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第一课时 集合的含义与表示
一． 教学目标
1. 了解集合的含义，掌握常用数集及其记法。
2. 体会元素与集合之间的关系，能准确判断一个元素“属于“或“不属于”某一个集合。
3. 理解集合常用的表示方法，能选择不同的表示方法描述不同的具体问题。
二．教学内容
1.元素：一般地，我们把研究的对象称为元素（element）。元素通常用小写字母a，b，c…表示。
2.集合：把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）。集合通常用大写字母A，B，C…表示。
“我们一般用花括号‘{}’表示集合”，也就是赋予了符号“{}”新的含义：表示“所有的”、“全部的”，具有共同特征的研究对象都在大括号内。
注意：{正数}表示所有大于0的实数组成的集合，这种表示是正确的。
但是{所有的正数}这种表示方法是错误的。因为“{}”已经包含“所有的”含义。[来源:Z_xx_k.Com]
3.元素与集合的关系（重点）：元素与集合的关系有“属于”和“不属于”两种。元素a属于集合A，记作aA；元素a不属于集合A，记作aA。
（1）符号和是表示元素与集合之间的关系的，不能用来表示集合与集合之间的关系。
（2）aA与aA取决于a是不是集合A中的元素。两种情况有且只有一种成立。
（3）空集是一个特殊的集合，它不含任何元素，通常记为。
【例1】用符号或填空：
（1）； （2）；
（3）。
【例2】已知集合,其中为常数且R。
（1） 若集合A是空集，求的范围；
（2） 若集合A只有一个元素，求的值；
（3） 若集合A中至多有一个元素，求的范围。

4. 集合中元素的特征（重难点）：
①确定性：给定一个集合的标准可以准确判断一个对象是否属于这个集合
②互异性：集合中的元素一定是互不相同的，或者说同一个元素在集合中只能出现一次
③无序性：集合中元素排列次序不分先后。
【例3】考查下列每组对象能否构成一个集合：
（1）著名数学家；
（2）优达辅导学校所有高个子同学；
（3）直角坐标平面内第一象限的一些点；
（4）所有的近似值；
（5）不超过10的非负数。
【例4】由实数所组成的集合，最多含有元素的个数为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【例5】已知集合M={-2，，若2M，求x。

【例6】设集合A={1，，}，B={，，}，且A=B，求实数。
【例7】已知集合S={a，b，c}中三个元素分别是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
【例8】.设方程ax2＋2x＋1＝0(a∈R)的根构成集合A，若A中只有一个元素，则a的值为________．
答案　0或1
解析　当a＝0时，x＝－，当a≠0时，Δ＝4－4a＝0，a＝1，故a为0或1.
5.集合的分类：①有限集；②无限集。
6.集合的表示方法（重点）：
(1)自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法。使用此方法时注意叙述清楚。[来源:Zxxk.Com]
如：大于1且小于10的偶数构成的集合
注意：用自然语言描述集合不要出现花括号{}。
(2)列举法：将集合中的元素一一列举出来，写在花括号内表示集合的方法。
如：所有正奇数的集合为{1，3，5，7，9，…}
注意元素不能重复且元素之间用分隔号“，”；注意元素必须满足“确定性”和“互异性”。
(3) 描述法：把集合中元素的共同特征描述出来，写在花括号内表示集合的方法，它的一般形式是
{xI |P(x)}，其中“x ”是集合中元素的代表形式，它的范围是I；“P(x)”是集合中元素x的共同特征，
竖线不可省略。
如不等式2x-5>1的解集可表示为{x|x > 3}或{xR|2 x -5>1}或{x|2 x -5>1}
(4)韦恩（Venn）图法：为了形象地表示集合，常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合的整体。
(5)区间法：（将会在后面的“1.2函数的概念及其表示法”中学习到。）
7.常见数集的表示方法：
对于一些常用的数集，我们指定一些大写的拉丁字母专门表示这些集合：
①非负整数集（或自然数集）记作N；②正整数集记作N+或者N*；③整数集记作Z；④有理数集记作Q；⑤实数集记作R。
【例9】按要求分别表示下面的集合：
（1）用自然语言描述集合{0，2，4，6，8，…}；
（2）用列举法表示集合{30的正约数}；
（3）用描述法表示集合“正偶数集”；
（4）用描述法表示集合{2，-4，6，-8，…，98，-100}；
（5）用列举法表示集合{(x，y)|x+y=3，xN，yN}。
思考1：集合{1,2}与集合{2,1}是否表示同一集合？________；
集合{(1,2)}与集合{(2,1)}是否表示同一集合？______.(填“是”或“不是”)
答案　是，不是
思考2：下面三个集合：①；②；③。
（1） 它们是不是相同的集合？（2）它们各自的含义是什么？

