第十章质点动力学的基本方程省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

第十章第十章 质点动力学基本方程质点动力学基本方程10-1 10-1 质点动力学基本定律质点动力学基本定律10-2 10-2 质点运动微分方程质点运动微分方程10-3 10-3 质点动力学两类问题质点动力学两类问题10-4 10-4 质点相对运动微分方程质点相对运动微分方程第1页 10-1 10-1 质点动力学基本定律质点动力学基本定律一、牛顿三大定律一、牛顿三大定律二、坐标系二、坐标系三、单位制三、单位制第2页牛顿第一定律（惯性定律）：牛顿第一定律（惯性定律）：不受力作用质点将保持静止或匀速直线运动状态。不受力作用质点将保持静止或匀速直线运动状态。牛顿第二定律：牛顿第二定律：牛顿第三定律（作用与反作用定律）：牛顿第三定律（作用与反作用定律）：两个物体之间作用力和反作用力总是大小相两个物体之间作用力和反作用力总是大小相等，方向相反，沿同一直线，但分别作用在等，方向相反，沿同一直线，但分别作用在两个物体上。两个物体上。一、牛顿三大定律一、牛顿三大定律第3页牛顿三大定律是对牛顿三大定律是对绝对运动绝对运动而言。而言。惯性坐标系：惯性坐标系：牛顿三大定律能够适用坐标系。牛顿三大定律能够适用坐标系。在工程技术中，通常采取地球（地面）作为惯在工程技术中，通常采取地球（地面）作为惯性坐标系。性坐标系。二、坐标系二、坐标系第4页力学单位制：采取国际单位制力学单位制：采取国际单位制基本物理量基本物理量：质量质量（M）长度长度（L）时间时间（T）（kgkg）（m m）（s s）力：力：导出单位导出单位1 1 N（牛顿）牛顿）=三、单位制三、单位制第5页10-2 10-2 质点运动微分方程质点运动微分方程牛顿第二定律牛顿第二定律:加速度加速度 a 有三种计算方法，有三种计算方法，有三种形式质点运动微分方程。有三种形式质点运动微分方程。一、矢量法一、矢量法二、直角坐标法二、直角坐标法三、自然法三、自然法第6页xyzxyz一、矢量法一、矢量法质点运动微分方程为质点运动微分方程为第7页xyzxyz二、直角坐标法二、直角坐标法将矢量式向坐标轴投影，得将矢量式向坐标轴投影，得或：或：第8页三、自然法三、自然法在自然坐标系中：在自然坐标系中：A自然坐标系中运动微分方程为：自然坐标系中运动微分方程为：或：或：第9页动力学问题可分为：动力学问题可分为：1 1、第一类问题（第一类问题（动力学正问题）动力学正问题）已知物体运动，已知物体运动，求作用在物体力。求作用在物体力。3 3、混合问题、混合问题2 2、第二类问题（动力学反问题）第二类问题（动力学反问题）已知作用在物已知作用在物体上力，求物体运动。体上力，求物体运动。10-3 10-3 质点动力学两类问题质点动力学两类问题第10页一、动力学第一类问题一、动力学第一类问题求解第一类问题比较简单。求解第一类问题比较简单。已知质点运动，求作用在物体上力。已知质点运动，求作用在物体上力。求解方法为：将运动方程对时间求两次导求解方法为：将运动方程对时间求两次导数，得到质点加速度，数，得到质点加速度，再代入牛顿第二定再代入牛顿第二定律，即可求得作用于质点上力。律，即可求得作用于质点上力。