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第七章 第一节
一、选择题
1．(2022·双鸭山一中月考)已知全集为R，集合A＝{x|()x≤1}，B＝{x|x2－6x＋8≤0}，则A∩綂RB＝( )
A．{x|x≤0} B．{x|2≤x≤4}
C．{x|0≤x<2或x>4} D．{x|0<x≤2或x≥4}
[答案] C
[解析] ∵()x≤1，∴x≥0，A＝{x|x≥0}，B＝{x|2≤x≤4}，所以綂RB＝{x|x<2或x>4}，
∴A∩(綂RB)＝{x|0≤x<2或x>4}，故选C.
2．(文)设0<b<a<1，则下列不等式成立的是( )
A．ab<b2<1 B．<()a<()b
C．a2<ab<1 D．logb<loga<0
[答案] B
[解析] 依题意得ab－b2＝b(a－b)>0，∴ab>b2，因此A不正确；同理可知C不正确；由函数y＝()x在R上是减函数得，当0<b<a<1时，有()0>()b>()a>()1，即<()a<()b，因此B正确；同理可知D不正确．综上所述，选B.
[点评] 可取特值a＝，b＝检验．
(理)设a＋b<0，且b>0，则( )
A．b2>a2>ab B．b2<a2<－ab
C．a2<－ab<b2 D．a2>－ab>b2
[答案] D
[解析] 由a＋b<0，b>0，可得a<0,0<b<－a，则b2－a2＝(b－a)(a＋b)<0，可知A、C错误，a2＋ab＝a(a＋b)>0，b2＋ab＝b(b＋a)<0，可知B错误，D正确．
[点评] 可对a、b取特值检验．
3．(文)(2022·陕西咸阳范公中学摸底)若a，b是任意实数，且a>b，则下列不等式成立的是( )
A．a2>b2 B．<1
C．lg(a－b)>0 D．()a<()b
[答案] D
[解析] 当a＝－1，b＝－2时，a2<b2，>1，lg(a－b)＝0，可排解A，B，C，故选D.
(理)(2022·福建四地六校其次次月考)已知a>b>0，则下列不等式中总成立的是( )
A．a＋>b＋ B．a＋>b＋
C.> D．b－>a－
[答案] A
[解析] ∵a>b>0，∴>>0，∴a＋>b＋，故选A.
4．(文)(2022·山东潍坊一中检测)若命题“∃x0∈R，使得x＋mx0＋2m－3<0”为假命题，则实数m的取值范围是( )
A．[2,6] B．[－6，－2]
C．(2,6) D．(－6，－2)
[答案] A
[解析] 若命题为假命题，则满足Δ＝m2－4(2m－3)＝m2－8m＋12≤0，解得2≤m≤6.故选A.
(理)(2022·上海交大附中训练)若(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(1，＋∞)
B．(－∞，－1)
C．(－∞，－)
D．(－∞，－)∪(1，＋∞)
[答案] C
[解析] ①当m＝－1时，不等式为2x－6<0，即x<3，不合题意；
②当m≠－1时，由解得m<－.
[点评] 留意区分存在性命题的真假与恒成立命题的真假．
①关于x的不等式x2－ax－20a2<0任意两个解的差不超过9，则a的最大值与最小值的和是( )
A．2 B．1
C．0 D．－1
[答案] C
[解析] 方程x2－ax－20a2＝0的两根是x1＝－4a，x2＝5a，则由关于x的不等式x2－ax－20a2<0任意两个解的差不超过9，得|x1－x2|＝|9a|≤9，即－1≤a≤1，且a≠0，故选C.
②(2021·南昌市调研)若存在实数x∈[2,4]，使x2－2x＋5－m<0成立，则m的取值范围为( )
A．(13，＋∞) B．(5，＋∞)
C．(4，＋∞) D．(－∞，13)
[答案] B
[解析] ∵x∈[2,4]时，x2－2x＋5＝(x－1)2＋4∈[5,13]，又存在x∈[2,4]时，使m>x2－2x＋5成立，∴m>5，故选B.
5．(2021·汉中一模)若a、b均为不等于零的实数，给出下列两个条件．条件甲：对于区间[－1,0]上的一切x值，ax＋b>0恒成立；条件乙：2b－a>0，则甲是乙的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] ∵当x∈[－1,0]时，恒有ax＋b>0成立，
∴当x＝－1时，b－a>0，当x＝0时，b>0，
∴2b－a>0，∴甲⇒乙；但乙推不出甲，
例如：a＝b，b>0时，则2b－a＝b>0，
但是，当x＝－1时，a·(－1)＋b＝－b＋b＝－b<0，
∴甲是乙的充分不必要条件．
6．已知a1、a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是( )
A．M<N B．M>N
C．M＝N D．不确定
[答案] B
[解析] 由题意得M－N＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)>0，故M>N，选B.
