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双基限时练(二十四) 同角三角函数的基本关系(一)
一、选择题
1．已知α为第四象限角，且cosα＝，则sinα等于( )
A. B．－
C. D．－
解析 ∵α为第四象限角，
∴sinα＝－＝－.
答案 B
2．下列等式中正确的是( )
A．sin2＋cos2＝
B．若α∈(0,2π)，则肯定有tanα＝
C．sin＝±
D．sinα＝tanα·cosα(α≠kπ＋，k∈Z)
解析 选项A中，sin2＋cos2＝1，所以选项A不正确；利用同角的三角函数基本关系时肯定要留意其隐含条件，对于选项B中cosα≠0，也即α≠kπ＋(k∈Z)，因而选项B不正确；由于0<<，所以sin>0，所以选项C不正确．
答案 D
3．若tanα＝，π<α<π，则cosα－sinα的值为( )
A．－ B.
C. D.
解析 ∵π<α<π，tanα＝，
∴sinα＝－，cosα＝－.
∴cosα－sinα＝.
答案 C
4．设A为△ABC的一个内角，且sinA＋cosA＝，则这个三角形是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析 由sinA＋cosA＝，得1＋2sinAcosA＝，∴sinAcosA＝－<0，又0<A<π，∴sinA>0，cosA<0，∴A∈(，π)，故△ABC为钝角三角形．
答案 B
5．已知sinα·cosα＝，且<α<，则cosα－sinα的值是( )
A. B.
C．－ D．±
解析 ∵<α<，∴cosα－sinα＝
－＝－.
答案 C
6．若sinθ＋sin2θ＝1，则cos2θ＋cos4θ等于( )
A．－1 B．1
C．－2 D．2
解析 由sinθ＋sin2θ＝1，解sinθ＝1－sin2θ，即cos2θ＝sinθ，
所以cos2θ＋cos4θ＝sinθ＋sin2θ＝1.
答案 B
二、填空题
7．已知f(sinα)＝cos2α，则f＝________.
解析 f(sinα)＝cos2α＝1－sin2α，∴f(x)＝1－x2，故f()＝1－＝.
答案
8．若α为锐角，且tanα是方程4x2＋x－3＝0的根，则sinα＝________.
解析 由4x2＋x－3＝0，得x＝－1，或x＝，又α为锐角，∴tanα＝，∴sinα＝.
答案
9．设α∈，则＋＝________.
解析 ∵－≤α≤，
∴sinα<cosα，sinα＋cosα>0，
故原式＝＋
＝cosα－sinα＋sinα＋cosα
＝2cosα.
答案 2cosα
10．已知α是其次象限的角，tanα＝－，则cosα＝________.
解析 ∵α是其次象限的角，
∴cosα<0.
又sin2α＋cos2α＝1，tanα＝＝－，
∴cosα＝－.
答案 －
三、解答题
11．已知A是△ABC的内角，且tanA＝－，求sinA，cosA.
解 ∵tanA＝－，A为△ABC内角∴A为钝角．
又tanA＝＝－，代入sin2A＋cos2A＝1中，
解得sinA＝，cosA＝－.
12．已知cosα＝m(m≠0，m≠±1)，求α的其他三角函数值．
解 由于cosα＝m(m≠0，m≠±1)，
所以sinα＝±.
若α在第一、二象限，
则sinα＝，tanα＝.
若α在第三、四象限，
则sinα＝－，tanα＝－.
13．若θ为锐角，且tanθ＋＝2，求：
(1)sinθ·cosθ的值；
(2)求sinθ＋cosθ的值．
解 (1)由tanθ＋＝2，得＋＝2，
即＝2，sinθ·cosθ＝.
(2)∵(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝2，
又θ为锐角，∴sin＋cosθ＝.
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