资源描述
[基础达标]
1．(2022·辽宁六校联考)某产品在某零售摊位上的零售价x(单位：元)与每天的销售量y(单位：个)的统计资料如下表所示：
x
16
17
18
19
y
50
34
41
31
由上表可得回归直线方程＝x＋中的＝－4，据此模型估量零售价定为15元时，每天的销售量为( )
A．48个 B．49个
C．50个 D．51个
解析：选B．由题意知＝17.5，＝39，代入回归直线方程得＝109.当x＝15时，＝109－15×4＝49.
2．(2022·湖南省五市十校联合检测)通过随机询问110名性别不同的高校生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
由K2＝算得，
K2＝≈7.8.
附表：
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
参照附表，得到的正确结论是( )
A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
解析：选A．由于6.635<7.8<10.828，所以有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．
3．(2022·云南昆明市调研测试)变量U与V相对应的一组样本数据为(1，1.4)，(2，2.2)，(3，3)，(4，3.8)，由上述样本数据得到U与V的线性回归分析，R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，则R2＝( )
A． B．
C．1 D．3
解析：选C．依题意，留意到点(1，1.4)，(2，2.2)，(3，3)，(4，3.8)均位于直线y－1.4＝(x－1)，即y＝0.8x＋0.6上，因此解释变量对于预报变量变化的贡献率R2＝1.
4．下列说法错误的是( )
A．回归直线过样本点的中心(，)
B．线性回归方程对应的直线＝x＋至少经过其样本数据点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点
C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高
D．在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好
解析：选B．回归直线必过样本点的中心，A正确；由残差分析可知残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，C正确；在回归分析中，R2越接近于1，模拟效果越好，D正确；线性回归方程对应的直线＝x＋确定经过样本点的中心(，)，但不愿定经过样本数据点，所以B错误．
5．(2022·山东东营模拟)已知变量x与y之间的回归直线方程为＝－3＋2x，若xi＝17，则yi的值等于( )
A．3 B．4
C．0.4 D．40
解析：选B．依题意＝＝1.7，
而直线＝－3＋2x确定经过(，)，
所以＝－3＋2＝－3＋2×1.7＝0.4，
∴yi＝0.4×10＝4.
6．下面是一个2×2列联表
y1
y2
总计
x1
a
21
73
x2
2
25
27
总计
b
46
则表中a，b处的值分别为________．
解析：∵a＋21＝73，∴a＝52.
又∵a＋2＝b，∴b＝54.
答案：52，54
7．(2022·辽宁大连市双基测试)已知下列表格所示数据的回归直线方程为＝3.8x＋a，则a的值为________.
x
2
3
4
5
6
y
251
254
257
262
266
解析：由已知得，＝4，＝258，由于点(，)在回归直线上，所以a＝242.8.
答案：242.8
8．(2022·山东济南市模拟考试)为了均衡训练资源，加大对偏远地区的训练投入，调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年训练支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年训练支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：＝0.15x＋0.2.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年训练支出平均增加________万元．
解析：由题意知，0.15(x＋1)＋0.2－(0.15x＋0.2)＝0.15.
答案：0.15
9．为调查某地区老年人是否需要志愿者供应挂念，用简洁随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
性别
是否需要志愿者
男
女
需要
40
30
不需要
160
270
(1)估量该地区老年人中，需要志愿者供应挂念的老年人的比例；
(2)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者供应挂念与性别有关？
解：(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者供应挂念，因此该地区老年人中，需要挂念的老年人的比例的估量值为＝14%.
(2)K2的观测值
k＝≈9.967.
由于9.967>6.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者供应挂念与性别有关．
10．某农科所对冬季昼夜温差与某反季节大豆种子发芽多少之间的关系进行分析争辩，他们记录了12月1日至5日的昼夜温差与每天100颗种子的发芽数，数据如下：
日期
12月1日
12月2日
12月3日
12月4日
12月5日
温差x(℃)
10
11
13
12
8
发芽数
y(颗)
23
25
30
26
16
该农科所确定的争辩方案是：先从五组数据中选取两组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再用被选取的两组数据进行检验．
(1)若先选取的是12月1日和5日的数据，请依据2日至4日的三组数据，求y关于x的线性回归方程＝x＋；
(2)若由回归方程得到的估量数据与检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是牢靠的，试推断(1)中所得到的线性回归方程是否牢靠？
解：(1)由数据，求得＝12，＝27，
由公式，求得＝，＝－＝－3，
所以y关于x的线性回归方程为＝x－3.
(2)当x＝10时，＝×10－3＝22，
|22－23|<2，
同样，当x＝8时，＝×8－3＝17，
|17－16|<2.