第11页ABxyOl例题例题已知滑块已知滑块B B运动方程为：运动方程为：滑块滑块B质量为质量为m，忽略连杆忽略连杆AB质量质量和摩擦，和摩擦，求求：和和时，连杆时，连杆 AB 所受力所受力第12页FxmgFNa x本问题为第一类问题本问题为第一类问题当当=0 时，时，而且，而且，=0可得到：可得到：（AB杆受拉）杆受拉）以滑块以滑块B为研究对象为研究对象ABxyOl解：解：第13页FxmgFNa x以滑块以滑块B为研究对象为研究对象当当=/2=/2 时，时，可得到：可得到：（AB杆受压）杆受压）ABxyOl第14页二、二、动力学第二类问题动力学第二类问题第二类问题比较复杂，求解时普通需要进行第二类问题比较复杂，求解时普通需要进行积分，仅对下述几个情况，有简单解。积分，仅对下述几个情况，有简单解。已知作用在质点上力，求质点运动规律。已知作用在质点上力，求质点运动规律。第15页1 1、力为常数、力为常数 对时间积分两次，利用初始条件，确定积分对时间积分两次，利用初始条件，确定积分常数，即可。常数，即可。2 2、力为时间函数、力为时间函数 一样，对时间积分两次，利用初始条件，确一样，对时间积分两次，利用初始条件，确定积分常数，即可。定积分常数，即可。第16页3、力是位置函数、力是位置函数进行以下变换：进行以下变换：得：得：积分得：积分得：由上式及所给条件，求出由上式及所给条件，求出再由再由第17页4 4、力是速度函数、力是速度函数进行以下变换后，积分：进行以下变换后，积分：得：得：再由再由得到：得到：第18页物块质量为物块质量为 m,求：物块运动方程。求：物块运动方程。l0mkv0例题例题弹簧刚度系数为弹簧刚度系数为 k,物块自平衡位置以物块自平衡位置以初始速度初始速度v0开始运动。开始运动。第19页x xx xO O这是已知力这是已知力(弹簧力弹簧力)求运动规律，故为第二类求运动规律，故为第二类动力学问题。动力学问题。以弹簧未变形时平衡位置为原点建立以弹簧未变形时平衡位置为原点建立Ox坐标系，坐标系，将物块置于任意位置将物块置于任意位置 x 0 处。物块在处。物块在 x 方向方向只受有弹簧力只受有弹簧力Fk x。依据直角坐标系中质点运动微分方程依据直角坐标系中质点运动微分方程l0mkF F解：解：第20页Fl0 xxOmk令：令：方程通解为：方程通解为：代入初始条件：代入初始条件：解得：解得：第21页l0mkv0物块质量为物块质量为 m,求：物块运动方程。求：物块运动方程。弹簧刚度系数为弹簧刚度系数为 k,物块自平衡位置以物块自平衡位置以初始速度初始速度v0开始运动。开始运动。例题例题第22页F FxmkxO这是已知力这是已知力(弹簧力弹簧力)求运动规律，求运动规律，故为第二类动力学问题。故为第二类动力学问题。以弹簧在静载以弹簧在静载mg作用下变形后作用下变形后平平衡位置为原点建立衡位置为原点建立Ox坐标系，将坐标系，将物块置于任意位置物块置于任意位置x 0处。处。l0stW物块在物块在x方向只受有弹簧力方向只受有弹簧力Fk x和重力和重力Wmg。依据依据直角坐标系中质点运动微分方直角坐标系中质点运动微分方程：程：解：解：第23页解：解：以弹簧在静载以弹簧在静载mg作用下变形后作用下变形后平衡位置为平衡位置为原点建立原点建立Ox坐标系，坐标系，FxmkxOl0stW将物块置于任意位置将物块置于任意位置x0处。物块在处。物块在x方向只受方向只受有弹簧力有弹簧力Fkx和重力和重力Wmg。依据直角坐标系中质点运动微分方程依据直角坐标系中质点运动微分方程第24页方程通解为：方程通解为：代入初始条件：代入初始条件：解得：解得：第25页计算结果分析计算结果分析l0mkv0l0 xxOmkv0重力重力mg只改变了系统平衡位置，对运动规律并只改变了系统平衡位置，对运动规律并无影响。