2021届高中数学人教版高考复习知能演练轻松闯关-第七章第8课时.docx

[基础达标]
1. (2022·高考陕西卷)如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC­A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为(　　)

A． B．
C． D．
解析：选A．不妨令CB＝1，则CA＝CC1＝2.
可得O(0，0，0)，B(0，0，1)，C1(0，2，0)，A(2，0，0)，B1(0，2，1)，
∴＝(0，2，－1)，＝(－2，2，1)，
∴cos〈，〉＝＝＝＝＞0，
∴与的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角，
∴直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.
2．已知正方体ABCD­A1B1C1D1，则直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值是(　　)
A． B．
C． D．
解析：选C．建立空间直角坐标系如图所示．

设正方体的棱长为1，直线BC1与平面A1BD所成的角为θ，
则D(0，0，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，C1(0，1，1)，
∴＝(1，0，1)，＝(1，1，0)，＝(－1，0，1)．
设n＝(x，y，z)是平面A1BD的一个法向量，
则，令z＝1，则x＝－1，y＝1.
∴n＝(－1，1，1)，
∴sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝.
3．(2022·江苏徐州一模)在▱ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB和CD成60°角，则B，D两点间的距离为________．

解析：∵AB＝AC＝1，
∴AD＝，BC＝，＝＋＋，
∴||2＝(＋＋)·(＋＋)
＝2＋·＋·＋·＋2＋·＋·＋·＋2
＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·.
∵AB⊥AC，CD⊥AC，∴·＝0，·＝0.
当B，D在AC两侧时，和成60°角；
当B，D在AC同侧时，和成120°角．
∴||2＝2＋2＋2＋2×1×1×cos 60°，
或||2＝2＋2＋2＋2×1×1×cos 120°，
∴||2＝12＋12＋12＋1＝4，||＝2，
或||2＝1＋1＋1－1＝2，||＝.
答案：2或
4．(2022·浙江温州质检)如图(1)，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上，AE＝EB＝AF＝FD＝4.沿直线EF将△AEF翻折成△A′EF，使平面A′EF⊥平面BEF，则二面角A′­FD­C的余弦值为________．

解析：取线段EF的中点H，连接A′H.
∵A′E＝A′F，H是EF的中点，∴A′H⊥EF.
又∵平面A′EF⊥平面BEF，
∴A′H⊥平面BEF.

如图(2)，可建立空间直角坐标系A­xyz，
则A′(2，2，2)，C(10，8，0)，F(4，0，0)，D(10，0，0)，
故′＝(－2，2，2)，＝(6，0，0)．
设n＝(x，y，z)为平面A′FD的一个法向量，
∴
取z＝，则n＝(0，－2，)．
又平面BEF的一个法向量m＝(0，0，1)，
故cos〈n，m〉＝＝，
∴二面角的余弦值为.
答案：
5．(2021·高考江苏卷) 如图，在直三棱柱A1B1C1­ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．

(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；
(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．
解：

(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A­xyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A1(0，0，4)，C1(0，2，4)，所以＝(2，0，－4)，＝(1，－1，－4)．
由于cos，＝
＝＝，
所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.
(2)设平面ADC1的法向量为n1＝(x，y，z)，由于＝(1，1，0)，＝(0，2，4)，所以n1·＝0，n1·＝0，即x＋y＝0且y＋2z＝0，取z＝1，得x＝2，y＝－2，所以，n1＝(2，－2，1)是平面ADC1的一个法向量．取平面AA1B的一个法向量为n2＝(0，1，0)，设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为θ.
由|cos θ|＝||＝＝，得sin θ＝.
因此，平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.
6. (2022·浙江名校联考)如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面相互垂直．已知AB＝2，EF＝1.

(1)求证：平面DAF⊥平面CBF；
(2)求直线AB与平面CBF所成角的大小；
(3)当AD的长为何值时，平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60°？
解：(1)证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，
平面ABCD∩平面ABEF＝AB，
∴CB⊥平面ABEF.
∵AF⊂平面ABEF，∴AF⊥CB．
又AB为圆O的直径，∴AF⊥BF，又BF∩CB＝B，
∴AF⊥平面CBF.
∵AF⊂平面ADF，∴平面DAF⊥平面CBF.
(2)由(1)知AF⊥平面CBF，
∴FB为AB在平面CBF内的射影，
因此，∠ABF为直线AB与平面CBF所成的角．
∵AB∥EF，∴四边形ABEF为等腰梯形，
过点F作FH⊥AB，交AB于H.
已知AB＝2，EF＝1，则AH＝＝.
在Rt△AFB中，依据射影定理得AF2＝AH·AB，
∴AF＝1，
sin∠ABF＝＝，∴∠ABF＝30°.
∴直线AB与平面CBF所成角的大小为30°.