二、填空题
7．已知函数f(x)＝x2＋，g(x)＝()x－m，若∀x1∈[1,2]，∃x2∈[－1,1]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________．
[答案] [－，＋∞)
[解析] 要使对∀x1∈[1,2]，∃x2∈[－1,1]，使得f(x1)≥g(x2)，只需使f(x)在区间[1,2]上的最小值大于等于g(x)在区间[－1,1]上的最小值即可．由于f ′(x)＝≥0对x∈[1,2]恒成立，所以函数f(x)在区间[1,2]上单调递增，从而函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为f(1)＝3.易知函数g(x)在区间[－1,1]上单调递减，故函数g(x)在区间[－1,1]上的最小值为g(1)＝－m.由题意得3≥－m，解得m≥－.
8．(2022·温州十校联合体期中)已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<4}，则不等式cx2＋bx＋a<0的解集为________．
[答案] {x|x>或x<}
[解析] 由已知得a<0且2,4为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，由韦达定理得－＝6，＝8，两式相除得－＝，又＝，留意到a<0，∴c<0，∴不等式cx2＋bx＋a<0⇔x2＋x＋>0⇔x2－x＋>0⇔(x－)(x－)>0，∴x>或x<.故选D.
[点评] 1.不等式解集的分界点为对应方程的根．
2．与二次函数有关的几类常考问题．
(1)求不等式的解集．
已知符号函数sgnx＝则不等式x2－(x＋1)sgnx－1>0的解集是________．
[答案] {x|x<－1或x>2}
[解析] 不等式x2－(x＋1)sgnx－1>0化为
或或
∴x>2或x<－1.
(2)已知不等式的解集(或解集特征)求参数值．
(2022·山西高校附中月考)已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则全部符合条件的a的值之和是( )
A．13 B．18
C．21 D．26
[答案] C
[解析] 设f(x)＝x2－6x＋a，其图象开口向上，对称轴为x＝3.若关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，
即即
解得5<a≤8，又a∈Z，∴a＝6,7,8.
则全部符合条件的a的值之和是6＋7＋8＝21.故选C.
(3)不等式有解问题
(2022·江西第三次适应性测试)若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是( )
A．a<－2 B．a>－2
C．a>－6 D．a<－6
[答案] A
[解析] 不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2－4x－2)max，令g(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，所以g(x)<g(4)＝－2，所以a<－2.
(4)不等式恒成立问题
9．设A＝log2021，B＝log2021，则A与B的大小关系为________．
[答案] A>B
[解析] 设20221111＝x，则x>1，
A＝log2021，B＝log2021，
∵－＝>0，
y＝log2021x为增函数，
∴log2021>log2021，即A>B.
三、解答题
10．某产品生产厂家依据以往的生产销售阅历得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x(百台)，其总成本为G(x)(万元)，其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)；销售收入R(x)(万元)满足：
R(x)＝，
假定该产品产销平衡，那么依据上述统计规律．
(1)要使工厂有赢利，产量x应把握在什么范围内？
(2)工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？
[解析] 依题意，G(x)＝x＋2
设利润函数为f(x)，则
f(x)＝
(1)要使工厂有赢利，即解不等式f(x)>0，当0≤x≤5时，解不等式－0.4x2＋3.2x－2.8>0
即x2－8x＋7<0，得1<x<7，
∴1<x≤5.
当x>5时，解不等式8.2－x>0，得 x<8.2，
∴5<x<8.2
综上所述，要使工厂赢利，x应满足1<x<8.2，即产品产量应把握在大于100台，小于820台的范围内．
(2)0≤x≤5时，f(x)＝－0.4(x－4)2＋3.6
故当x＝4时，f(x)有最大值3.6
而当x>5时，f(x)<8.2－5＝3.2
所以，当工厂生产400台产品时，赢利最多.
一、选择题
11．(2021·江西师大附中、新余四中联考)集合P＝{x|x＋≤2，x∈Z}，集合Q＝{x|x2＋2x－3>0}，则P∩綂RQ＝( )
A．[－3,0) B．{－3，－2，－1}
C．{－3，－2，－1,1} D．{－3，－2，－1,0}
[答案] C
[解析] x<0时，x＋≤2明显成立；当x>0时，x＋≤2化为x2－2x＋1≤0，∴x＝1，∴p＝{x∈Z|x＝1或x<0}．
由Q中不等式变形得：(x－1)(x＋3)>0，
解得：x>1或x<－3，即Q＝{x|x>1或x<－3}，
∵全集为R，∴綂RQ＝{x|－3≤x≤1}，则P∩綂RQ＝{－3，－2，－1,1}．
12．(2022·福建泉州试验中学模拟)若不等式f(x)＝ax2－x－c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y＝f(－x)的图象为( )
[答案] B
[解析] 由题意知a<0，由根与系数的关系知＝－2＋1，－＝－2，得a＝－1，c＝－2.所以f(x)＝－x2－x＋2，f(－x)＝－x2＋x＋2＝－(x＋1)(x－2)，图象开口向下，与x轴交点为(－1,0)，(2,0)，故选B.