补充：识别集合含义的方法（1）看代表元素；（2）看条件
三．课堂练习
夯实基础
1．考查下列对象能否构成集合：
(1)高一数学必修1上的所有难题；
(2)参加北京奥运会的所有年轻运动员；
(3)不超过20的非负数；
(4)方程x2－9＝0在实数范围内的解；
(5)直角坐标平面内第一象限的一些点；
(6)的近似值的全体．
答案：(1)(2)(5)(6)不能组成集合，(3)(4)能组成集合．
2．用适当的符号填空：
(1)0__________N，__________N，__________N；
(2)－__________Q，π__________Q，e__________∁RQ(e是个无理数)；
(3)＋＝__________{x|x＝a＋b，a∈Q，b∈Q}．
答案：(1)∈　　∈　　(2)∈　　∈　　(3)∈
3．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，求实数m的值．
解：∵2∈A，
∴m＝2或m2－3m＋2＝2.
若m＝2，则m2－3m＋2＝0，不符合集合中元素的互异性，舍去．
若m2－3m＋2＝2，求得m＝0或3.
m＝0不合题意，舍去．
∴m只能取3.
4．用适当方法表示下列集合：
(1)函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象上所有点的集合；
(2)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合；
(3)不等式x－3＞2的解集；
(4)自然数中不大于10的质数集．
答案：(1)描述法：{(x，y)|y＝ax2＋bx＋c，x∈R，a≠0}．[来源
(2)描述法：＝.
列举法：{(1,4)}．
(3)描述法：{x|x＞5}
(4)列举法：{2,3,5,7}．
拓展研究
思考1：设集合P＝{x－y，x＋y，xy}，Q＝{x2＋y2，x2－，0}，若P＝Q，求x，y的值及集合P，Q.
活动探究：首先，应让学生思考两个数集相等的条件——集合中的元素分别对应相等；然后，再引导
学生讨论：本题中集合P，Q对应相等时，其元素可能出现的几种情况，并根据讨论的结果进行计算；
最后，应当指导学生自主探究，应用集合中元素的性质检验所求结果是否符合要求．
解：∵P＝Q且0∈Q，∴0∈P.
若x＋y＝0或x－y＝0，则x2－y2＝0，从而Q＝{x2＋y2,0,0}，与集合中元素的互异性矛盾，∴x＋y
≠0且x－y≠0；
若xy＝0，则x＝0或y＝0.
当y＝0时，P＝{x，x,0}，与集合中元素的互异性矛盾，
∴y≠0；
当x＝0时，P＝{－y，y,0}，Q＝{y2，－y2,0}，
由P＝Q得　①　　　或②
由①得y＝－1，由②得y＝1，
∴或
此时P＝Q＝{1，－1,0}．
点评：本题综合性地考查了两数集相等的条件、集合中元素的性质以及学生的运算能力和分类讨论能力．
思考2：已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}，若A中的元素至多只有一个，求a的取值范围．
活动探究：讨论关于x的方程ax2－3x＋2＝0实数根的情况，从中确定a的取值范围，依题意，方程有
一个实数根或两个相等的实数根或无实数根．
解：(1)a＝0时，原方程为－3x＋2＝0，x＝，符合题意．
(2)a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0为一元二次方程．
由Δ＝9－8a≤0，得a≥.
∴当a≥时，方程ax2－3x＋2＝0无实数根或有两个相等的实数根．
综合(1)(2)，知a＝0或a≥.
点评：“a＝0”这种情况最容易被忽视，只有在“a≠0”的条件下，方程ax2－3x＋2＝0才是一元二
次方程，才能用判别式Δ解决问题．
思考3：设S＝{x|x＝m＋n，m，n∈Z}．
(1)若a∈Z，则a是否是集合S中的元素？
(2)对S中的任意两个x1，x2，则x1＋x2，x1·x2是否属于S?
活动探究：针对问题(1)——首先引导学生仔细观察集合S中元素的共同特征与构成方式；然后，再
引导学生思考题中所给的元素a能否表示成m＋n的形式；如果能，m和n分别是多少，如果不
能，请说明理由；最后小结，判断一个元素是否属于集合时，转化为判断这个元素是否满足集合元素
的特征即可．
针对问题(2)——首先引导学生将x1，x2分别表示出来，再引导大家根据正确的表示结果，推断x1＋
x2，x1·x2是否是集合S中的元素．[来源:Z§xx§k.Com]
解：(1)a是集合S中的元素，a＝a＋×0∈S.
(2)不妨设x1＝m＋n，x2＝p＋q，m，n，p，q∈Z.
则x1＋x2＝(m＋n)＋(p＋q)＝(m＋p)＋(n＋q)，m，n，p，q∈Z.
∴x1＋x2∈S；x1·x2＝(m＋n)·(p＋q)＝(mp＋2nq)＋(mq＋np)，m，n，p，q∈Z.
∴x1·x2∈S.综上，x1＋x2，x1·x2都属于S.
点评：本题考查集合的描述法以及元素与集合间的关系．
第二课时 集合间的基本关系
一． 教学目标
1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，能判断给定集合间的关系，提高利用类比发现新结论的能力．
2．在具体情境中，了解空集的含义，掌握并能使用Venn图表达集合的关系，加强学生从具体到抽象的思维能力，树立数形结合的思想．
二．教学内容
1.子集：（重难点）对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说集合A包含于集合B，或说集合B包含集合A，记作：AB（或BA）。这时我们也说集合A是集合B的子集。
注意：①当A不是B的子集是记作AB（或BA）；②任何一个集合是它本身的子集，即AA；④空集是任何集合的子集，即A；⑤子集具有“传递性”，即：如果AB，BC，那么AC。
【例1】下面的Venn图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系，问集合A，B，C，D，E分别是哪种图形的集合？

