2020年人教A版数学理(福建用)课时作业：第三章-第八节应-用-举-例.docx

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课时提升作业(二十四)
一、选择题
1.线段AB外有一点C,∠ABC=60°,AB=200km,汽车以80km/h的速度由A向B行驶,同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶,则运动开头几小时后,两车的距离最小(　　)
(A) (B)1 (C) (D)2
2.某水库大坝的外斜坡的坡度为,则坡角α的正弦值为　(　　)
(A) (B) (C) (D)
3.如图,一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15°,与货轮相距20海里,随后货轮按北偏西30°的方向航行,30分钟后又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮航行的速度为　(　　)
(A)20(+)海里/小时
(B)20(-)海里/小时
(C)20(+)海里/小时
(D)20(-)海里/小时
4.(2021·漳州模拟)据新华社报道,强台风“珍宝”在广东饶平登陆.台风中心最大风力达到12级以上,大风、降雨给灾区带来严峻的灾难,不少大树被大风折断.某路边一树干被台风吹断后,折成与地面成45°的角,树干也倾斜为与地面成75°的角,树干底部与树尖着地处相距20米,则折断点与树干底部的距离是　
(　　)
(A)米 (B)20米
(C)米 (D)10米
5.(2021·安阳模拟)已知△ABC的一个内角是120°,三边长构成公差为4的等差数列,则三角形的面积是　(　　)
(A)10 (B)30 (C)20 (D)15
6.某爱好小组要测量电视塔AE的高度H(单位:m).如示意图,垂直放置的标杆BC的高度h=4m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β.该小组已测得一组α,β的值,算出了tanα=1.24,tanβ=1.20,则H=(　　)
(A)100m　　(B)110m　　(C)124m　　(D)144m
二、填空题
7.若△ABC的面积为3,BC=2,C=60°,则边长AB的长度等于　　　　　.
8.某人站在60米高的楼顶A处测量不行到达的电视塔的高度,测得塔顶C的仰角为30°,塔底B的俯角为15°,已知楼底部D和电视塔的底部B在同一水平面上,则电视塔的高为　　　　米.
9.如图,在坡度确定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100米到达B后,又测得C对于山坡的斜度为45°,若CD=50米,山坡对于地平面的坡角为θ,则cosθ=　　　　.

三、解答题
10.(2022·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A=sin B=cos C.
(1)求tan C的值.
(2)若a=，求△ABC的面积.
11.(2021·厦门模拟)如图所示，南山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发觉张角∠ABC=120°；从B处攀登400米到达D处，回头看索道AC，发觉张角∠ADC=150°；从D处再攀登800米到达C处，问索道AC长多少?
12.(2021·福州模拟)如图，甲船以每小时海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里?

答案解析
1.【解析】选C.如图所示,设过xh后两车距离为ykm,则BD=200-80x,BE=50x,
∴y2=(200-80x)2+(50x)2-2×(200-80x)·50x·cos 60°,
整理得y2=12900x2-42000x+40000(0≤x≤2.5),
∴当x=时y2最小,即y最小.
2.【思路点拨】坡角的正切值是坡度,故利用此关系可解.
【解析】选B.由tanα=,得sinα=cosα,代入sin2α+cos2α=1,得sinα=.
3.【解析】选B.由题意知SM=20,∠SNM=105°,∠NMS=45°,∴∠MSN=30°.
在△MNS中利用正弦定理可得,
∴MN=(海里),
∴货轮航行的速度v==20 (海里/小时).
4.【解析】选A.如图,设树干底部为O,树尖着地处为B,折断点为A,则∠ABO=45°,∠AOB=75°,
∴∠OAB=60°.
由正弦定理知,
∴AO=米.
5.【解析】选D.由△ABC三边长构成公差为4的等差数列,
设△ABC的三边长分别为a,a+4,a+8,
由于△ABC的一个内角是120°,
所以(a+8)2=a2+(a+4)2-2a(a+4)cos120°,
化简得a2-2a-24=0,解得a=-4(舍)或a=6.
因此△ABC的面积S=×6×10×sin120°=15.
【变式备选】在△ABC中三条边a,b,c成等比数列,且b=,B=,则△ABC的面积为　(　　)

【解析】选C.由已知可得b2=ac,又b=,则ac=3,
又B=,
∴S△ABC=acsinB=×3×=
6.【思路点拨】用H,h表示AD,AB,BD后利用AD=AB+BD即可求解.
【解析】选C.由
AD=及AB+BD=AD,得
解得H==124(m).
因此,算出的电视塔的高度H是124m.
【方法技巧】测量高度的常见思路
解决高度的问题主要是依据条件确定出所利用的三角形,精确地理解仰角和俯角的概念并和三角形中的角度相对应;分清已知和待求的关系,正确地选择定理和公式,特殊留意高度垂直地面构成的直角三角形.
7.【解析】由△ABC面积为3,得absin 60°=3,得ab=4,
又BC=a=2,故b=2,
∴c2=a2+b2-2abcosC
=4+12-2×2×2×=16-4,
∴c=.
答案:
8.【解析】如图,用AD表示楼高,AE与水平面平行,E在线段BC上,
由于∠CAE=30°,∠BAE=15°,AD=BE=60,
则AE==120+60,
在Rt△AEC中,
CE=AE·tan 30°=(120+60)×=60+40,
∴BC=CE+BE=60+40+60=(120+40)米,
所以塔高为(120+40)米.
答案:120+40
9.【解析】在△ABC中,

在△BCD中,sin∠BDC=
=-1.
又∵cosθ=sin∠BDC,∴cosθ=-1.
答案:-1
10.【解析】(1)由cos A=可得sin A=由sin B=cos C，可得sin(A+C)=
cos C,
即cos C+sin C=cos C,
等号两边同除以cos C,可得+tan C=，
即tan C=.
(2)由tan C=，可得sin C=,cos C=,
∴解得c=,而sin B=cos C=,
∴S△ABC=acsin B=××
11.【解析】在△ABD中，BD=400,∠ABD=120°,
∵∠ADC=150°,∴∠ADB=30°,∴∠DAB=30°.
∵
∴
∴AD=
在△ADC中，DC=800,∠ADC=150°,
∴AC2=AD2+CD2-2·AD·CD·cos 150°
=
答:索道AC长约为米.
12. 【解析】如图，连接A1B2，A2B2=，A1A2=

又∠A1A2B2=180°-120°=60°,
∴△A1A2B2是等边三角形,
∴A1B2=A1A2=,
在△A1B2B1中，∠B1A1B2=105°-60°=45°,A1B1=20,
由余弦定理得
B1B22=A1B12+A1B22-2A1B1·A1B2cos 45°
==200,
∴B1B2=,因此乙船的速度大小为
答：乙船每小时航行海里.

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