2021届高中数学人教版高考复习知能演练轻松闯关-第七章第5课时.docx

[基础达标]
1．(2022·河南郑州市质量检测)设α，β分别为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A．依题意，由l⊥β，l⊂α可以推出α⊥β；反过来，由α⊥β，l⊂α不能推出l⊥β.因此“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件．
2．(2022·黑龙江齐齐哈尔一模)在如图所示的四个正方体中，能得出AB⊥CD的是(　　)

解析：选A．A中，∵CD⊥平面AMB，∴CD⊥AB；B中，AB与CD成60°角；C中，AB与CD成45°角；D中，AB与CD夹角的正切值为.
3．(2021·高考广东卷)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是(　　)
A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥ n
B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β
D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
解析：选D．

如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，平面BCC1B1⊥平面ABCD，BC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面ABCD，而BC1不垂直于BC，故A错误．
平面A1B1C1D1∥平面ABCD，B1D1⊂平面A1B1C1D1，AC⊂平面ABCD，但B1D1和AC不平行，故B错误．
AB⊥A1D1，AB⊂平面ABCD，A1D1⊂平面A1B1C1D1，但平面A1B1C1D1∥平面ABCD，故C错误．
4．(2021·高考山东卷)已知三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为 (　　)
A． B．
C． D．
解析：选B．

如图所示，P为正三角形A1B1C1的中心，设O为△ABC的中心，由题意知：PO⊥平面ABC，连接OA，则∠PAO即为PA与平面ABC所成的角．
在正三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝，
则S＝×()2＝，
VABC­A1B1C1＝S×PO＝，∴PO＝.
又AO＝×＝1，∴tan∠PAO＝＝，
∴∠PAO＝.
5. 如图，在三棱锥D­ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是(　　)

A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
解析：选C．要推断两个平面的垂直关系，就需固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直．由于AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.由于AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ADC，所以平面ADC⊥平面BDE.
6. 如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中：与PC垂直的直线有________；与AP垂直的直线有________．

解析：∵PC⊥平面ABC，
∴PC垂直于直线AB，BC，AC．
∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，
∴AB⊥平面PAC，
∴AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB．
答案：AB，BC，AC　AB
7．(2022·湖北武汉武昌区联考)已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下列命题：
①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.
其中正确命题的序号是________．
解析：①正确，∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，又m⊂β，∴l⊥m；②错误，l，m还可以垂直、斜交或异面；③正确，∵l⊥α，l∥m，∴m⊥α，又m⊂β，∴α⊥β；④错误，α与β可能相交．
答案：①③
8. 点P在正方体ABCD­A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，给出下列四个命题：

①三棱锥A­D1PC的体积不变；
②A1P∥平面ACD1；
③DP⊥BC1；
④平面PDB1⊥平面ACD1.
其中正确的命题序号是________．

解析：连接BD交AC于O，连接DC1交D1C于O1，连接OO1，则OO1∥BC1.
∴BC1∥平面AD1C，动点P到平面AD1C的距离不变，
∴三棱锥P­AD1C的体积不变．
又VP­AD1C＝VA­D1PC，∴①正确．
∵平面A1C1B∥平面AD1C，A1P⊂ 平面A1C1B，
∴A1P∥平面ACD1，②正确．
由于DB不垂直于BC1，明显③不正确；
由于DB1⊥D1C，DB1⊥AD1，D1C∩AD1＝D1，
∴DB1⊥平面AD1C．DB1⊂平面PDB1，
∴平面PDB1⊥平面ACD1，④正确．
答案：①②④
9. (2022·吉林长春市调研测试)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝2，AB＝BC，AB⊥BC，O为AC的中点．

(1)证明：A1O⊥平面ABC；
(2)若E是线段A1B上一点，且满足VE­BCC1＝·VABC­A1B1C1，求A1E的长度．
解：(1)证明：∵AA1＝A1C＝AC＝2，且O为AC的中点，
∴A1O⊥AC．又∵侧面AA1C1C⊥底面ABC，
侧面AA1C1C∩底面ABC＝AC，A1O⊂平面A1AC，
∴A1O⊥平面ABC．
(2)∵VE­BCC1＝VABC­A1B1C1＝VA1­BCC1，
∴BE＝BA1，即A1E＝A1B．
连接OB(图略)，在Rt△A1OB中，A1O⊥OB，A1O＝，BO＝1，故A1B＝2，则A1E的长度为.
10. 如图所示，已知三棱锥A­BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．

