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第七章 第一节
一、选择题
1．(2022·双鸭山一中月考)已知全集为R，集合A＝{x|()x≤1}，B＝{x|x2－6x＋8≤0}，则A∩∁RB＝( )
A．{x|x≤0} B．{x|2≤x≤4}
C．{x|0≤x<2或x>4} D．{x|0<x≤2或x≥4}
[答案] C
[解析] ∵()x≤1，∴x≥0，A＝{x|x≥0}，B＝{x|2≤x≤4}，所以∁RB＝{x|x<2或x>4}，
∴A∩(∁RB)＝{x|0≤x<2或x>4}，故选C．
2．(文)(2021·天津)设a、b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“a<b”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 由于a2≥0，而(a－b)a2<0，所以a－b<0，即a<b；由a<b，a2≥0，得到(a－b)a2≤0，所以(a－b)a2<0是a<b的充分不必要条件．
(理)若a>0且a≠1，b>0，则“logab>0”是“(a－1)(b－1)＞0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] ∵a>0且a≠1，b>0，
∴logab>0⇔或⇔(a－1)(b－1)>0.
3．(文)(2022·陕西咸阳范公中学摸底)若a，b是任意实数，且a>b，则下列不等式成立的是( )
A．a2>b2 B．<1
C．lg(a－b)>0 D．()a<()b
[答案] D
[解析] 当a＝－1，b＝－2时，a2<b2，>1，lg(a－b)＝0，可排解A，B，C，故选D．
(理)(2022·福建四地六校其次次月考)已知a>b>0，则下列不等式中总成立的是( )
A．a＋>b＋ B．a＋>b＋
C．> D．b－>a－
[答案] A
[解析] ∵a>b>0，∴>>0，∴a＋>b＋，故选A．
4．(2021·西安模拟)设α∈(0，)，β∈[0，]，那么2α－的取值范围是( )
A．(0，) B．(－，)
C．(0，π) D．(－，π)
[答案] D
[解析] 由题设得0<2α<π，0≤≤，
∴－≤－≤0，∴－<2α－<π.
5．(文)已知p：∃x∈R，mx2＋2≤0，q：∀x∈R，x2－2mx＋1>0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是( )
A．m≥1 B．m≤－1
C．m≤－1或m≥1 D．－1≤m≤1
[答案] A
[解析] ∵p∨q为假命题，∴p和q都是假命题．
由p：∃x∈R，mx2＋2≤2为假，得∀x∈R，mx2＋2>0，
∴m≥0. ①
由q：∀x∈R，x2－2mx＋1>0为假，得∃x0∈R，x－2mx0＋1≤0，
∴Δ＝(－2m)2－4≥0⇒m2≥1⇒m≤－1或m≥1. ②
由①和②得m≥1，故选A．
(理)(2022·山东潍坊一中检测)若命题“∃x0∈R，使得x＋mx0＋2m－3<0”为假命题，则实数m的取值范围是( )
A．[2,6] B．[－6，－2]
C．(2,6) D．(－6，－2)
[答案] A
[解析] 若命题为假命题，则满足Δ＝m2－4(2m－3)＝m2－8m＋12≤0，解得2≤m≤6.故选A．
[点评] 留意区分存在性命题的真假与恒成立命题的真假．
(2022·上海交大附中训练)若(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(－∞，－1)
C．(－∞，－) D．(－∞，－)∪(1，＋∞)
[答案] C
[解析] ①当m＝－1时，不等式为2x－6<0，即x<3，不合题意；
②当m≠－1时，由解得m<－.
6．(文)已知定义域为R的偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，且f＝2，则不等式f(log4x)>2的解集为( )
A．(0，)∪(2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(0，)∪(，＋∞) D．(0，)
[答案] A
[解析] 作出函数f(x)的示意图如图，则log4x>或log4x<－，解得x>2或0<x<.故选A．
(理)(2021·北京西城区期末)已知a>b>0，给出下列四个不等式：①a2>b2；②2a>2b－1；③>－；④a3＋b3>2a2b.