无影响。第26页例题例题已知：粉碎机滚筒半径为已知：粉碎机滚筒半径为R，匀速转动，铁球匀速转动，铁球应在应在 时掉下，时掉下，求：滚筒每分钟转数求：滚筒每分钟转数n。第27页解：解：本问题为混合型问题本问题为混合型问题小球运动微分方程（沿主法小球运动微分方程（沿主法线方向）为：线方向）为：铁球受力情况如图铁球受力情况如图第28页质点速度质点速度v 为：为：得到：得到：当当 时，铁球将落下，此时时，铁球将落下，此时解得：解得：第29页一、质点相对运动微分方程一、质点相对运动微分方程10-4 10-4 质点相对运动微分方程质点相对运动微分方程二、特例二、特例三、非惯性系中质点动力学三、非惯性系中质点动力学第30页saMsrrxzyOxzyO惯性参考系（静系）惯性参考系（静系）Oxyz非惯性参考系（动系）非惯性参考系（动系）-Oxyz绝对运动轨迹绝对运动轨迹 sa 相对运动轨迹相对运动轨迹 sr相对位矢相对位矢r牵连运动：动系牵连运动：动系Oxyz 相对相对于静系于静系Oxyz运动运动一、质点相对运动微分方程一、质点相对运动微分方程第31页M点绝对运动方程（在静系内运动）点绝对运动方程（在静系内运动）牛顿第二定律：牛顿第二定律：式中：式中：，为绝对加速度为绝对加速度依据运动学中加速度合成定理，有依据运动学中加速度合成定理，有上式中，上式中，称为称为科氏加速度，科氏加速度，为为牵连加速度牵连加速度,为为相对加速度。相对加速度。第32页将加速度代入牛顿第二定律，得将加速度代入牛顿第二定律，得由上式，可得由上式，可得令令牵连惯性力牵连惯性力科氏惯性力科氏惯性力最终得：最终得：第33页上式称为质点相对运动微分方程。上式称为质点相对运动微分方程。质点质量与质点相对加速度乘积等于作用在质点质点质量与质点相对加速度乘积等于作用在质点上外力协力与牵连惯性力以及科氏力矢量和。上外力协力与牵连惯性力以及科氏力矢量和。牵连惯性力牵连惯性力科氏惯性力科氏惯性力第34页二、特例二、特例1、动系作平动、动系作平动得到：得到：2、动系作匀速直线运动、动系作匀速直线运动得到：得到：第35页2、动系作匀速直线运动、动系作匀速直线运动上式与牛顿第二定律相同，上式与牛顿第二定律相同，全部相对于惯性坐标系作全部相对于惯性坐标系作匀速直线运动匀速直线运动参考系参考系都能够认为是都能够认为是惯性坐标系惯性坐标系。第36页m如图所表示单摆，摆长如图所表示单摆，摆长l，小球质量为小球质量为m，其悬其悬挂点挂点O以加速度以加速度 向上运动。向上运动。求：此单摆做微振动周期。求：此单摆做微振动周期。例题例题第37页mOxyP在悬挂点在悬挂点O上固接以平动参考系上固接以平动参考系Oxy，小球相对此动系相当于小球相对此动系相当于悬挂点悬挂点固定单摆振动固定单摆振动。因为平动：因为平动：本问题动力学基本方程为：本问题动力学基本方程为：F解：解：第38页向切向方向投影：向切向方向投影：又又 很小很小令令上式变为：上式变为：得到：得到：解得：解得：mOxyPF第39页三、非惯性系中质点动力学三、非惯性系中质点动力学 飞机急速爬高时飞机急速爬高时飞行员黑晕现象飞行员黑晕现象爬升时：爬升时：a 5g惯性参考系地球惯性参考系地球非惯性参考系飞机非惯性参考系飞机动点血流质点动点血流质点惯性力向下，从心脏流惯性力向下，从心脏流向头部血流受阻，造成向头部血流受阻，造成大脑缺血，形成大脑缺血，形成黑晕现黑晕现象。