资源描述
最小二乘估量
教学目标：1、把握最小二乘法的思想
2、能依据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程
教学重点：最小二乘法的思想
教学难点：线性回归方程系数公式的应用
教学过程
回顾：上节课我们争辩了人的身高与右手一拃长之间的线性关系，用了很多种方法来刻画这种线性关系，但是这些方法都缺少数学思想依据。
问题1、用什么样的线性关系刻画会更好一些？
想法：保证这条直线与全部点都近（也就是距离最小）。
最小二乘法就是基于这种想法。
问题2、用什么样的方法刻画点与直线的距离会便利有效？
设直线方程为y=a+bx，样本点A（xi，yi）
方法一、点到直线的距离公式
方法二、
明显方法二能有效地表示点A与直线y=a+bx的距离，而且比方法一更便利计算，所以我们用它来表示二者之间的接近程度。
问题3、怎样刻画多个点与直线的接近程度？
例如有5个样本点，其坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5）与直线y=a+bx的接近程度：
从而我们可以推广到n个样本点：（x1，y1），（x2，y2），…（xn，yn）与直线y=a+bx的接近程度：
使得上式达到最小值的直线y=a+bx就是我们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法
问题4、怎样使达到最小值？
先来争辩3个样本点的状况
设有3个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），则由最小二乘法可知直线y=a+bx与这3个点的接近程度由下面表达式刻画：
…………………①
整理成为关于a的一元二次函数，如下所示：
利用配方法可得
从而当时，使得函数达到最小值。
将代入①式，整理成为关于b的一元二次函数，
同样使用配方法可以得到，当
时，使得函数达到最小值。
从而得到直线y=a+bx的系数a，b，且称直线y=a+bx为这3个样本点的线性回归方程。
用同样的方法我们可以推导出n个点的线性回归方程的系数：
其中
由我们知道线性回归直线y=a+bx肯定过。
例题与练习
例1 在上一节练习中，从散点图可以看出，某小卖部6天卖出热茶的杯数（y）与当天气温（x）之间是线性相关的。数据如下表
气温（xi）／oC
26
18
13
10
4
-1
杯数（yi）／杯
20
24
34
38
50
64
(1)试用最小二乘法求出线性回归方程。
(2)假如某天的气温是－3 oC，请猜测可能会卖出热茶多少杯。
解：（1）先画出其散点图
i
xi
yi
xi2
xiyi
1
26
20
676
520
2
18
24
324
432
3
13
34
169
442
4
10
38
100
380
5
4
50
16
200
6
－1
64
1
－64
合计
70
230
1286
1910
可以求得
则线性回归方程为
y =57.557－1.648x
（2）当某天的气温是－3 oC时，卖出热茶的杯数估量为：
练习1 已知x，y之间的一组数据如下表，则y与x的线性回归方程y=a+bx必经过点 ( D )
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
（A）（2，2） （B）（1.5，0） （C）（1，2） （D）（1.5，4）
练习2 某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：
商店名称
A
B
C
D
E
销售额（x）/千万元
3
5
6
7
9
利润额（y）/百万元
2
3
3
4
5
（１） 画出销售额和利润额的散点图；
（２） 若销售额和利润额具有相关关系，计算利润额y对销售额x的回归直线方程。
解：（1）
（2）数据如下表：
i
xi
yi
xi2
xiyi
1
3
2
9
6
2
5
3
25
15
3
6
3
36
18
4
7
4
49
28
5
9
5
81
45
合计
30
17
200
112
可以求得b=0.5，a=0.4
线性回归方程为：
小结
1、 最小二乘法的思想
2、 线性回归方程的系数：
作业：P60 习题1－8 第1题
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