图6
思路分析：结合Venn图，利用平面几何中梯形、平行四边形、菱形、正方形的定义来确定．
解：梯形、平行四边形、菱形、正方形都是四边形，故A＝{四边形}；梯形不是平行四边形、菱形、正方形，而菱形、正方形是平行四边形，故B＝{梯形}，C＝{平行四边形}；正方形是菱形，故D＝{菱形}，E＝{正方形}，即A＝{四边形}，B＝{梯形}，C＝{平行四边形}，D＝{菱形}，E＝{正方形}．
【例2】已知集合A＝－1，3，2－1， B＝3，。若，求实数的值。

【例3】已知集合，集合，若QP，求的值。

【例4】已知集合，，且，求取值范围。

2. 集合相等：如果集合A中的任何一个元素，都是集合B中的元素，同时集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B。
根据集合相等的定义可知：要证明A=B，只要证明AB且BA成立即可。
【例5】下列各组中的两个集合相等的有（ ）
①；
②；
③
A. ①②③ B. ①③ C. ②③ D. ①②[来源:学科网]
3.真子集：如果AB，且A≠B，就说集合A是集合B的真子集，记作AB
注意：空集是任何非空集合的真子集。
【例6】已知集合M＝{x |2－x＜0}，集合N＝{x |ax＝1}，若NM，求实数a的取值范围．
分析：集合N是关于x的方程ax＝1的解集，集合M＝{x|x＞2}≠，由于NM，则N＝或N≠，要对集合N是否为空集分类讨论．
解：由题意得M＝{x|x＞2}≠，则N＝或N≠.当N＝时，关于x的方程ax＝1无解，则有a＝0；当N≠时，关于x的方程ax＝1有解，则a≠0，此时x＝，又∵NM，∴∈M.∴＞2.∴0＜a＜.综上所得，实数a的取值范围是a＝0或0＜a＜，即实数a的取值范围是.
【例7】设集合A＝{x ||x |2－3|x |＋2＝0}，B＝{x |(a－2)x＝2}，则满足B A的a的值共有(　　)
A．2个　　　B．3个　　　C．4个　　　D．5个
解析：由已知得A＝{x||x|＝1，或|x|＝2}＝{－2，－1,1,2}，集合B是关于x的方程(a－2)x＝2的解集，∵BA，∴B＝或B≠.当B＝时，关于x的方程(a－2)x＝2无解，∴a－2＝0.∴a＝2.当B≠时，关于x的方程(a－2)x＝2的解x＝∈A，∴＝－2或＝－1或＝1或＝2.解得a＝1或0或4或3，综上所得，a的值共有5个．
答案：D
4.有限集合的子集个数问题：
① 个元素的集合有个子集；
② 个元素的集合有个真子集；
③ 个元素的集合有个非空子集。
④ n个元素的集合有个非空真子集
【例7】已知集合M满足{1，2}M{1，2，3，4，5}，满足条件的集合M有多少个？写出所有的满足条件的集合M。
【例8】设集合M={}，集合N={}，则M与N的关系是（）
A.M=N B.MN C. MN D.MN
【例9】已知A={}，B={}，且AB，求实数k的取值范围。
三．课堂练习
夯实基础
1．判断正误：
(1)空集没有子集．(　　)
(2)空集是任何一个集合的真子集．(　　)
(3)任一集合必有两个或两个以上的子集．(　　)
(4)若B⊆A，那么凡不属于集合A的元素，则必不属于B.(　　)
分析：关于判断题应确实把握好概念的实质．
解：该题的4个命题，只有(4)是正确的，其余全错．
对于(1)，(2)来讲，由规定：空集是任何一个集合的子集，且是任一非空集合的真子集．
对于(3)来讲，可举反例，空集这一个集合就只有自身一个子集．
对于(4)来讲，当x∈B时必有x∈A，则xA时也必有xB.
2．集合A＝{x|－1＜x＜3，x∈Z}，写出A的真子集．[来源:学科网]
分析：区分子集与真子集的概念，空集是任一非空集合的真子集，一个含有n个元素的集合的子集有2n个，真子集有2n－1个，则该题先找该集合的元素，后找真子集．
解：因－1＜x＜3，x∈Z，故x＝0,1,2，
即A＝{x|－1＜x＜3，x∈Z}＝{0,1,2}．
真子集：，{1}，{2}，{0}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，共7个．
3．(1)下列命题正确的是(　　)
A．无限集的真子集是有限集 B．任何一个集合必定有两个子集
