝0与圆x2＋y2＝8相交于A，B两点，则|AB|＝________.
解析 圆心到该直线的距离d＝＝，
∴弦长＝2＝2.
答案 2
13．两圆相交于两点(1,3)和(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，且m、c均为实数，则m＋c＝________.
解析 依据两圆相交的性质可知，两点(1,3)和(m，－1)的中点在直线x－y＋c＝0上，并且过两点的直线与x－y＋c＝0垂直，故有
∴m＝5，c＝－2，∴m＋c＝3.
答案 3
14．若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段PQ的垂直平分线l的斜率为________；圆(x－2)2＋(y－3)2＝1关于直线l对称的圆的方程为________．
解析 ∵kPQ＝＝1，又kl·kPQ＝－1
∴kl＝－1，又(2,3)关于l的对称点为(0,1)，
故所求的圆的方程为x2＋(y－1)2＝1.
答案 －1 x2＋(y－1)2＝1
15．过圆x2＋y2－x＋y－2＝0与x2＋y2＝5的交点，且圆心在直线3x－4y－1＝0上的圆的方程为________．
解析 设所求的圆的方程为x2＋y2－x＋y－2＋
λ(x2＋y2－5)＝0，即
(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2－x＋y－2－5λ＝0.
∴圆心为.
由－－1＝0，得λ＝－
故所求的圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝13.
答案 (x＋1)2＋(y－1)2＝13
三、解答题(本大题共有6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
16．(12分)已知两条直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0.试确定m，n的值，使
(1)l1和l2相交于点(m，－1)；
(2)l1∥l2；
(3)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.
解 (1)∵m2－8＋n＝0，且2m－m－1＝0，
∴m＝1，n＝7.
(2)由m·m－8×2＝0，得m＝±4，
由8×(－1)－n·m≠0，得n≠±2，
即m＝4，n≠－2时，或m＝－4，n≠2时，l1∥l2.
(3)当且仅当m·2＋8·m＝0，
即m＝0时，l1⊥l2，又－＝－1，∴n＝8.
即m＝0，n＝8时，
l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.
17．(12分)△ABC中，顶点A的坐标为(1,2)，高BE，CF所在直线的方程分别为2x－3y＋1＝0，x＋y＝0，求这个三角形三条边所在直线的方程．
解 由已知，直线AC的斜率为－，
直线AB的斜率为1.
∴直线AC的方程为3x＋2y－7＝0，
直线AB的方程为x－y＋1＝0.
再由可解得C点坐标为(7，－7)．
由可解得B点坐标为(－2，－1) .
于是直线BC的方程为2x＋3y＋7＝0.
18．(12分)已知圆x2＋y2－12x＝0的圆心为Q，过点P(0,2)且斜率为k的直线与圆Q相交于不同两点A，B，求实数k的取值范围．
解 x2＋y2－12x＝0可化为(x－6)2＋y2＝36，又直线过点P(0,2)，斜率为k，故l的方程为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0，由题意，得＜6，得k＜.
∴k的取值范围是.
19．(13分)已知P(1,2)为圆x2＋y2＝9内肯定点，过P点任作直线，与圆相交，求弦的中点的轨迹方程．
解 设过P点的直线与圆相交于A，B两点，C为AB的中点，设C(x，y)，由题意，得
当P与C不重合时，
△OPC为直角三角形，∴C点在以OP为直径的圆上，又OP的中点，
|OP|＝＝，
∴点C的轨迹方程为2＋(y－1)2＝(除去P点)．
又当x＝1，y＝2时上式仍成立，∴点C的轨迹方程为2＋(y－1)2＝.
20．(13分)已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0.
(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；
(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m；
(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．
解 (1)原方程化为(x－1)2＋(y－2)2＝5－m.
∵此方程表示圆，
∴5－m>0.
∴m<5.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＝4－2y1，x2＝4－2y2，
得x1x2＝16－8(y1＋y2)＋4y1y2.
∵OM⊥ON，
∴x1x2＋y1y2＝0.
∴16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0.①
由得
5y2－16y＋m＋8＝0.
∴y1＋y2＝，y1y2＝.
代入①得m＝.
(3)以MN为直径的圆的方程为
(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0，
即x2＋y2－(x1＋x2)x－(y1＋y2)y＝0.
∴所求圆的方程为x2＋y2－x－y＝0.
21．(13分)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，O为坐标原点，动点P在圆外，过点P作圆C的切线，设切点为M.
(1)若点P运动到(1,3)处，求此时切线l的方程；
(2)求满足|PM|＝|PO|的点P的轨迹方程．
解 (1)把圆C的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∴圆心为(－1,2)，半径为2.
①当l的斜率不存在时，l的方程为x＝1满足条件．
②当l的斜率存在时，设斜率为k，则l：y－3＝k(x－1)，即kx－y＋3－k＝0.
由题意，得＝2，得k＝－.
∴l的方程为3x＋4y－15＝0.
综上得，满足条件的切线l的方程为x＝1，或3x＋4y－15＝0.
(2)设P(x，y)，∵|PM|＝|PO|，
∴(x＋1)2＋(y－2)2－4＝x2＋y2.
整理得2x－4y＋1＝0.
即点P的轨迹方程为2x－4y＋1＝0.
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