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第七章 其次节
一、选择题
1．(文)(2022·福州模拟)已知a>0，b>0，则的最小值是( )
A．2 B．2
C．4 D．5
[答案] A
[解析] ∵a>0，b>0，∴ab>0，
∴＝＋ab≥2等号成立时＝ab，∴ab＝1，故选A．
(理)(2022·湖北随州中学模拟)函数y＝log2x＋logx(2x)的值域是( )
A．(－∞，－1] B．[3，＋∞)
C．[－1,3] D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
[答案] D
[解析] 由条件知x>0，且x≠1，
y＝log2x＋logx2＋1，
当x>1时，log2x>0，y≥2＋1＝3，等号成立时，x＝2；
当0<x<1时，log2x<0，y≤－2＋1＝－1，等号成立时，x＝.
∴函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
2．(文)a、b为正实数，a、b的等差中项为A；、的等差中项为；a、b的等比中项为G(G>0)，则( )
A．G≤H≤A B．H≤G≤A
C．G≤A≤H D．H≤A≤G
[答案] B
[解析] 由题意知A＝，H＝，G＝，
易知≥≥，∴A≥G≥H.
(理)已知x>0、y>0，x、a、b、y成等差数列，x、c、d、y成等比数列，则的最小值是( )
A．0 B．1
C．2 D．4
[答案] D
[分析] 利用等差、等比数列的性质可将a、b、c、d的表达式转化为只含x、y的表达式，然后变形应用基本不等式求解．
[解析] 由等差、等比数列的性质得
＝＝＋＋2
≥2＋2＝4.仅当x＝y时取等号．
3．(文)(2022·天津五校联考)已知a，b为正实数且ab＝1，若不等式(x＋y)(＋)>m对任意正实数x，y恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．[4，＋∞) B．(－∞，1]
C．(－∞，4] D．(－∞，4)
[答案] D
[解析] 由于(x＋y)(＋)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝b，＝时等号成立，即a＝b，x＝y时等号成立，故只要m<4即可，正确选项为D．
(理)(2021·西安二模)在R上定义运算：＝ad－bc.若不等式≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为( )
A．－ B．－
C． D．
[答案] D
[解析] 原不等式等价于x(x－1)－(a－2)(a＋1)≥1，即x2－x－1≥(a＋1)(a－2)对任意实数x恒成立，
∵x2－x－1＝(x－)2－≥－，∴－≥a2－a－2，
∴－≤a≤.故选D．
4．(文)若直线ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值为( )
A． B．
C．＋ D．＋2
[答案] C
[解析] 圆的直径是4，说明直线过圆心(－1,2)，故a＋b＝1，＋＝(a＋b)(＋)＝＋＋≥＋，当且仅当＝，即a＝2(－1)，b＝2－时取等号，故选C．
(理)(2022·德州一模)若直线ax＋by－1＝0(a，b∈(0，＋∞))平分圆x2＋y2－2x－2y－2＝0，则＋的最小值为( )
A．4 B．3＋2
C．2 D．5
[答案] B
[解析] 由条件知圆心C(1,1)在直线ax＋by－1＝0上，∴a＋b＝1，∵a>0，b>0，∴＋＝(＋)(a＋b)＝＋＋3≥3＋2，等号成立时a＝－1，b＝2－.
5．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则( )
A．ab≤ B．ab≥
C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3
[答案] C
[解析] ∵2＝a＋b≥2，∴ab≤1，排解A、B；
∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝4－2ab≥2，排解D，选C．
[点评] 用特值检验法易得．令a＝1，b＝1排解A；令a＝2，b＝0，排解B，D，故选C．
6．(2022·上海松江期末)已知0<a<b，且a＋b＝1，则下列不等式中，正确的是( )
A．log2a>0 B．2a－b<
C．log2a＋log2b<－2 D．2＋<
[答案] C
[解析] 由条件知0<a<1，∴log2a<0，A错误；∵0<a<b，a＋b＝1，∴0<a<，<b<1，∴a－b>－1，此时2a－b>，B错误；由＋>2＝2,2＋>22＝4，D错误；由a＋b＝1>2，即ab<，因此log2a＋log2b＝log2(ab)<log2＝－2.故选C．
二、填空题
7．(2021·四川)已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.
[答案] 36
[解析] ∵f(x)＝4x＋≥2＝4，
当且仅当4x＝，即4x2＝a时f(x)取得最小值．
又∵x＝3，∴a＝4×32＝36.
8．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，假如在距车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________公里处．
[答案] 5
[解析] 设仓库与车站距离为x公里，由已知y1＝；y2＝0.8x费用之和y＝y1＋y2＝0.8x＋≥2＝8，当且仅当0.8x＝，即x＝5时“＝”成立．
9．(文)已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为________．
[答案]
[解析] 由于A(2,0)，B(0,1)，所以0≤b≤1.
由a＋2b＝2，得a＝2－2b，
∴ab＝(2－2b)b＝－2(b－)2＋，
当b＝时，(ab)max＝.