所以，该农科所得到的线性回归方程是牢靠的．
[力气提升]
1．有甲、乙两个班级进行数学考试，依据大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成果，得到如下所示的列联表：
优秀
非优秀
总计
甲班
10
b
乙班
c
30
总计
105
已知在全部105人中随机抽取1人，成果优秀的概率为，则下列说法正确的是( )
A．列联表中c的值为30，b的值为35
B．列联表中c的值为15，b的值为50
C．依据列联表中的数据，若按95%的牢靠性要求，能认为“成果与班级有关系”
D．依据列联表中的数据，若按95%的牢靠性要求，不能认为“成果与班级有关系”
解析：选C．由题意知，成果优秀的同学数是30，成果非优秀的同学数是75，所以c＝20，b＝45，选项A、B错误．依据列联表中的数据，得到K2＝≈6.109>3.841，因此有95%的把握认为“成果与班级有关系”．
2．(2022·安徽合肥检测)由数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x10，y10)求得线性回归方程＝x＋，则“(x0，y0)满足线性回归方程＝x＋”是“x0＝，y0＝”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B．(x0，y0)为这10组数据的平均值，又由于回归直线＝x＋必过样本中心点(，)，因此(x0，y0)确定满足线性回归方程，但坐标满足线性回归方程的点不愿定是(，)．
3．(2022·山东菏泽调研)某医疗争辩所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K2≈3.918，经查对临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.对此，四名同学做出了以下的推断：
p：有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；
q：若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；
r：这种血清预防感冒的有效率为95%；
s：这种血清预防感冒的有效率为5%.
则下列命题中，真命题的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上)
①p∧綈q ②綈p∧q ③(綈p∧綈q)∧(r∨s)
④(p∨綈r)∧(綈q∨s)
解析：由题意，得K2≈3.918，P(K2≥3.841)≈0.05，所以只有第一位同学的推断正确，即有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”．由真值表知①④为真命题．
答案：①④
4．(2022·广东梅州一模)在2021年8月15日那天，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：
价格x
9
9.5
m
10.5
11
销售量y
11
n
8
6
5
由散点图可知，销售量y与价格x之间有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是＝－3.2x＋40，且m＋n＝20，则其中的n＝________．
解析：＝＝8＋，＝＝6＋，线性回归直线确定经过样本中心(，)，即6＋＝－3.2＋40，
即3.2m＋n＝42.
又∵m＋n＝20，即解得故n＝10.
答案：10
5．(2022·福建泉州一模)甲、乙两台机床生产同一型号零件．记生产的零件的尺寸为t(cm)，相关行业质检部门规定：若t∈(2.9，3.1]，则该零件为优等品；若t∈(2.8，2.9]∪(3.1，3.2]，则该零件为中等品；其余零件为次品．现分别从甲、乙机床生产的零件中各随机地抽取50件，经质量检测得到下表数据：
尺寸
[2.7，2.8]
(2.8，2.9]
(2.9，3.0]
(3.0，3.1]
(3.1，3.2]
(3.2，3.3]
甲机床
零件频数
2
3
20
20
4
1
乙机床
零件频数
3
5
17
13
8
4
(1)设生产每件产品的利润为：优等品3元，中等品1元，次品亏本1元．若将频率视为概率，试依据样本估量总体的思想，估算甲机床生产一件零件的利润的数学期望；
(2)对于这两台机床生产的零件，在排解其他因素影响的状况下，试依据样本估量总体的思想，估量约有多大的把握认为“零件优等与否和所用机床有关”，并说明理由．
参考公式：K2＝.
参考数据：
P(K2≥k0)
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
k0
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
解：(1)设甲机床生产一件零件获得的利润为X元，它的分布列为
X
3
1
－1
P
0.8
0.14
0.06
则有E(X)＝3×0.8＋1×0.14＋(－1)×0.06＝2.48(元)．
所以，甲机床生产一件零件的利润的数学期望为2.48元．
(2)由表中数据可知：甲机床优等品40个，非优等品10个；乙机床优等品30个，非优等品20个．
制作2×2列联表如下：
甲机床
乙机床
合计
优等品
40
30
70
非优等品
10
20
30
合计
50
50
100
计算K2的观测值k＝≈4.762.
考察参考数据并留意到3.841<4.762<5.024，可知：对于这两台机床生产的零件，在排解其他因素影响的状况下，依据样本估量总体的思想，约有95%的把握认为“零件优等与否和所用机床有关”．
6．(选做题)针对时下的“韩剧热”，某校团委对“同学性别和宠爱韩剧是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生宠爱韩剧的人数占男生人数的，女生宠爱韩剧人数占女生人数的.
(1)若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否宠爱韩剧和性别有关，则男生至少有多少人；
(2)若没有充分的证据显示是否宠爱韩剧和性别有关，则男生至多有多少人？
解：设男生人数为x，依题意可得列联表如下：
宠爱韩剧
不宠爱韩剧
总计
男生
x
女生
总计
x
x
(1)若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否宠爱韩剧和性别有关，则k>3.841，
由K2＝＝x>3.841，
解得x>10.24.
∵，为整数，∴若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否宠爱韩剧和性别有关，则男生至少有12人．
(2)没有充分的证据显示是否宠爱韩剧和性别有关，
则k≤2.706.
由K2＝＝x≤2.706，
解得x≤7.216，
∵，为整数，
∴若没有充分的证据显示是否宠爱韩剧和性别有关，则男生至多有6人．
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