(1)求证：DM∥平面APC；
(2)求证：平面ABC⊥平面APC．
证明：(1)由已知，得MD是△ABP的中位线，所以MD∥AP.
又MD⊄平面APC，AP⊂平面APC，
故MD∥平面APC．
(2)由于△PMB为正三角形，D为PB的中点，
所以MD⊥PB．所以AP⊥PB．
又AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC．
由于BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC．
又BC⊥AC，AC∩AP＝A，所以BC⊥平面APC．
由于BC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面APC．

[力气提升]
1．(2021·高考江苏卷) 如图，在三棱锥S­ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB．过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．

求证：(1)平面EFG∥平面ABC；
(2)BC⊥SA．
证明：(1)由于AS＝AB，AF⊥SB，
垂足为F，所以F是SB的中点．
又由于E是SA的中点，
所以EF∥AB．
由于EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，
所以EF∥平面ABC．
同理EG∥平面ABC．又EF∩EG＝E，
所以平面EFG∥平面ABC．
(2)由于平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，
又AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC．
由于BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC．
又由于AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF⊂平面SAB，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB．
由于SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA．
2．如图所示，AD⊥平面ABC，CE⊥平

面ABC，AC＝AD＝AB＝1，BC＝，凸多面体ABCED的体积为，F为BC的中点．
(1)求证：AF∥平面BDE；
(2)求证：平面BDE⊥平面BCE.
证明：(1)∵AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，
∴四边形ACED为梯形，且平面ABC⊥平面ACED．
∵BC2＝AC2＋AB2，∴AB⊥AC．

∵平面ABC∩平面ACED＝AC，
∴AB⊥平面ACED，
即AB为四棱锥B­ACED的高，
∵VB­ACED＝·SACED·AB＝××(1＋CE)×1×1＝，
∴CE＝2.
取BE的中点G，连接GF，GD，
∴GF为三角形BCE的中位线，
∴GF∥EC∥DA，
GF＝CE＝DA，
∴四边形GFAD为平行四边形，
∴AF∥GD．
又GD⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，
∴AF∥平面BDE.
(2)∵AB＝AC，F为BC的中点，
∴AF⊥BC．
又GF⊥AF，BC∩GF＝F，
∴AF⊥平面BCE.
∵AF∥GD，∴GD⊥平面BCE.
又GD⊂平面BDE，
∴平面BDE⊥平面BCE.
3. 如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．

(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；
(2)证明：AE⊥平面PCD；
(3)求二面角A­PD­C的正弦值．
解：(1)在四棱锥P­ABCD中，
因PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，
故PA⊥AB．又AB⊥AD，PA∩AD＝A，
从而AB⊥平面PAD，
故PB在平面PAD内的射影为PA，
从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．

在Rt△PAB中，AB＝PA，
故∠APB＝45°，
所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°.
(2)证明：在四棱锥P­ABCD中，
因PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，
故CD⊥PA．
由条件CD⊥AC，PA∩AC＝A，
所以CD⊥平面PAC．
又AE⊂平面PAC，所以AE⊥CD．
由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，
可得AC＝PA．
由于E是PC的中点，所以AE⊥PC．
又PC∩CD＝C，综上得AE⊥平面PCD．

(3)过点E作EM⊥PD，垂足为M，连接AM，如图所示．
由(2)知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，
则AM⊥PD．
因此∠AME是二面角A­PD­C的平面角．
由已知，可得∠CAD＝30°.
设AC＝a，可得
PA＝a，AD＝a，PD＝a，
AE＝A．
在Rt△ADP中，由于AM⊥PD，
所以AM·PD＝PA·AD，
则AM＝＝＝A．
在Rt△AEM中，
sin∠AME＝＝.
所以二面角A­PD­C的正弦值为.