2021届高中数学人教版高考复习知能演练轻松闯关-第七章第8课时.docx

基础达标1. (2022高考陕西卷)如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A BC D解析：选A不妨令CB1，则CACC12.可得O(0，0，0)，B(0，0，1)，C1(0，2，0)，A(2，0，0)，B1(0，2，1)，(0，2，1)，(2，2，1)，cos，0，与的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角，直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.2已知正方体ABCDA1B1C1D1，则直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值是()A BC D解析：选C建立空间直角坐标系如图所示设正方体的棱长为1，直线BC1与平面A1BD所成的角为，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，C1(0，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)，(1，0，1)设n(x，y，z)是平面A1BD的一个法向量，则，令z1，则x1，y1.n(1，1，1)，sin |cosn，|.3(2022江苏徐州一模)在ABCD中，ABAC1，ACD90，将它沿对角线AC折起，使AB和CD成60角，则B，D两点间的距离为_解析：ABAC1，AD，BC，|2()()222222222.ABAC，CDAC，0，0.当B，D在AC两侧时，和成60角；当B，D在AC同侧时，和成120角|2222211cos 60，或|2222211cos 120，|212121214，|2，或|211112，|.答案：2或4(2022浙江温州质检)如图(1)，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上，AEEBAFFD4.沿直线EF将AEF翻折成AEF，使平面AEF平面BEF，则二面角AFDC的余弦值为_解析：取线段EF的中点H，连接AH.AEAF，H是EF的中点，AHEF.又平面AEF平面BEF，AH平面BEF.如图(2)，可建立空间直角坐标系Axyz，则A(2，2，2)，C(10，8，0)，F(4，0，0)，D(10，0，0)，故(2，2，2)，(6，0，0)设n(x，y，z)为平面AFD的一个法向量，取z，则n(0，2，)又平面BEF的一个法向量m(0，0，1)，故cosn，m，二面角的余弦值为.答案：5(2021高考江苏卷) 如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，ABAC2，A1A4，点D是BC的中点(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值解：(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A1(0，0，4)，C1(0，2，4)，所以(2，0，4)，(1，1，4)由于cos，所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.(2)设平面ADC1的法向量为n1(x，y，z)，由于(1，1，0)，(0，2，4)，所以n10，n10，即xy0且y2z0，取z1，得x2，y2，所以，n1(2，2，1)是平面ADC1的一个法向量取平面AA1B的一个法向量为n2(0，1，0)，设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为.由|cos |，得sin .因此，平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.6. (2022浙江名校联考)如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，ABEF，矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面相互垂直已知AB2，EF1.(1)求证：平面DAF平面CBF；(2)求直线AB与平面CBF所成角的大小；(3)当AD的长为何值时，平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60？解：(1)证明：平面ABCD平面ABEF，CBAB，平面ABCD平面ABEFAB，CB平面ABEF.AF平面ABEF，AFCB又AB为圆O的直径，AFBF，又BFCBB，AF平面CBF.AF平面ADF，平面DAF平面CBF.(2)由(1)知AF平面CBF，FB为AB在平面CBF内的射影，因此，ABF为直线AB与平面CBF所成的角ABEF，四边形ABEF为等腰梯形，过点F作FHAB，交AB于H.已知AB2，EF1，则AH.在RtAFB中，依据射影定理得AF2AHAB，AF1，sinABF，ABF30.直线AB与平面CBF所成角的大小为30.(3)设EF中点为G，以O为坐标原点，、方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系(如图)设ADt(t0)，则点D的坐标为(1，0，t)，C(1，0，t)又A(1，0，0)，B(1，0，0)，F，(2，0，0)，.设平面DCF的法向量为n1(x，y，z)，则n10，n10.即令z，解得x0，y2t，n1(0，2t，)由(1)可知AF平面CBF，取平面CBF的一个法向量为n2，依题意，n1与n2的夹角为60.cos 60，即，解得t，因此，当AD的长为时，平面DFC与平面CBF所成的锐二面角的大小为60.力气提升1. 如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA1，点D是A1B1的中点，点E在A1C1上且DEAE.(1)证明：平面ADE平面ACC1A1；(2)求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值解：(1)证明：由正三棱柱ABCA1B1C1的性质知AA1平面A1B1C1.又DE平面A1B1C1，所以DEAA1.而DEAE，AA1AEA，所以DE平面ACC1A1.又DE平面ADE，故平面ADE平面ACC1A1.(2)如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系不妨设AA1，则AB2，相关各点的坐标分别是A(0，1，0)，B(，0，0)，C1(0，1，)，D.易知(，1，0)，(0，2，)，.设平面ABC1的一个法向量为n(x，y，z)，则有解得xy，zy.故可取n(1，)所以cosn，.由此即知，直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为.2(2022安徽省“江南十校”联考)如图1，直角梯形ABCD中，AB90，ADAB2，BC3，E，F分别是AD，BC上的点，且AEBF1，G为AB的中点，将四边形ABFE沿EF折起到图2所示的位置，使得EGGC，连接AD，BC，AC，得图2所示的六面体(1)求证：EG平面CFG；(2)求二面角ACDE的余弦值解：(1)证明：E，F分别是AD，BC上的点，AEBF1，四边形ABFE为矩形折叠后EFFC，EFBF，即EF平面BFC连接GF，AE1，BF1，AB2，EGF90.又EGGC，EG平面CFG.(2)由(1)知FCEG，FCEF，FC平面ABFE.FCBF.如图，建立空间直角坐标系Fxyz，则A(1，0，2)，C(0，2，0)，D(0，1，2)设n1(x，y，z)为平面ACD的法向量，(1，1，0)，(0，1，2)，解得.令z1，得n1(2，2，1)又n2(1，0，0)为平面CDEF的一个法向量，设二面角ACDE为，则cosn1，n2，即cos .3. (2022江西省七校联考)如图，ABCD是边长为3的正方形，DE平面ABCD，AFDE，DE3AF，BE与平面ABCD所成的角为60.(1)求证：AC平面BDE；(2)求二面角FBED的余弦值；(3)设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM平面BEF，并证明你的结论解：(1)证明：DE平面ABCD，DEACABCD是正方形，ACBD，又DEBDD，AC平面BDE.(2)DE平面ABCD，EBD就是BE与平面ABCD所成的角，即EBD60.由AD3，得BD3，DE3，AF.如图，分别以DA，DC，DE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(3，0，0)，F(3，0，)，E(0，0，3)，B(3，3，0)，C(0，3，0)(0，3，)，(3，0，2)设平面BEF的一个法向量为n(x，y，z)，则，即.令z，则n(4，2，)AC平面BDE，(3，3，0)为平面BDE的一个法向量cosn，.故二面角FBED的余弦值为.(3)依题意，设M(t，t，0)(t0)，则(t3，t，0)，AM平面BEF，n0，即4(t3)2t0，解得t2.点M的坐标为(2，2，0)，此时，点M是线段BD上靠近B点的三等分点