[点评] 利用a＋2b＝2消元后可以利用基本不等式求解，也可以利用二次函数求解．
(理)(2022·咸阳专题训练)在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________．
[答案] 4
[解析] 由题意，P、Q关于(0,0)对称，设直线PQ：y＝kx(k>0)，从而P(，)，Q(－，－)．
则PQ＝≥4，当且仅当k＝1时，(PQ)min＝4.
[点评] 1.用基本不等式≥求最值时，要留意“一正、二定、三相等”，确定要明确什么时候等号成立．
2．应用基本不等式求最值，要留意归纳常见的变形技巧，代入消元，配系数，“1”的代换等等．
3．留意到P、Q关于原点对称，可设P(x0，)，x0>0，则|PQ|＝2|OP|＝2≥4，x0＝时取等号，更简捷的获解．
三、解答题
10．(文)如图，相互垂直的两条大路AM、AN旁有一矩形花园ABCD，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ，要求P在射线AM上，Q在射线AN上，且PQ过点C，其中AB＝30m，AD＝20m.记三角形花园APQ的面积为S.
(1)当DQ的长度是多少时，S最小？并求S的最小值；
(2)要使S不小于1600m2，则DQ的长应在什么范围内？
[解析] (1)设DQ＝xm(x>0)，则AQ＝x＋20，
∵＝，∴＝，
∴AP＝，则S＝×AP×AQ＝
＝15(x＋＋40)≥1200，当且仅当x＝20时取等号．
∴DQ长为20m时，S取最小值1200m2.
(2)∵S≥1600，∴3x2－200x＋1200≥0，
∴0<x≤或x≥60.
答：(1)当DQ的长度是20m时，S最小，且S的最小值为1200m2；
(2)要使S不小于1600m2，则DQ的取值范围是0<DQ≤或DQ≥60.
(理) (2022·江苏盐城一中检测)某单位拟建一个扇环面外形的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ(弧度)．
(1)求θ关于x的函数关系式；
(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值．
[解析] (1)由题意，得30＝θ(10＋x)＋2(10－x)，所以θ＝.
(2)花坛的面积为θ(102－x2)＝(5＋x)(10－x)
＝－x2＋5x＋50(0<x<10)，
花坛面积与装饰总费用的比为y＝
＝－
令t＝17＋x，则y＝－(t＋)≤，当且仅当t＝18时取等号，此时x＝1，θ＝.故当x＝1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．
一、选择题
11．(2022·浙江嘉兴调研)已知正实数a，b满足a＋2b＝1，则a2＋4b2＋的最小值为( )
A． B．4
C． D．
[答案] D
[解析] 由于a>0，b>0,1＝a＋2b≥2，所以ab≤，当且仅当a＝2b＝时取等号．又由于a2＋4b2＋≥2a·(2b)＋＝4ab＋，令t＝ab，所以f(t)＝4t＋，由于f(t)在(0，]上单调递减，所以f(t)min＝f()＝，此时a＝2b＝，故选D．
12．(文)若a>0，b>0，a、b的等差中项是，且α＝a＋，β＝b＋，则α＋β的最小值为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
[答案] D
[解析] ∵为a、b的等差中项，∴a＋b＝1.
α＋β＝a＋＋b＋⇒1＋＋＝1＋＝1＋，
∵≤，∴ab≤＝.
∴α＋β＝1＋≥1＋4＝5(当且仅当a＝b＝时取等号)．∴α＋β的最小值为5.故选D．
(理)(2021·温州模拟)已知M是△ABC内的一点，且·＝2，∠BAC＝30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为，x，y，则＋的最小值是( )
A．20 B．18
C．16 D．19
[答案] B
[解析] 由·＝||·||cos30°＝2得||·||＝4，S△ABC＝||·||sin30°＝1，
由＋x＋y＝1得x＋y＝.
所以＋＝2(＋)·(x＋y)＝2(5＋＋)≥2×(5＋2)＝18等号在x＝，y＝时成立．
13．(文)(2022·广东南雄黄坑中学月考)已知x>0，y>0，lg2x＋lg8y＝lg2，则＋的最小值是( )
A．2 B．4
C．2＋ D．4＋2
[答案] D
[解析] 由已知lg2x＋lg8y＝lg2得lg2x＋3y＝lg2，所以x＋3y＝1，所以＋＝(＋)(x＋3y)＝4＋＋≥4＋2.
(理)函数y＝logax＋1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线＋－4＝0(m>0，n>0)上，则m＋n的最小值为( )
A．2＋ B．2
C．1 D．4
[答案] C
[解析] y＝logax＋1过定点A(1,1)，∵A在直线＋－4＝0上，∴＋＝4，∵m>0，n>0，
∴m＋n＝(m＋n)(＋)＝(2＋＋)≥(2＋2)＝1，等号在m＝n＝时成立，
∴m＋n的最小值为1.
