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课时作业8 等比数列的性质及应用
时间：45分钟 满分：100分
一、选择题(每小题5分，共35分)
1．在等比数列{an}中，若a2·a8＝36，a3＋a7＝15，则公比为( )
A.， B．±
C．± D．±，±
【答案】 D
【解析】 ，所以，或，
所以q4＝4或q4＝，所以q＝±，或q＝±.
2．已知等比数列{an}的公比为q，且a5a9＝4a，a2＝1，则a1＝( )
A. B．－
C．± D．±2
【答案】 C
【解析】 ∵a5a9＝a，∴a＝4a，∴＝4，
∴q＝＝±2，∴a1＝±.
3．在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1，若am＝a1a2a3a4a5，则m＝( )
A．9 B．10
C．11 D．12
【答案】 C
【解析】 am＝a1a2a3a4a5＝q·q2·q3·q4＝q10＝a1q10，
因此有m＝11.
4．已知项数相同的等比数列{an}和{bn}，公比为q1，q2(q1，q2≠1)，则下列数列①{3an}；②{}；③{3an}；④{2an－3bn}；⑤{2an·3bn}中为等比数列的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】 C
【解析】 利用等比数列的定义或性质来处理．对于①，公比为q1；对于②，公比为；对于③，令an＝2n－1，则数列{3an}为：3,32,34,38，…，由于≠，故不是等比数列；对于④，数列的项可能为零；对于⑤，公比为q1q2.故选C.
5．已知等比数列{an}中，an>0，(2a4＋a2＋a6)a4＝36，则a3＋a5的值为( )
A．3 B．6
C．4 D．5
【答案】 B
【解析】 ∵{an}是等比数列，an>0，
∴(2a4＋a2＋a6)a4＝36
⇒2a＋a2a4＋a4a6＝36
⇒2a3a5＋a＋a＝36
⇒(a3＋a5)2＝36⇒a3＋a5＝6.
6．设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于( )
A．2 B．4
C．6 D．8
【答案】 B
【解析】 由{an}是等差数列且a1＝9d，得ak＝a1＋(k－1)d＝(k＋8)d，a2k＝a1＋(2k－1)d＝(2k＋8)d，又由于ak是a1与a2k的等比中项，则有a＝a1·a2k.即[(k＋8)d]2＝9d×[(2k＋8)d]，整理得k2－2k－8＝0，解之得k1＝4，k2＝－2(舍去)．
7．抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内剩下的空气少于原来的0.1%，则至少要抽(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)( )
A．15次 B．14次
C．9次 D．8次
【答案】 D
【解析】 容器内的空气剩余量为{an}，则an＝(1－0.6)n＝0.4n，要使容器内剩余空气少于原来的0.1%，则有an<0.1%，即0.4n<0.001＝10－3，两边取对数有nlg 0.4<－3，∴n>7.5，又n∈N＋，∴n＝8.
二、填空题(每小题5分，共15分)
8．设数列{an}的前n项和为Sn＝3n－c，若数列{an}为等比数列，则c的值为________．
【答案】 1
【解析】 ∵Sn＝3n－c，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2×3n－1，若{an}为等比数列，则＝3＝＝，得c＝1.
9．等差数列{an}中，a1＝2，公差不为零，a1，a3，a11恰为某等比数列的前三项，那么该等比数列的公比等于________．
【答案】 4
【解析】 解法一：设a1，a3，a11组成的等比数列公比为q，
∴a3＝a1q＝2q，a11＝a1q2＝2q2，又∵数列{an}是等差数列，
∴a11＝a1＋5(a3－a1)，∴2q2＝a1＋5(2q－a1)，
∴2q2＝2＋5(2q－2)，解得q＝4或q＝1(舍)，∴q＝4.
解法二：∵a3＝a1＋2d＝2＋2d，a11＝2＋10d，
∴(2＋2d)2＝2(2＋10d)，
∴d＝3或0(舍)，∴a3＝8，∴q＝＝4.
10．b既是a和c的等差中项，又是a和c的等比中项，则数列a，b，c的公比为________．
【答案】 1
【解析】 ∵2b＝a＋c，ac＝b2，
∴ac＝2＝，
∴4ac＝a2＋c2＋2ac，
∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，
∴a＝c，∴a，b，c的公比为1.
三、解答题(共50分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
11．(15分)已知等比数列{an}．
(1)若a1＋a2＋a3＝168，a2－a5＝42，求a5与a7的等比中项；
(2)若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.
【解析】 (1)设等比数列的公比为q，首项为a1，由已知得
，
所以
由于1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)，
得q(1－q)＝，故q＝，
所以a1＝＝96.
设G是a5，a7的等比中项，则应有G2＝a5a7＝a1q4·a1q6＝aq10＝962×10＝9，G＝±3.
故a5，a7的等比中项是±3.
(2)解法一：由于a1a3＝a，所以a1a2a3＝a＝8，
所以a2＝2，
所以，
解得或.
所以an＝2n－1或an＝23－n.
解法二：设公比为q，则
，
即
由④得a1＝，
代入③得2q2－5q＋2＝0，
所以q＝2或q＝.
由④得或，
所以an＝2n－1或an＝23－n.
12．(15分)已知数列{an}的首项a1＝a≠，且满足an＋1＝记bn＝a2n－1－，n＝1,2,3，….
(1)求a2，a3.
(2)推断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论．
【解析】 (1)a2＝a1＋＝a＋，a3＝a2＝a＋.
(2)由于a4＝a3＋＝a＋，
所以a5＝a4＝a＋.
所以b1＝a1－＝a－≠0，b2＝a3－＝(a－)，
b3＝a5－＝(a－)．
猜想：{bn}是首项为a－，公比为的等比数列．
证明如下：
由于bn＋1＝a2n＋1－＝a2n－
＝(a2n－1＋)－
＝(a2n－1－)
＝bn(n∈N＋)，
又a≠，所以bn≠0，所以＝(常数)．
所以{bn}是首项为a－，公比为 的等比数列．
13．(20分)已知数列{an}前n项和Sn＝2n2－3n，数列{bn}是各项为正的等比数列，满足a1＝－b1，b3(a2－a1)＝b1.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)记cn＝an·bn，求cn的最大值．
【解析】 (1)∵an＝，
∴an＝，
即an＝4n－5(n∈N＋)，
由已知b1＝1，b1q2(a2－a1)＝b1，∴q2＝，
∵bn>0，∴q＝，∴bn＝n－1.
(2)cn＝(4n－5)n－1，
由得n＝3，即c3最大，最大值为.
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