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双基限时练(二十四)
一、选择题
1．已知x>1，则( )
A．x＋>3 B．x＋≥3
C．x＋<3 D．x＋≤3
解析 x＋＝x－1＋＋1≥3，当且仅当x－1＝，即x＝2时等号成立．
答案 B
2．下列求最值的过程中正确的是( )
A．若0<x<π，则y＝sinx＋≥2 ＝2，ymin＝2
B．若0<x<π，则y＝sinx＋＝2＋2≥2，ymin＝2
C．若x>0，则y＝2＋x＋≥2＋2 ＝6，
ymin＝6
D．当0<x<1时，y＝x(4－x)≤2＝4，
ymax＝4
解析 A、B、D中等号成立的条件不具备．
答案 C
3．下列函数中，最小值为4的函数是( )
A．y＝x＋
B．y＝sinx＋(0<x<π)
C．y＝ex＋4e－x
D．y＝log3x＋logx81
解析 ∵ex＋4e－x≥2＝4.
当且仅当ex＝4e－x，即ex＝2时等号成立，故选C.
答案 C
4．已知x>0，y>0，lg2x＋lg8y＝lg2，则＋的最小值为( )
A．2 B．2
C．4 D．2
解析 由题可知2x·8y＝2，即x＋3y＝1，又＋＝·(x＋3y)＝2＋＋≥2＋2＝4.
答案 C
5．已知m>0，n>0，m、n的等差中项为，x＝m＋，y＝n＋，则x＋y的最小值是( )
A．6 B．5
C．4 D．3
解析 由题意得m＋n＝1≥2，∴≥4.
∴x＋y＝1＋＋＝1＋≥5.
答案 B
6．已知不等式(x＋y)≥9，对任意正实数x、y恒成立，则正实数a的最小值为( )
A．8 B．6
C．4 D．2
解析 由(x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2≥9，得≥2，∴a≥4.
答案 C
二、填空题
7．已知a、b、c∈R＋，则(a＋b＋c)的最小值是____．
解析 (a＋b＋c)＝[(a＋b)＋c]·≥4.
答案 4
8．已知a，b都是正实数，函数y＝2aex＋b的图像过点(0,1)，则＋的最小值是________．
解析 由题意得2a＋b＝1，∴＋＝(2a＋b)＝3＋＋≥3＋2(当且仅当＝即b＝a时等号成立)．
答案 3＋2
9．函数y＝(x>1)的最小值是________．
解析 y＝＝＝x－1＋＋2，∵x>1，∴y≥2＋2(当且仅当x－1＝，即x＝1＋时取等号)．
答案 2＋2
三、解答题
10．求下列函数的最大值．
(1)y＝x(1－2x)；
(2)y＝x.
解 (1)∵0<x<，∴1－2x>0.
∴x(1－2x)≤·2＝.
当且仅当2x＝1－2x即x＝时等号成立．
即当x＝时y＝x(1－2x)取得最大值.
(2)∵0<x<，∴x≤＝.
当且仅当x2＝3－x2，即x＝时等号成立．
∴当x＝时，函数取得最大值.
11．已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值．
解 ∵＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝16.
当且仅当＝即x＝4，y＝12时等号成立，∴x＋y的最小值为16.
12．已知直角三角形的周长为定值L，求它的面积的最大值．
解 设直角三角形的两条直角边分别为a、b，则斜边为，由题意得a＋b＋＝L.
∵a、b均为正数，∴a＋b≥2，≥(当且仅当a＝b时等号成立)．
∴L＝a＋b＋≥2＋.
即≤，故ab≤.
又S△ABC＝ab，∴ab≤＝L2.
∴当a＝b时，S△ABC取得最大值Smax＝L2.
思 维 探 究
13．已知正数a、b满足ab＝a＋b＋3，
(1)求a＋b的最小值；
(2)求ab的取值范围．
解 (1)∵a>0，b>0，∴a＋b≥2，
∴ab≤2，
又ab＝a＋b＋3，∴a＋b＋3≤，即(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，∴a＋b≥6或a＋b≥－2(舍)．∴a＋b的最小值为6.
(2)∵a>0，b>0，∴a＋b≥2，又ab＝a＋b＋3，
∴ab≥2＋3，得≥3或≤－1(舍)
由≥3，得ab≥9，∴ab的取值范围是[9，＋∞)．
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