其中确定成立的不等式为( )
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
[答案] A
[解析] 由a>b>0可得a2>b2，①正确；由a>b>0可得a>b－1，而函数f(x)＝2x在R上是增函数，∴2a>2b－1，②正确；∵a>b>0，∴>，∴()2－(－)2＝2－2b＝2(－)>0，∴>－，③正确；若a＝3，b＝2，则a3＋b3＝35,2a2b＝36，a3＋b3<2a2b，④错误．
二、填空题
7．(2022·温州十校联合体期中)已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<4}，则不等式cx2＋bx＋a<0的解集为________．
[答案] {x|x>或x<}
[解析] 由已知得a<0且2,4为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，由韦达定理得－＝6，＝8，两式相除得－＝，又＝，留意到a<0，∴c<0，∴不等式cx2＋bx＋a<0⇔x2＋x＋>0⇔x2－x＋>0⇔(x－)(x－)>0，∴x>或x<.
[点评] 1.不等式解集的分界点为对应方程的根．
2．与二次函数有关的几类常考问题．
(1)求不等式的解集．
对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么使不等式4[x]2－36[x]＋45<0成立的x的取值范围是( )
A．(，) B．[2,8]
C．[2,8) D．[2,7]
[答案] C
[解析] 由4[x]2－36[x]＋45<0，得<[x]<，
又[x]表示不大于x的最大整数，所以2≤x<8.
(2)已知不等式的解集(或解集特征)求参数值．
(2022·山西高校附中月考)已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则全部符合条件的a的值之和是( )
A．13 B．18
C．21 D．26
[答案] C
[解析] 设f(x)＝x2－6x＋a，其图象开口向上，对称轴为x＝3.若关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，
即即
解得5<a≤8，又a∈Z，∴a＝6,7,8.
则全部符合条件的a的值之和是6＋7＋8＝21.故选C．
(3)不等式有解问题
(2022·江西第三次适应性测试)若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是( )
A．a<－2 B．a>－2
C．a>－6 D．a<－6
[答案] A
[解析] 不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2－4x－2)max，令g(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，所以g(x)≤g(4)＝－2，所以a<－2.
(4)不等式恒成立问题
8．(2021·扬州期末)若a1<a2，b1<b2，则a1b1＋a2b2与a1b2＋a2b1的大小关系是________．
[答案] a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1
[解析] 作差可得(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)(b1－b2)，∵a1<a2，b1<b2，∴(a1－a2)(b1－b2)>0，即a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.
9．若关于x的不等式m(x－1)>x2－x的解集为{x|1<x<2}，则实数m的值为________．
[答案] 2
[解析] 解法1：由m(x－1)>x2－x整理得(x－1)(m－x)>0，即(x－1)(x－m)<0，又m(x－1)>x2－x的解集为{x|1<x<2}，所以m＝2.
解法2：由条件知，x＝2是方程m(x－1)＝x2－x的根，
∴m＝2.
三、解答题
10．(2021·忻州一中期中)已知f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3.
(1)求函数f(x)在[t，t＋2](t>0)上的最小值；
(2)若对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．
[分析] (1)f(x)是一次函数与对数函数的乘积，求f(x)在闭区间上的最小值用导数求解．
(2)对任意x>0,2f(x)≥g(x)恒成立；即2f(x)－g(x)≥0恒成立，求参数a的取值范围，可分别参数转化为函数最值求解．
[解析] (1)f ′(x)＝lnx＋1，
当x∈(0，)时，f ′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(，＋∞)，f ′(x)>0，f(x)单调递增．
①0<t<<t＋2，即0<t<时，f(x)min＝f()＝－；
②t≥时，f(x)在[t，t＋2]上单调递增，f(x)min＝f(t)＝tlnt；
所以f(x)min＝
(2)∵x>0,2xlnx≥－x2＋ax－3，∴a≤2lnx＋x＋，
设h(x)＝2lnx＋x＋(x>0)，则
h′(x)＝，
当x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，
所以h(x)min＝h(1)＝4，
故a≤4.
