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双基限时练(二十一)
1．函数y＝x3－64x的零点的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 解方程x3－64x＝0知有3个根，∴函数有3个零点．
答案 D
2．若函数y＝f(x)在区间(－2,2)上的图象是连续的，且方程f(x)＝0在(－2,2)上仅有一个实根0，则f(－1)·f(1)的值( )
A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．无法推断
答案 D
3．函数f(x)＝x＋lgx－3的零点所在的大致区间是( )
A. B.
C. D.
解析 ∵f＝＋lg－3＝lg－<0，
f(2)＝2＋lg2－3＝lg2－1<0，
f＝＋lg－3＝lg－<0，f(3)＝3＋lg3－3＝lg3>0，f＝＋lg－3＝＋lg>0，
又f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数，故选C.
答案 C
4．设f(x)＝x3＋bx＋c定义域是[－2,2]，且f(－1)f(1)<0，则方程x3＋bx＋c＝0在[－2,2]内( )
A．有唯一的实数根 B．有两个实数根
C．有3个实数根 D．至少有一个实数根
答案 D
5．已知函数f(x)＝log2x－x，若实数x0是方程f(x)＝0的解，且0<x1<x0，则f(x1)的值( )
A．恒为负 B．等于零
C．恒为正 D．不小于零
解析 由于x0是方程f(x)＝0的解，所以f(x0)＝0，又由于函数f(x)＝log2x－x在(0，＋∞)为增函数，且0<x1<x0，所以有f(x1)<f(x0)＝0.
答案 A
6．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)－2，并且α，β是方程f(x)＝0的两根，则a，b，α，β的大小关系可能是( )
A．a<α<b<β B．α<a<β<b
C．α<a<b<β D．a<α<β<b
解析 f(a)＝－2，f(b)＝－2，而f(α)＝f(β)＝0，如图所示，所以a，b，α，β的大小关系有可能是α<a<b<β，故选C.
答案 C
7．函数f(x)＝lnx－x2＋2x＋5的零点个数为________．
解析 令lnx－x2＋2x＋5＝0得lnx＝x2－2x－5，画图可得函数y＝lnx与函数y＝x2－2x－5的图象有2个交点，即函数f(x)的零点个数为2.
答案 2
8．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下x，f(x)的对应值表：
x
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
f(x)
－1.25
2
2.25
1
－0.25
0
3.25
则函数f(x)的零点个数至少有________个．
解析 观看对应值表可知：在区间(－1.5，－1)，(0,0.5)上和x＝1处各有一个零点，所以至少有3个零点．
答案 3
9．若函数f(x)＝2ax2－x－1在(0,1)上恰有一个零点，则a的取值范围是________．
解析 ∵f(x)＝0在(0,1)上恰有一个解，有下面两种状况：
①f(0)·f(1)<0或②且其解在(0,1)上，
由①得(－1)(2a－2)<0，∴a>1，
由②得1＋8a＝0，即a＝－，
∴方程－x2－x－1＝0，∴x2＋4x＋4＝0，
即x＝－2∉(0,1)应舍去，综上得a>1.
答案 a>1
10．设x0是方程lnx＋x＝4的根，且x0∈(k，k＋1)，求正整数k.
解 设f(x)＝ln x＋x－4，则x0是其零点，f(1)＝ln1＋1－4<0，f(2)＝ln2＋2－4<ln e－2<0，f(3)＝ln 3＋3－4>ln e－1＝0，f(2)·f(3)<0，故x0∈(2,3)，∴k＝2.
11．求证：方程5x2－7x－1＝0的一根在区间(－1,0)，另一个根在区间(1,2)上．
证明 设f(x)＝5x2－7x－1，则f(－1)＝5＋7－1＝11，f(0)＝－1，f(1)＝5－7－1＝－3，f(2)＝20－14－1＝5.
∵f(－1)·f(0)＝－11<0，f(1)·f(2)＝－15<0，且f(x)＝5x2－7x－1在R上是连续不断的，
∴f(x)在(－1,0)和(1,2)上分别有零点，
即方程5x2－7x－1＝0的根一个在区间(－1,0)上，另一个在区间(1,2)上．
12．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.
(1)写出函数y＝f(x)的解析式；
(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．
解 (1)当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
∵y＝f(x)是奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x，
∴f(x)＝
(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，最小值为－1；
∴当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x2－2x＝1－(x＋1)2，最大值为1.
∴据此可作出函数y＝f(x)的图象，如图所示，
依据图象得，
若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，则a的取值范围是(－1,1)．
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