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第七章 其次节
一、选择题
1．(文)(2022·福州模拟)已知a>0，b>0，则的最小值是( )
A．2 B．2
C．4 D．5
[答案] A
[解析] ∵a>0，b>0，∴ab>0，
∴＝＋ab≥2等号成立时＝ab，∴ab＝1，故选A.
(理)(2022·湖北随州中学模拟)函数y＝log2x＋logx2x的值域是( )
A．(－∞，－1] B．[3，＋∞)
C．[－1,3] D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
[答案] D
[解析] 由条件知x>0，且x≠1，
y＝log2x＋logx2＋1，
当x>1时，log2x>0，y≥2＋1＝3，等号成立时，x＝2；
当0<x<1时，log2x<0，y≤－2＋1＝－1，等号成立时，x＝.
∴函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
2．(2021·唐山一中月考)已知a、b是实数，则“a>1，b>1”是“a＋b>2且ab>1”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] ∵a>1，b>1，∴a＋b>2，且ab>1；
当a＝，b＝时，a＋b>2且ab>1，但“a>1，b>1”不成立，故选A.
3．(2022·安徽五模)已知向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)，若a⊥b，则9x＋3y的最小值为( )
A．2 B．2
C．6 D．9
[答案] C
[解析] 由题意知a·b＝4(x－1)＋2y＝0，∴2x＋y＝2，∴9x＋3y＝32x＋3y≥2＝6，等号成立时，x＝，y＝2，故选C.
4．(文)(2021·济宁模拟)已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值等于( )
A．10 B．9
C．8 D．7
[答案] B
[解析] 由条件知m≤恒成立，
∵＝
≥＝9.
等号在a＝b时成立，
∴m≤9，故选B.
(理)(2022·天津五校联考)已知a，b为正实数且ab＝1，若不等式(x＋y)(＋)>m对任意正实数x，y恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．[4，＋∞) B．(－∞，1]
C．(－∞，4] D．(－∞，4)
[答案] D
[解析] 由于(x＋y)(＋)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝b，＝时等号成立，即a＝b，x＝y时等号成立，故只要m<4即可，正确选项为D.
5．(文)设x、y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝2，a＋＝4，则＋的最大值为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
[答案] A
[解析] 依题意得4＝a＋≥2(当且仅当a＝时，等号成立)，则a≤4，a2b≤16，又x＝loga2，y＝logb2，所以＋＝2log2a＋log2b＝log2(a2b)≤log216＝4，即＋的最大值是4，故选A.
(理)设a>0，b>0，是a与b的等差中项，ax＝by＝3，则＋的最大值等于( )
A. B．1
C. D．2
[答案] B
[解析] 由条件知a＋b＝2，x＝loga3，y＝logb3，
∴＋＝log3a＋log3b＝log3(ab)≤log32＝1，等号在a＝b＝时成立，故选B.
[点评] 将基本不等式与其他学问结合命制求最值的问题是高考命题中常见的一种方式，解题时先依据其他学问将条件与待求最值的表达式作适当变形、等价转化，使其具备应用基本不等式的条件是解题的关键．
6．(2022·上海松江期末)已知0<a<b，且a＋b＝1，则下列不等式中，正确的是( )
A．log2a>0 B．2a－b<
C．log2a＋log2b<－2 D．2＋<
[答案] C
[解析] 由条件知0<a<1，∴log2a<0，A错误；∵0<a<b，a＋b＝1，∴0<a<，<b<1，∴a－b>－1，此时2a－b>，B错误；由＋>2＝2,2＋>22＝4，D错误；由a＋b＝1>2，即ab<，因此log2a＋log2b＝log2(ab)<log2＝－2.故选C.
二、填空题
7．设＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则＋的最小值是________．
[答案] 8
[解析] ＝－＝(a－1,1)，＝－＝(－b－1,2)，
∵与共线，∴2(a－1)＋b＋1＝0，即2a＋b＝1.
∵a>0，b>0，∴＋＝(＋)(2a＋b)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即b＝，a＝时等号成立．
8．(文)设圆x2＋y2＝1的一条切线与x轴、y轴分别交于点A，B，则AB的最小值为______．
[答案] 2
[解析] 由条件知切线在两轴上的截距存在，且不为零，故设切线方程为＋＝1，则＝1，
∴a2b2＝a2＋b2≥2ab，切线与两轴交于点A(a,0)和(0，b)，不妨设a>0，b>0，∴ab≥2，则AB＝|AB|＝≥≥2.