一、选择题
11．(文)(2021·长沙模拟)已知二次函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1(a∈Z)，且函数f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f(x)>1的解集为( )
A．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B．(－∞，0)∪(1，＋∞)
C．(－1,0) D．(0,1)
[答案] C
[解析] ∵f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1，Δ＝(a＋2)2－4a＝a2＋4>0，
∴函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1必有两个不同的零点，
又f(x)在(－2，－1)上有一个零点，
则f(－2)f(－1)<0，
∴(6a＋5)(2a＋3)<0，
∴－<a<－，又a∈Z，
∴a＝－1，不等式f(x)>1即为－x2－x>0，解得－1<x<0.
(理)(2021·山西诊断)已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，且f(x)的导数f ′(x)在R上恒有f ′(x)<，则不等式f(x2)<＋的解集为( )
A．(1，＋∞) B．(－∞，－1)
C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
[答案] D
[解析] 记g(x)＝f(x)－x－，则有g′(x)＝f ′(x)－<0，g(x)是R上的减函数，且g(1)＝f(1)－×1－＝0.不等式f(x2)<＋，即f(x2)－－<0，即g(x2)<0，即g(x2)<g(1)，由g(x)是R上的减函数得x2>1，解得x<－1或x>1，即不等式f(x2)<＋的解集是(－∞，－1)∪(1，＋∞)，选D．
12．(2022·福建泉州试验中学模拟)若不等式f(x)＝ax2－x－c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y＝f(－x)的图象为( )
[答案] B
[解析] 由题意知a<0，由根与系数的关系知＝－2＋1，－＝－2，得a＝－1，c＝－2.所以f(x)＝－x2－x＋2，f(－x)＝－x2＋x＋2＝－(x＋1)(x－2)，图象开口向下，与x轴交点为(－1,0)，(2,0)，故选B．
13．(2021·淄博一中质检)已知函数y＝f(x)是定义在R上的增函数，函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，若对任意的x，y∈R，不等式f(x2－6x＋21)＋f(y2－8y)<0恒成立，则当x>3时，x2＋y2的取值范围是( )
A．(3,7) B．(9,25)
C．(13,49) D．(9,49)
[答案] C
[解析] 由于函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，所以函数y＝f(x)的图象关于原点对称，所以函数y＝f(x)为R上的奇函数，不等式f(x2－6x＋21)＋f(y2－8y)<0恒成立，即为f(x2－6x＋21)<－f(y2－8y)＝f(8y－y2)恒成立，由于函数y＝f(x)是定义在R上的增函数，所以x2－6x＋21<8y－y2恒成立，即x2＋y2－6x－8y＋21<0恒成立，即点(x，y)恒在圆(x－3)2＋(y－4)2＝4内，当x>3时，x2＋y2表示半圆(x－3)2＋(y－4)2＝4(x>3)上的点到原点的距离的平方，所以最大为(＋2)2＝49，最小为点(3,2)到原点的距离的平方，即为32＋22＝13，所以x2＋y2的取值范围是(13,49)．
14．(2022·山西太原模拟)已知a，b为非零实数，且a<b，则下列命题成立的是( )
A．a2<b2 B．a2b<ab2
C．< D．<
[答案] C
[解析] 由a<b<0得a2>b2，知A不成立；由a<b，若ab<0，则a2b>ab2，知B不成立；若a＝1，b＝2，则＝2，＝，此时>，所以D不成立；对于C，∵－＝<0，∴<.故选C．
二、填空题
15．(2022·江苏徐州模拟)若a>b>0，且>，则实数m的取值范围是________．
[答案] (－b,0)
[解析] 由条件知，－
＝＝>0，
又∵a>b>0，∴b－a<0，∴<0.
