资源描述
3.1.1 方程的根与函数的零点
一、选择题
1．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)·f(b)<0则方程f(x)＝0在区间[a，b]上( )
A．至少有一实根 B．至多有一实根
C．没有实根 D．必有唯一的实根
[答案] D
2．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x、f(x)对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
123.56
21.45
－7.82
11.57
－53.76
－126.49
函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
[答案] B
3．(2021～2022山东淄博一中高一期中试题)对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)＞0，f(b)＞0，则f(x)在(a，b)上( )
A．确定有零点 B．可能有两个零点
C．确定有没有零点 D．至少有一个零点
[答案] B
[解析] 若f(x)的图象如图所示否定C、D
若f(x)的图象与x轴无交点，满足f(a)>0，f(b)>0，则否定A，故选B.
4．下列函数中，在[1,2]上有零点的是( )
A．f(x)＝3x2－4x＋5 B．f(x)＝x3－5x－5
C．f(x)＝lnx－3x＋6 D．f(x)＝ex＋3x－6
[答案] D
[解析] A：3x2－4x＋5＝0的判别式Δ<0，
∴此方程无实数根，∴f(x)＝3x2－4x＋5在[1,2]上无零点．
B：由f(x)＝x3－5x－5＝0得x3＝5x＋5.
在同一坐标系中画出y＝x3，x∈[1,2]与y＝5x＋5，x∈[1,2]的图象，如图1，两个图象没有交点．
∴f(x)＝0在[1,2]上无零点．
C：由f(x)＝0得lnx＝3x－6，在同一坐标系中画出y＝lnx与y＝3x－6的图象，如图2所示，由图象知两个函数图象在[1,2]内没有交点，因而方程f(x)＝0在[1,2]内没有零点．
D：∵f(1)＝e＋3×1－6＝e－3<0，f(2)＝e2>0，
∴f(1)·f(2)<0.
∴f(x)在[1,2]内有零点．
5．若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是( )
A．－1和 B．1和－
C．和 D．－和－
[答案] B
[解析] 由于f(x)＝x2－ax＋b有两个零点2和3，
∴a＝5，b＝6.∴g(x)＝6x2－5x－1有两个零点1和－.
6．(2010·福建理，4)函数f(x)＝的零点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] C
[解析] 令x2＋2x－3＝0，∴x＝－3或1；
∵x≤0，∴x＝－3；令－2＋lnx＝0，∴lnx＝2，
∴x＝e2>0，故函数f(x)有两个零点．
二、填空题
7．已知函数f(x)＝的零点是2，则2m＝________.
[答案]
[解析] ∵f(x)的零点是2，∴f(2)＝0.
∴＝0，解得m＝－2.∴2m＝2－2＝.
8．函数f(x)＝的零点的个数为________．
[答案] 2
[解析] 当x≤0时，令2x2－x－1＝0，解得x＝－(x＝1舍去)；当x＞0时，令3x－4＝0，解得x＝log34，所以函数f(x)＝有2个零点．
9．对于方程x3＋x2－2x－1＝0，有下列推断：
①在(－2，－1)内有实数根；
②在(－1,0)内有实数根；
③在(1,2)内有实数根；
④在(－∞，＋∞)内没有实数根．
其中正确的有________．(填序号)
[答案] ①②③
[解析] 设f(x)＝x3＋x2－2x－1，则f(－2)＝－1＜0，
f(－1)＝1＞0，
f(0)＝－1＜0，f(1)＝－1＜0，f(2)＝7＞0，
则f(x)在(－2，－1)，(－1,0)，(1,2)内均有零点，即①②③正确．
三、解答题
10．已知函数f(x)＝2x－x2，问方程f(x)＝0在区间[－1,0]内是否有解，为什么？
[解析] 由于f(－1)＝2－1－(－1)2＝－＜0，
f(0)＝20－02＝1＞0，
而函数f(x)＝2x－x2的图象是连续曲线，
所以f(x)在区间[－1,0]内有零点，即方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有解．
11．推断下列函数是否存在零点，假如存在，恳求出．
(1)f(x)＝－8x2＋7x＋1；
(2)f(x)＝x2＋x＋2；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝3x＋1－7；
(5)f(x)＝log5(2x－3)．
[解析] (1)由于f(x)＝－8x2＋7x＋1＝－(8x＋1)(x－1)，令f(x)＝0，解得x＝－或x＝1，所以函数的零点为－和1.
(2)令x2＋x＋2＝0，由于Δ＝12－4×1×2＝－7<0，所以方程无实数根，所以f(x)＝x2＋x＋2不存在零点．
(3)由于f(x)＝＝，令＝0，解得x＝－6，所以函数的零点为－6.
(4)令3x＋1－7＝0，解得x＝log3，所以函数的零点为log3.
(5)令log5(2x－3)＝0，解得x＝2，所以函数的零点为2.
12．(2021～2022北京高一检测)已知二次函数y＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋(3m＋3)有两个零点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围．
[解析] 设f(x)＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋(3m＋3)，如图，有两种状况．第一种状况，解得－2＜m＜－.
其次种状况，此不等式组无解．
综上，m的取值范围是－2＜m＜－.
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