象。飞行员黑晕与红视现象飞行员黑晕与红视现象第40页 非惯性系中质点动力学非惯性系中质点动力学俯冲时：俯冲时：a22g g 飞机急速俯冲时飞机急速俯冲时飞行员红视现象飞行员红视现象惯性参考系地球惯性参考系地球非惯性参考系飞机非惯性参考系飞机动点血流质点动点血流质点牵连惯性力向上，使血牵连惯性力向上，使血流自下而上加速流动，流自下而上加速流动，造成大脑充血，形成造成大脑充血，形成红红视现象视现象。飞行员黑晕与红视现象飞行员黑晕与红视现象第41页非惯性系中质点动力学非惯性系中质点动力学因为地球自因为地球自转引发水流转引发水流科氏惯性力。科氏惯性力。第42页非惯性系中质点动力学非惯性系中质点动力学水流科氏惯水流科氏惯性力对右岸性力对右岸冲刷。冲刷。第43页O例题例题Pkk已知：开有矩形槽大盘以等角已知：开有矩形槽大盘以等角速度速度绕绕O轴旋转。矩形槽内安轴旋转。矩形槽内安置物块置物块-弹簧系统，物块弹簧系统，物块P质量质量为为m，弹簧刚度系数为弹簧刚度系数为k。初始初始状态下，物块处于大盘圆心状态下，物块处于大盘圆心O，这时弹簧不变形。这时弹簧不变形。求：求：1 1、物块相对运动微分方、物块相对运动微分方程；程；2 2、物块对槽壁侧压力。、物块对槽壁侧压力。第44页 Pkk kkkPxyOxv vr ra ae en na aICIC1 1、非惯性参考系、非惯性参考系Oxy动点物块动点物块P2 2、分析相对速度和各种加、分析相对速度和各种加速度：速度：相对速度相对速度vr 沿着沿着x正向正向牵连加速度牵连加速度aen由大盘转动由大盘转动引发引发 科氏加速度科氏加速度aIC=2m vr解：解：第45页FIenF FFNFICkkPxvraenaICxyO3 3、分析质点、分析质点(物块物块)受力：受力：F 弹簧力弹簧力F2k xFN 槽对物块约束力槽对物块约束力FIC 科氏力科氏力FIen 法向牵连惯性力法向牵连惯性力 FIenm 2 x第46页kkPxvraenaICxyO4 4、建立质点、建立质点(物块物块)相对相对运动微分方程：运动微分方程：FIenFFNFIC第47页5 5、计算结果分析与讨论、计算结果分析与讨论物块在物块在x0处平衡位置处平衡位置为稳定平衡位置。为稳定平衡位置。当当时牵连惯性力小于弹簧弹性恢复力，时牵连惯性力小于弹簧弹性恢复力，物块相对运动为自由振动，其固有频率为物块相对运动为自由振动，其固有频率为第48页计算结果分析与讨论计算结果分析与讨论 当当当当牵连惯性力大于弹簧弹性恢复力，牵连惯性力大于弹簧弹性恢复力，物块不能在物块不能在x0处附近作处附近作自由振动，物块在自由振动，物块在x0处平衡是不稳定。处平衡是不稳定。当当当当牵连惯性力等于弹簧弹性恢复力，牵连惯性力等于弹簧弹性恢复力，物块在物块在x0处为随遇平衡位置。处为随遇平衡位置。第49页如图所表示单摆，摆长如图所表示单摆，摆长l，小球质量为小球质量为m，其其悬挂点悬挂点O以加速度以加速度 向上运动。向上运动。例题例题求此单摆做微振动周期。求此单摆做微振动周期。Om第50页Om解：解：在悬挂点在悬挂点O上固接以平动参考系上固接以平动参考系Oxy，小球相对此动系相当于小球相对此动系相当于悬挂点悬挂点固定单摆振动固定单摆振动。因为平动：因为平动：xy建立动力学基本方程：建立动力学基本方程：PF第51页向切向方向投影：向切向方向投影：又又 很小很小上式可改写为：上式可改写为：令令OmxyPF第52页本章结束本章结束第53页