C．自然数集是整数集的真子集 D．{1}是质数集的真子集
(2)以下五个式子中，错误的个数为(　　)
①{1}∈{0,1,2}　②{1，－3}＝{－3,1}　③{0,1,2}⊆{1,0,2}　④∈{0,1,2}　⑤∈{0}
A．5　　　B．2　　　C．3　　　D．4
(3)M＝{x|3＜x＜4}，a＝π，则下列关系正确的是(　　)
A．aM B．aM
C．{a}∈M D．{a}M
解析：(1)该题要在四个选择项中找到符合条件的选择项，必须对概念把握准确，无限集的真子集有可能是无限集，如N是R的真子集，排除A；由于只有一个子集，即它本身，排除B；由于1不是质数，排除D.
(2)该题涉及到的是元素与集合、集合与集合的关系．
①应是{1}⊆{0,1,2}，④应是⊆{0,1,2}，⑤应是⊆{0}．
故错误的有①④⑤.
(3)M＝{x|3＜x＜4}，a＝π.
因3＜a＜4，故a是M的一个元素，
因此{a}是{x|3＜x＜4}的真子集，那么{a}M.
答案：(1)C　(2)C　(3)D
4．判断如下集合A与B之间有怎样的包含或相等关系：
(1)A＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}；
(2)A＝{x|x＝2m，m∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}．
解：(1)因A＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}，
故A，B都是由奇数构成的，即A＝B.
(2)因A＝{x|x＝2m，m∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}，又x＝4n＝2·2n，
在x＝2m中，m可以取奇数，也可以取偶数；而在x＝4n中，2n只能是偶数．
故集合A，B的元素都是偶数，但B中元素是由A中部分元素构成，则有BA.
点评：此题是集合中较抽象的题目．要注意其元素的合理寻求．
5．已知集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，Q＝{x|ax＋1＝0}满足QP，求a所取的一切值．
解：因P＝{x|x2＋x－6＝0}＝{2，－3}，当a＝0时，Q＝{x|ax＋1＝0}＝，QP成立．又当a≠0时，Q＝{x|ax＋1＝0}＝，要QP成立，则有－＝2或－＝－3，a＝－或a＝.综上所述，a＝0或a＝－或a＝.
点评：这类题目给的条件中含有字母，一般需分类讨论．本题易漏掉a＝0，ax＋1＝0无解，即Q为空集的情况，而当Q＝时，满足QP.
6．已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋4＝0}，B＝{x∈R|(x＋1)(x2＋3x－4)＝0}，要使AP⊆B，求满足条件的集合P.
解：A＝{x∈R|x2－3x＋4＝0}＝，
B＝{x∈R|(x＋1)(x2＋3x－4)＝0}＝{－1,1，－4}，
由AP⊆B知集合P非空，且其元素全属于B，即有满足条件的集合P为[来源:Zxxk.Com]
{1}或{－1}或{－4}或{－1,1}或{－1，－4}或{1，－4}或{－1,1，－4}．
点评：要解决该题，必须确定满足条件的集合P的元素，而做到这点，必须明确A，B，充分把握子集、真子集的概念，准确化简集合是解决问题的首要条件．
7．设A＝{0,1}，B＝{x |x ⊆A}，则A与B应具有何种关系？
解：因A＝{0,1}，B＝{x |x ⊆A}，
故x为，{0}，{1}，{0,1}，即{0,1}是B中一元素．故A∈B.
点评：注意该题的特殊性，一集合是另一集合的元素．
8．集合A＝{x |－2≤x≤5}，B＝{x |m＋1≤x≤2m－1}，
(1)若B⊆A，求实数m的取值范围；
(2)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；
(3)当x∈R时，没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围．
解：(1)当m＋1＞2m－1即m＜2时，B＝满足B⊆A.