13．(2021·淄博一中质检)已知函数y＝f(x)是定义在R上的增函数，函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，若对任意的x，y∈R，不等式f(x2－6x＋21)＋f(y2－8y)<0恒成立，则当x>3时，x2＋y2的取值范围是( )
A．(3,7) B．(9,25)
C．(13,49) D．(9,49)
[答案] C
[解析] 由于函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，所以函数y＝f(x)的图象关于原点对称，所以函数y＝f(x)为R上的奇函数，不等式f(x2－6x＋21)＋f(y2－8y)<0恒成立，即为f(x2－6x＋21)<－f(y2－8y)＝f(8y－y2)恒成立，由于函数y＝f(x)是定义在R上的增函数，所以x2－6x＋21<8y－y2恒成立，即x2＋y2－6x－8y＋21<0恒成立，即点(x，y)恒在圆(x－3)2＋(y－4)2＝4内，当x>3时，x2＋y2表示半圆(x－3)2＋(y－4)2＝4(x>3)上的点到原点的距离的平方，所以最大为(＋2)2＝49，最小为点(3,2)到原点的距离的平方，即为32＋22＝13，所以x2＋y2的取值范围是(13,49)．
14．(2022·山西太原模拟)已知a，b为非零实数，且a<b，则下列命题成立的是( )
A．a2<b2 B．a2b<ab2
C.< D．<
[答案] C
[解析] 由a<b<0得a2>b2，知A不成立；由a<b，若ab<0，则a2b>ab2，知B不成立；若a＝1，b＝2，则＝2，＝，此时>，所以D不成立；对于C，∵－＝<0，∴<.故选C.
二、填空题
15．(2022·江苏徐州模拟)若a>b>0，且>，则实数m的取值范围是________．
[答案] (－b,0)
[解析] 由条件知，－
＝＝>0，
又∵a>b>0，∴b－a<0，∴<0.
解得－b<m<0.
16．已知等比数列{an}中，a1>0，q>0，前n项和为Sn，比较与的大小，结果为________．
[答案] <
[分析] 可以利用等比数列前n项和公式将两个式子表示出来，再作差进行比较，但应留意对公比的分类争辩．
[解析] 当q＝1时，＝3，＝5，所以<；
当q>0且q≠1时，－＝－＝＝<0，所以有<.
综上可知<.
三、解答题
17．(文)(2022·湖北黄州月考)已知函数f(x)＝的定义域为A，
(1)求A；
(2)若B＝{x|x2－2x＋1－k2≥0}，且A∩B≠∅，求实数k的取值范围．
[解析] (1)由
解得－3<x<0或2<x<3，
∴A＝(－3,0)∪(2,3)．
(2)x2－2x＋1－k2≥0，
∴当k≥0时，1－k≤x≤1＋k，
当k<0时，1＋k≤x≤1－k，
∵A∩B≠∅，
∴或
∴k<－1或k>1.
(理)已知函数f(x)＝(ax－1)ex，a∈R.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的极值；
(2)若函数f(x)在区间(0,1)上是单调增函数，求实数a的取值范围．
[解析] (1)由于f ′(x)＝(ax＋a－1)ex，
所以当a＝1时，f ′(x)＝xex，令f ′(x)＝0，则x＝0，
所以f(x)，f ′(x)的变化状况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0，＋∞)
f ′(x)
－
0
＋
f(x)
微小值
所以x＝0时，f(x)取得微小值f(0)＝－1.
(2)由于f ′(x)＝(ax＋a－1)ex，函数f(x)在区间(0,1)上是单调增函数，
所以f ′(x)≥0对x∈(0,1)恒成立．
又ex>0，所以只要ax＋a－1≥0对x∈(0,1)恒成立，
解法一：设g(x)＝ax＋a－1，则要使ax＋a－1≥0对x∈(0,1)恒成立，只要成立，
即解得a≥1.
解法二：要使ax＋a－1≥0对x∈(0,1)恒成立，
由于x>0，所以a≥对x∈(0,1)恒成立，
由于函数g(x)＝在(0,1)上单调递减，
∴g(x)≤1，∴a≥1.
18．(2022·长沙市二模)某地一渔场的水质受到了污染．渔场的工作人员对水质检测后，打算往水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m(m∈N*)个单位的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y(毫克/升)满足y＝mf(x)，其中f(x)＝当药剂在水中释放的浓度不低于6(毫升/升)时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于6(毫升/升)且不高于18(毫升/升)时称为最佳净化．
(1)假如投放的药剂质量为m＝6，试问渔场的水质达到有效净化一共可持续几天？
(2)假如投放的药剂质量为m，为了使在8天(从投放药剂算起包括第8天)之内的渔场的水质达到最佳净化，试确定应当投放的药剂质量m的取值范围．
[解析] (1)由题设，投放的药剂质量为m＝6，
渔场的水质达到有效净化⇔6f(x)≥6⇔f(x)≥1⇔或⇔
0<x≤5或5<x≤8，即0<x≤8，
所以假如投放的药剂质量为m＝6，水质达到有效净化一共可持续8天．
(2)由题设，∀x∈(0,8]，6≤mf(x)≤18，m>0，
∵f(x)＝
∴∀x∈(0,5]，6≤mlog3(x＋4)≤18，且∀x∈(5,8]，6≤≤18，
∴且⇔5≤m≤9且6≤m≤9，
∴6≤m≤9，
投放的药剂质量m的取值范围为[6,9]．
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