(3)设EF中点为G，以O为坐标原点，、、方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AD＝t(t>0)，则点D的坐标为(1，0，t)，C(－1，0，t)．又A(1，0，0)，B(－1，0，0)，F，
∴＝(2，0，0)，＝.
设平面DCF的法向量为n1＝(x，y，z)，
则n1·＝0，n1·＝0.
即令z＝，解得x＝0，y＝2t，
∴n1＝(0，2t，)．
由(1)可知AF⊥平面CBF，取平面CBF的一个法向量为n2＝＝，依题意，n1与n2的夹角为60°.
∴cos 60°＝，即＝，
解得t＝，
因此，当AD的长为时，平面DFC与平面CBF所成的锐二面角的大小为60°.
[力气提升]
1. 如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AA1，点D是A1B1的中点，点E在A1C1上且DE⊥AE.

(1)证明：平面ADE⊥平面ACC1A1；
(2)求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值．
解：(1)证明：由正三棱柱ABC­A1B1C1的性质知AA1⊥平面A1B1C1.又DE⊂平面A1B1C1，所以DE⊥AA1.
而DE⊥AE，AA1∩AE＝A，所以DE⊥平面ACC1A1.又DE⊂平面ADE，故平面ADE⊥平面ACC1A1.

(2)如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系．不妨设AA1＝，则AB＝2，相关各点的坐标分别是A(0，－1，0)，B(，0，0)，C1(0，1，)，D.
易知＝(，1，0)，＝(0，2，)，
＝.
设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则有
解得x＝－y，z＝－y.故可取n＝(1，－，)．
所以cos〈n，〉＝＝＝.
由此即知，直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为.
2．(2022·安徽省“江南十校”联考)如图1，直角梯形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝AB＝2，BC＝3，E，F分别是AD，BC上的点，且AE＝BF＝1，G为AB的中点，将四边形ABFE沿EF折起到图2所示的位置，使得EG⊥GC，连接AD，BC，AC，得图2所示的六面体．

(1)求证：EG⊥平面CFG；
(2)求二面角A­CD­E的余弦值．
解：(1)证明：∵E，F分别是AD，BC上的点，AE＝BF＝1，

∴四边形ABFE为矩形．
∴折叠后EF⊥FC，EF⊥BF，即EF⊥平面BFC．
连接GF，∵AE＝1，BF＝1，AB＝2，
∴∠EGF＝90°.
又EG⊥GC，
∴EG⊥平面CFG.
(2)由(1)知FC⊥EG，
∵FC⊥EF，
∴FC⊥平面ABFE.
∴FC⊥BF.

如图，建立空间直角坐标系F­xyz，则A(1，0，2)，C(0，2，0)，D(0，1，2)．
设n1＝(x，y，z)为平面ACD的法向量，
∵＝(－1，1，0)，＝(0，－1，2)，
∴，解得.令z＝1，
得n1＝(2，2，1)．
又n2＝(1，0，0)为平面CDEF的一个法向量，
设二面角A­CD­E为θ，
则cos〈n1，n2〉＝＝，即cos θ＝.
3. (2022·江西省七校联考)如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF，BE与平面ABCD所成的角为60°.

(1)求证：AC⊥平面BDE；
(2)求二面角F­BE­D的余弦值；
(3)设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．
解：(1)证明：∵DE⊥平面ABCD，
∴DE⊥AC．
∵ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，又DE∩BD＝D，
∴AC⊥平面BDE.
(2)∵DE⊥平面ABCD，
∴∠EBD就是BE与平面ABCD所成的角，
即∠EBD＝60°.

∴＝.由AD＝3，得BD＝3，DE＝3，AF＝.

如图，分别以DA，DC，DE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(3，0，0)，F(3，0，)，E(0，0，3)，B(3，3，0)，C(0，3，0)．
∴＝(0，－3，)，＝(3，0，－2)．
设平面BEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，则，
即.
令z＝，则n＝(4，2，)．
∵AC⊥平面BDE，
∴＝(3，－3，0)为平面BDE的一个法向量．
∵cos〈n，〉＝＝＝.
故二面角F­BE­D的余弦值为.
(3)依题意，设M(t，t，0)(t>0)，则＝(t－3，t，0)，
∵AM∥平面BEF，∴·n＝0，
即4(t－3)＋2t＝0，解得t＝2.
∴点M的坐标为(2，2，0)，此时＝，
∴点M是线段BD上靠近B点的三等分点．