解得－b<m<0.
16．(文)若关于x的不等式4x－2x＋1－a≥0在[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围为________．
[答案] (－∞，0]
[解析] ∵4x－2x＋1－a≥0在[1,2]上恒成立，
∴4x－2x＋1≥a在[1,2]上恒成立．
令y＝4x－2x＋1＝(2x)2－2×2x＋1－1＝(2x－1)2－1.
∵1≤x≤2，∴2≤2x≤4.
由二次函数的性质可知：当2x＝2，即x＝1时，y有最小值0，∴a∈(－∞，0]．
(理)已知a>1，若不等式loga＋1x－logax＋5<n＋对任意n∈N*恒成立，则实数x的取值范围是________．
[答案] (1，＋∞)
[解析] ∵n>0，n＋≥2，当n＝时取等号，但n∈N*，∴n＝2或3，当n＝2时，n＋＝5，当n＝3时，n＋＝5，∴n＋≥5，由条件知，loga＋1x－logax＋5<5，∴loga＋1x<logax，又a>1，∴x>1.
三、解答题
17．(文)(2022·湖北黄州月考)已知函数f(x)＝的定义域为A，
(1)求A；
(2)若B＝{x|x2－2x＋1－k2≥0}，且A∩B≠∅，求实数k的取值范围．
[解析] (1)由解得－3<x<0或2<x<3，
∴A＝(－3,0)∪(2,3)．
(2)x2－2x＋1－k2≥0，
∴当k≥0时，1－k≤x≤1＋k，
当k<0时，1＋k≤x≤1－k，
∵A∩B≠∅，∴或
∴k<－1或k>1.
(理)(2021·金华模拟)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，函数F(x)＝f(x)－x的两个零点为m，n(m<n)．
(1)若m＝－1，n＝2，求不等式F(x)>0的解集；
(2)若a>0，且0<x<m<n<，比较f(x)与m的大小．
[解析] (1)由题意知，F(x)＝f(x)－x＝a(x－m)(x－n)(a≠0)，
当m＝－1，n＝2时，不等式F(x)>0，
即a(x＋1)(x－2)>0.
当a>0时，不等式F(x)>0的解集为{x|x<－1或x>2}；当a<0时，不等式F(x)>0的解集为{x|－1<x<2}．
(2)f(x)－m＝F(x)＋x－m＝a(x－m)(x－n)＋x－m＝(x－m)(ax－an＋1)，
∵a>0，且0<x<m<n<，
∴x－m<0,1－an＋ax>0.
∴f(x)－m<0，即f(x)<m.
18．(2022·长沙市二模)某地一渔场的水质受到了污染．渔场的工作人员对水质检测后，打算往水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m(m∈N*)个单位的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y(毫克/升)满足y＝mf(x)，其中f(x)＝当药剂在水中释放的浓度不低于6(毫升/升)时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于6(毫升/升)且不高于18(毫升/升)时称为最佳净化．
(1)假如投放的药剂质量为m＝6，试问渔场的水质达到有效净化一共可持续几天？
(2)假如投放的药剂质量为m，为了使在8天(从投放药剂算起包括第8天)之内的渔场的水质达到最佳净化，试确定应当投放的药剂质量m的取值范围．
[解析] (1)由题设，投放的药剂质量为m＝6，
渔场的水质达到有效净化⇔6f(x)≥6⇔f(x)≥1⇔或⇔
0<x≤5或5<x≤8，即0<x≤8，
所以假如投放的药剂质量为m＝6，水质达到有效净化一共可持续8天．
(2)由题设，∀x∈(0,8]，6≤mf(x)≤18，m>0，
∵f(x)＝
∴∀x∈(0,5]，6≤mlog3(x＋4)≤18，且∀x∈(5,8]，6≤≤18，
∴且⇔5≤m≤9且6≤m≤9，∴6≤m≤9，
投放的药剂质量m的取值范围为[6,9]．
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