资源描述
典例 据环保部门测定,某处的污染指数与四周污染源的强度成正比,与到污染源距离的平方成反比,比例常数为k(k>0).现已知相距18km的A,B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a,b,它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和,设AC=x(km).
(1) 试将y表示为x的函数关系式;
(2) 若a=1,且当x=6时,y取得最小值,试求实数b的值.
【思维引导】
【规范解答】
(1) 设点C受A污染源污染程度为,点C受B污染源污染程度为,其中k为比例系数,且k>0,0≤x≤18.
从而点C处受污染程度为y=+(k>0,0≤x≤18). 7分
(2) 由于a=1,
所以y=+,y'=k, 9分
令y'=0,得x=. 12分
又此时x=6,解得b=8,阅历证符合题意.
所以污染源B的污染强度b的值为8.16分
【点评】 解有关函数最大值、最小值的实际问题,需要分析问题中各个变量之间的关系,建立适当的函数关系,并确定函数的定义域,所求得的结果要符合问题的实际意义.
变式1 (选修2-2 P36例4改编)已知强度分别为a,b的两个光源A,B间的距离为d,试问:在连接两光源的线段AB上,何处照度最小?试就a=8,b=1,d=3时回答上述问题.(照度与光的强度成正比,与光源距离的平方成反比)
【解答】 如图,设点P在线段AB上,且P距光源A为x,则P距光源B为3-x(0<x<3).
(变式1)
由题知,P点受光源A的照度为,即;
P点受光源B的照度为,即,其中k为比例系数.
从而P点的总照度为I(x)=+(0<x<3),
I'(x)=-+=,令I'(x)=0,解得x=2.当0<x<2时,I'(x)<0,I(x)单调递减;当2<x<3时,I'(x)>0,I(x)单调递增.因此当x=2时I取得微小值,且是最小值.
故在线段AB上,距光源A为2时的照度最小.
变式2 两城A和B相距20km,现方案在两城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建筑垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关,对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和,记C点到城A的距离为x km,建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y.统计调查表明:垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比,比例系数为4;对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比,比例系数为k,当垃圾处理厂建在的中点时,对城A和城B的总影响度为0.065.
(变式2)
(1) 将y表示成x的函数关系式.
(2) 争辩(1) 中函数的单调性,并推断弧上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小?若存在,求出该点到城A的距离;若不存在,请说明理由.
【分析】 “当垃圾处理厂建在的中点时,对城A和城B的总影响度为0.065”的含义是“当x=10时,y=0.065”,从而确定比例系数k,其次问利用导数方法解决.
(变式2)
【解答】 (1) 如图,由题意知AC⊥BC,BC2=400-x2,
y=+(0<x<20),
其中当x=10时,y=0.065,所以k=9,
所以y表示成x的函数关系式为y=+(0<x<20).
(2) y=+,y'=--=,
令y'=0,得18x4=8(400-x2)2,
所以x2=160,即x=4.
当0<x<4时,y'<0,所以函数为单调减函数;当4<x<20时,y'>0,所以函数为单调增函数.所以当x=4时,y取微小值,也是最小值,且ymin=0.0625.
即存在点C到县城A的距离为4时,函数y=+(0<x<20)有最小值,最小值为0.0625,即总影响度最小.
温馨提示:趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第2124页.
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