(理)在等式“1＝＋”的两个括号内各填入一个正整数，使它们的和最小，则填入的两个数是________．
[答案] 4和12
[解析] 设两个括号中的正整数分别为x，y，则x>0，y>0，＋＝1，x＋y＝(x＋y)(＋)＝10＋＋≥10＋2＝16，等号在＝，即y＝3x时成立，由解得
9．(文)已知c是双曲线－＝1(a>0，b>0)的半焦距，则的取值范围是________．
[答案] [，1)
[解析] 由题设条件知，a＋b>c，∴<1，
∵a2＋b2＝c2，
∴()2＝≥＝，
∴≥，≤<1.
(理)(2022·咸阳专题训练)在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________．
[答案] 4
[解析] 由题意，P、Q关于(0,0)对称，设直线PQ：y＝kx(k>0)，从而P(，)，Q(－，－)．
则PQ＝≥4，当且仅当k＝1时，(PQ)min＝4.
[点评] 1.用基本不等式≥求最值时，要留意“一正、二定、三相等”，确定要明确什么时候等号成立．
2．应用基本不等式求最值，要留意归纳常见的变形技巧，代入消元，配系数，“1”的代换等等．
3．留意到P、Q关于原点对称，可设P(x0，)，x0>0，则|PQ|＝2|OP|＝2≥4，x0＝时取等号，更简捷的获解．
三、解答题
10．(2022·江苏盐城一中检测)某单位拟建一个扇环面外形的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ(弧度)．
(1)求θ关于x的函数关系式；
(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值．
[解析] (1)由题意，得30＝θ(10＋x)＋2(10－x)，所以θ＝(0<x<10)．
(2)花坛的面积为θ(102－x2)＝(5＋x)(10－x)
＝－x2＋5x＋50(0<x<10)，
花坛面积与装饰总费用的比为y＝
＝－
令t＝17＋x，则y＝－(t＋)≤，当且仅当t＝18时取等号，此时x＝1，θ＝.故当x＝1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大.
一、选择题
11．(2022·浙江嘉兴调研)已知正实数a，b满足a＋2b＝1，则a2＋4b2＋的最小值为( )
A. B．4
C. D．
[答案] D
[解析] 由于a>0，b>0,1＝a＋2b≥2，所以ab≤，当且仅当a＝2b＝时取等号．又由于a2＋4b2＋≥2a·(2b)＋＝4ab＋，令t＝ab，所以f(t)＝4t＋，由于f(t)在(0，]上单调递减，所以f(t)min＝f()＝，此时a＝2b＝，故选D.
12．(文)(2022·广东南雄黄坑中学月考)已知x>0，y>0，lg2x＋lg8y＝lg2，则＋的最小值是( )
A．2 B．4
C．2＋ D．4＋2
[答案] D
[解析] 由已知lg2x＋lg8y＝lg2得lg2x＋3y＝lg2，所以x＋3y＝1，所以＋＝(＋)(x＋3y)＝4＋＋≥4＋2.
(理)(2021·山东鱼台一中质检)若a>b>0，则下列不等式确定不成立的是( )
A.<
B．log2a>log2b
C．a2＋b2≤2a＋2b－2
D．b<<<a
[答案] C
[解析] y＝在(0，＋∞)上单调递减，a>b>0，∴<，故A成立；∵y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，
∴log2a>log2b，∴B成立；∵a>b>0，∴a＝>>>＝b，∴D成立；∵a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2>0，∴a2＋b2>2a＋2b－2，∴C不成立．
13．(2022·沈阳、云浮、佳木斯一中模拟、长春调研)若两个正实数x，y满足＋＝1，并且x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－2)∪(4，＋∞)
B．(－∞，－4)∪[2，＋∞)
C．(－2,4)
D．(－4,2)
[答案] D
[解析] ∵x>0，y>0，且＋＝1，
∴x＋2y＝(x＋2y)(＋)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即x＝2y时取等号．
又∵＋＝1，∴x＝4，y＝2时，(x＋2y)min＝8.要使x＋2y>m2＋2m恒成立，只需(x＋2y)min>m2＋2m恒成立，即8>m2＋2m，解得－4<m<2.