14．(2022·沈阳、云浮、佳木斯一中模拟、长春调研)若两个正实数x，y满足＋＝1，并且x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－2)∪(4，＋∞) B．(－∞，－4)∪[2，＋∞)
C．(－2,4) D．(－4,2)
[答案] D
[解析] ∵x>0，y>0，且＋＝1，
∴x＋2y＝(x＋2y)(＋)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即x＝2y时取等号．
又∵＋＝1，∴x＝4，y＝2时，(x＋2y)min＝8.要使x＋2y>m2＋2m恒成立，只需(x＋2y)min>m2＋2m恒成立，即8>m2＋2m，解得－4<m<2.
二、填空题
15．已知c是椭圆＋＝1(a>b>0)的半焦距，则的取值范围是________．
[答案] (1，]
[解析] 由题设条件知，a<b＋c，∴>1，
∵a2＝b2＋c2，∴＝≤＝2，∴≤.
16．(文)(2022·河南郑州市高三质检)函数y＝loga(x＋3)－1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在mx＋ny＋2＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为________．
[答案]
[解析] 留意到当x＝－2时，y＝loga(－2＋3)－1＝－1，即定点A的坐标为(－2，－1)，于是有－2m－n＋2＝0，即m＋＝1，＋＝(＋)(m＋)＝＋＋≥＋2＝，当且仅当＝，即n＝m＝2(－1)时取等号，因此＋的最小值是.
(理)(2022·沈阳模拟)已知点A(m，n)在直线x＋2y－2＝0上，则2m＋4n的最小值为________．
[答案] 4
[解析] 由条件知m＋2n＝2，
2m＋4n＝2m＋22n≥2＝4，等号成立时，∴m＝1，n＝.
∴所求最小值为4.
三、解答题
17．(文)(2022·湖南省五市十校联合检测)某化工企业2021年年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费确定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)．
(1)用x表示y；
(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．
[解析] (1)由题意得，
y＝，
则y＝x＋＋1.5(x∈N*)．
(2)由基本不等式得：
y＝x＋＋1.5≥2＋1.5＝21.5，当且仅当x＝，即x＝10时取等号．
故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备．
(理)合宁高速大路起自安徽省合肥西郊大蜀山，最终苏皖交界的吴庄，全长133km.假设某汽车从大蜀山进入该高速大路后以不低于60km/h且不高于120km/h的速度匀速行驶到吴庄．已知该汽车每小时的运输成本y(以元为单位)由固定部分和可变部分组成：固定部分为200元；可变部分与速度v(km/h)的平方成正比．当汽车以最快速度行驶时，每小时的运输成本为488元．
(1)把全程运输成本f(v)(元)表示为速度v(km/h)的函数；
(2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本为多少元？
[解析] (1)依题意488＝200＋k×1202⇒k＝0.02.
f(v)＝(200＋0.02v2)＝133(＋0.02v)(60≤v≤120)．
(2)f(v)＝133(＋0.02v)≥133×2＝532，当且仅当＝0.02v，即v＝100时，“＝”成立，
即汽车以100km/h的速度行驶，全程运输成本最小为532元．
18．(2022·上海嘉定一模)已知函数f(x)＝x＋＋2(m为实常数)．
(1)若函数f(x)图象上动点P到定点Q(0,2)的距离的最小值为，求实数m的值；
(2)若函数y＝f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，试用函数单调性的定义求实数m的取值范围；
(3)设m<0，若不等式f(x)≤kx在x∈[，1]时有解，求k的取值范围．
[解析] (1)设P(x，y)，则y＝x＋＋2，
|PQ|2＝x2＋(y－2)2＝x2＋(x＋)2＝2x2＋＋2m≥
2|m|＋2m＝2，
当m>0时，解得m＝－1；当m<0时，解得m＝－－1.
所以m＝－1或m＝－－1.
(2)由题意，任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x1<x2，
则f(x2)－f(x1)＝x2＋＋2－(x1＋＋2)＝(x2－x1)·>0.
由于x2－x1>0，x1x2>0，所以x1x2－m>0，即m<x1x2.
由x2>x1≥2，得x1x2>4，所以m≤4.
所以m的取值范围是(－∞，4]．
(3)由f(x)≤kx，得x＋＋2≤kx.
由于x∈[，1]，所以k≥＋＋1.
令t＝，则t∈[1,2]，所以k≥mt2＋2t＋1.
令g(t)＝mt2＋2t＋1，t∈[1,2]，
于是，要使原不等式在x∈[，1]时有解，当且仅当k≥[g(t)]min(t∈[1,2])．
由于m<0，所以g(t)＝m(t＋)2＋1－图象开口向下，对称轴为直线t＝－>0.
由于t∈[1,2]，所以当0<－≤，即m≤－时，g(t)min＝g(2)＝4m＋5；
当－>，即－<m<0时，g(t)min＝g(1)＝m＋3.
综上，当m≤－时，k∈[4m＋5，＋∞)；
当－<m<0时，k∈[m＋3，＋∞)．
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