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第一章 1.2 1.2.1
基础巩固
一、选择题
1．下列四种说法中，不正确的是( )
A．在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应
B．函数的定义域和值域确定是无限集合
C．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了
D．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素
[答案] B
2．f(x)＝＋的定义域是( )
A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1]
C．R D．[－1,1)∪(1，＋∞)
[答案] D
[解析] 解得故定义域为[－1,1)∪(1，＋∞)，选D.
3．各个图形中，不行能是函数y＝f(x)的图象的是( )
[答案] A
[解析] 由于垂直x轴的直线与函数y＝f(x)的图象至多有一个交点，故选A.
4．(2021·曲阜二中月考试题)集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数是( )
A．fx→y＝x B．fx→y＝x
C．fx→y＝x D．fx→y＝
[答案] C
[解析] 对于选项C，当x＝4时，y＝＞2不合题意．故选C.
5．下列各组函数相同的是( )
A．f(x)＝与g(x)＝x＋1
B．f(x)＝与g(x)＝x·
C．f(x)＝2x＋1与g(x)＝
D．f(x)＝|x2－1|与g(t)＝
[答案] D
[解析] 对于A.f(x)的定义域是(－∞，1)∪(1，＋∞)，g(x)的定义域是R，定义域不同，故不是相同函数；
对于B.f(x)＝|x|·，g(x)＝x·的对应法则不同；对于C，f(x)的定义域为R与g(x)的定义域是{x|x≠0}，定义域不同，故不是相同函数；
对于D.f(x)＝|x2－1|，g(t)＝|t2－1|，定义域与对应关系都相同，故是相同函数，故选D.
6．函数y＝f(x)的图象与直线x＝a的交点个数有( )
A．必有一个 B．一个或两个
C．至多一个 D．可能两个以上
[答案] C
[解析] 当a在f(x)定义域内时，有一个交点，否则无交点．
二、填空题
7．已知函数f(x)＝，又知f(t)＝6，则t＝________.
[答案] －
[解析] f(t)＝＝6.∴t＝－
8．用区间表示下列数集：
(1){x|x≥1}＝________；
(2){x|2＜x≤4}＝________；
(3){x|x＞－1且x≠2}＝________.
[答案] (1)[1，＋∞) (2)(2,4] (3)(－1,2)∪(2，＋∞)
三、解答题
9．求下列函数的定义域，并用区间表示：
(1)y＝－；
(2)y＝.
[分析] ⇒⇒
[解析] (1)要使函数有意义，自变量x的取值必需满足解得x≤1且x≠－1，
即函数定义域为{x|x≤1且x≠－1}＝(－∞，－1)∪(－1,1]．
(2)要使函数有意义，自变量x的取值必需满足，
解得x≤5，且x≠±3，
即函数定义域为{x|x≤5，且x≠±3}＝(－∞，－3)∪(－3,3)∪(3,5]．
[规律总结] 定义域的求法：
(1)假如f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；
(2)假如f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不为0的实数的集合；
(3)假如f(x)为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；
(4)假如f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合．
(5)假如函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际状况．
函数定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视．
10．已知函数f(x)＝＋.
(1)求函数的定义域；
(2)求f(－3)，f()的值；
(3)当a＞0时，求f(a)，f(a－1)的值．
[解析] (1)使根式有意义的实数x的集合是{x|x≥－3}，使分式有意义的实数x的集合是{x|x≠－2}，
所以这个函数的定义域是{x|x≥－3}∩{x|x≠－2}＝{x|x≥－3，且x≠－2}．
(2)f(－3)＝＋＝－1；
f()＝＋＝＋＝＋.
(3)由于a＞0，故f(a)，f(a－1)有意义．
f(a)＝＋；
f(a－1)＝＋＝＋.
力气提升
一、选择题
1．给出下列从A到B的对应：
①A＝N，B＝{0,1}，对应关系是：A中的元素除以2所得的余数
②A＝{0,1,2}，B＝{4,1,0}，对应关系是f：x→y＝x2
③A＝{0,1,2}，B＝{0,1，}，对应关系是f：x→y＝
其中表示从集合A到集合B的函数有( )个．( )
A．1 B．2
C．3 D．0
[答案] B
[解析] 由于③中，0这个元素在B中无对应元素，故不是函数，因此选B.
2．(2022·高考安徽卷)下列函数中，不满足：f(2x)＝2f(x)的是( )
A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|
C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x
[答案] C
[解析] f(x)＝kx与f(x)＝k|x|均满足：f(2x)＝2f(x)得：A，B，D满足条件．
3．(2022～2021惠安中学月考试题)A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列图形中能表示以A为定义域，B为值域的函数的是( )
[答案] B
[解析] A、C、D的值域都不是[1,2]，故选B.
4．(2021·盘锦高一检测)函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝的定义域为N，则M∩N＝( )
A．[－1，＋∞) B．[－1，)
C．(－1，) D．(－∞，)
[答案] B
二、填空题
5．若函数f(x)的定义域为[2a－1，a＋1]，值域为[a＋3,4a]，则a的取值范围是________．
[答案] (1,2)
[解析] 由区间的定义知⇒1＜a＜2.
6．函数y＝f(x)的图象如图所示，那么f(x)的定义域是________；其中只与x的一个值对应的y值的范围是________．
[答案] [－3,0]∪[2,3] [1,2)∪(4,5]
[解析] 观看函数图象可知
f(x)的定义域是[－3,0]∪[2,3]；
只与x的一个值对应的y值的范围是[1,2)∪(4,5]．
三、解答题
7．求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝；
(3)y＝－＋.
[解析] (1)要使函数有意义，需⇔⇔x≤1且x≠0，所以函数y＝的定义域为(－∞，0)∪(0,1]．
(2)由得∴x＜0且x≠－1，
∴原函数的定义域为{x|x＜0且x≠－1}．
(3)要使函数有意义，需
解得－≤x＜2且x≠0，所以函数y＝－＋的定义域为[－，0)∪(0,2)．
[点评] 求给出解析式的函数的定义域的步骤为：(1)列出访函数有意义的x所适合的式子(往往是一个不等式组)；(2)解这个不等式组；(3)把不等式组的解表示成集合(或者区间)作为函数的定义域．
8．已知函数f(x)＝，
(1)求f(x)的定义域．
(2)若f(a)＝2，求a的值．
(3)求证：f＝－f(x)．
[解析] (1)要使函数f(x)＝有意义，只需1－x2≠0，解得x≠±1，
所以函数的定义域为{x|x≠±1}．
(2)由于f(x)＝，且f(a)＝2，
所以f(a)＝＝2，即a2＝，解得a＝±.
(3)由已知得f＝＝，－f(x)＝－＝，
∴f＝－f(x)．
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