14．已知实数a、b、c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a、b、c的大小关系是( )
A．c≥b>a B．a>c≥b
C．c>b>a D．a>c>b
[答案] A
[解析] 解法1：特值法：令a＝0，则b＝1，c＝5，
∴c>b>a，排解B、D；
令c＝b，则a＝2，∴b＝c＝5，也满足b>a，排解C，选A.
解法2：c－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2≥0，
∴c≥b，已知两式作差得2b＝2＋2a2，即b＝1＋a2，
∵1＋a2－a＝2＋>0，
∴1＋a2>a，∴b>a，∴c≥b>a.
二、填空题
15．(2022·沈阳模拟)已知点A(m，n)在直线x＋2y－2＝0上，则2m＋4n的最小值为________．
[答案] 4
[解析] 由条件知m＋2n＝2，
2m＋4n＝2m＋22n≥2＝4，
等号成立时，∴m＝1，n＝.
∴所求最小值为4.
16．(2021·广东揭阳一中期中)已知正实数x，y满足lnx＋lny＝0，且k(x＋2y)≤x2＋4y2恒成立，则k的最大值是________．
[答案]
[解析] 由条件知x>0，y>0，xy＝1，
∴x＋2y≥2＝2，
要使k(x＋2y)≤x2＋4y2恒成立，只要k≤()min，
∵＝(x＋2y)－≥2－＝，
等号成章地，∴x＝，y＝，∴k≤.
三、解答题
17．(2022·湖南省五市十校联合检测)某化工企业2021年年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费确定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)．
(1)用x表示y；
(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．
[解析] (1)由题意得，
y＝，
则y＝x＋＋1.5(x∈N*)．
(2)由基本不等式得：
y＝x＋＋1.5≥2＋1.5＝21.5，当且仅当x＝，即x＝10时取等号．
故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备．
18．(文)已知α、β都是锐角，且sinβ＝sinαcos(α＋β)．
(1)当α＋β＝，求tanβ的值；
(2)当tanβ取最大值时，求tan(α＋β)的值．
[解析] (1)∵由条件知，sinβ＝sin，
整理得sinβ－cosβ＝0，∵β为锐角，∴tanβ＝.
(2)由已知得sinβ＝sinαcosαcosβ－sin2αsinβ，
∴tanβ＝sinαcosα－sin2αtanβ，
∴tanβ＝＝
＝＝≤＝.
当且仅当＝2tanα时，取“＝”号，
∴tanα＝时，tanβ取得最大值，
此时，tan(α＋β)＝＝.
(理)(2022·上海嘉定一模)已知函数f(x)＝x＋＋2(m为实常数)．
(1)若函数f(x)图象上动点P到定点Q(0,2)的距离的最小值为，求实数m的值；
(2)若函数y＝f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，试用函数单调性的定义求实数m的取值范围；
(3)设m<0，若不等式f(x)≤kx在x∈[，1]时有解，求k的取值范围．
[解析] (1)设P(x，y)，则y＝x＋＋2，
|PQ|2＝x2＋(y－2)2＝x2＋(x＋)2＝2x2＋＋2m≥2|m|＋2m＝2，
当m>0时，解得m＝－1；当m<0时，解得m＝－－1.
所以m＝－1或m＝－－1.
(2)由题意，任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x1<x2，
则f(x2)－f(x1)＝x2＋＋2－(x1＋＋2)＝(x2－x1)·>0.
由于x2－x1>0，x1x2>0，所以x1x2－m>0，即m<x1x2.
由x2>x1≥2，得x1x2>4，所以m≤4.
所以m的取值范围是(－∞，4]．
(3)由f(x)≤kx，得x＋＋2≤kx.
由于x∈[，1]，所以k≥＋＋1.
令t＝，则t∈[1,2]，所以k≥mt2＋2t＋1.
令g(t)＝mt2＋2t＋1，t∈[1,2]，
于是，要使原不等式在x∈[，1]时有解，当且仅当k≥[g(t)]min(t∈[1,2])．
由于m<0，所以g(t)＝m(t＋)2＋1－图象开口向下，对称轴为直线t＝－>0.
由于t∈[1,2]，所以当0<－≤，即m≤－时，g(t)min＝g(2)＝4m＋5；
当－>，即－<m<0时，g(t)min＝g(1)＝m＋3.
综上，当m≤－时，k∈[4m＋5，＋∞)；
当－<m<0时，k∈[m＋3，＋∞)．
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