当m＋1≤2m－1即m≥2时，要使B⊆A成立，需可得2≤m≤3.
综上所得实数m的取值范围为m≤3.
(2)当x∈Z时，A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，
∴A的非空真子集的个数为28－2＝254.
(3)∵x∈R，且A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，又没有元素x使x∈A与x∈B同时成立．
则①若B＝即m＋1＞2m－1，得m＜2时满足条件；
②若B≠，则要满足条件：或解之，得m＞4.
综上有m＜2或m＞4.
点评：此问题解决要注意：不应忽略；找A中的元素；分类讨论思想的运用．
拓展研究
思考：已知A⊆B，且A⊆C，B＝{0,1,2,3,4}，C＝{0,2,4,8}，则满足上述条件的集合A共有多少个？
活动：学生思考A⊆B，且A⊆C所表达的含义．A⊆B说明集合A是集合B的子集，即集合A中元素属于集合B，同理有集合A中元素属于集合C.因此集合A中的元素是集合B和集合C的公共元素．
思路1：写出由集合B和集合C的公共元素组成的集合，得满足条件的集合A；
思路2：分析题意，仅求满足条件的集合A的个数，转化为求集合B和集合C的公共元素所组成的集合的子集个数．
解法1：因A⊆B，A⊆C，B＝{0,1,2,3,4}，C＝{0,2,4,8}，由此，满足A⊆B，有：，{0}，{1}，{2}，{3}，{4}，{0,1}，{0,2}，{2,3}，{2,4}，{0,3}，{0,4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{3,4}，{0,2,4}，{0,1,2}，{0,1,3}，{0,1,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{2,3,4}，{0,3,4}，{0,1,2,3}，{1,2,3,4}，{0,1,3,4}，{0,2,3}，{1,3,4}，{0,1,2,4}，{0,2,3,4}，{0,1,2,3,4}，共25＝32(个)．
又满足A⊆C的集合A有：，{0}，{2}，{4}，{8}，{0,2}，{0,4}，{0,8}，{2,4}，{2,8}，{4,8}，{0,2,4}，{0,2,8}，{0,4,8}，{2,4,8}，{0,2,4,8}，共24＝16(个)．
其中同时满足A⊆B，A⊆C的有8个：，{0}，{2}，{4}，{0,2}，{0,4}，{2,4}，{0,2,4}，实际上到此就可看出，上述解法太繁．
解法2：题目只求集合A的个数，而未让说明A的具体元素，故可将问题等价转化为求B，C的公共元素组成集合的子集数是多少．显然公共元素有0,2,4，组成集合的子集有23＝8(个)．
点评：有关集合间关系的问题，常用分类讨论的思想来解决；关于集合的子集个数的结论要熟练掌握，其应用非常广泛．

第三课时 集合的基本运算
一．教学目标
1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集.
2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.
3.能使用Venn图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
二．教学内容
1.并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的并集。
记作A∪B。读作：A并B。其含义用符号表示为：
用Venn图表示并集如下：
A
A
B

【例1】 设集合A={x},集合B={x},若已知AB={2,3,5},则集合A、B分别为（ ）
A．{3，5}、{2，3} B．{2，3}、{3，5} C．{2，5}、{3，5} D．{3，5}、{2，5}
2.交集：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集。
记作：A∩B。读作：A交B。其含义用符号表示为：。
用Venn图表示交集如下：
A
B

【例2】已知

【例3】 若M={}，N={Z}，则MN等于（ ）
A． B．{} C．{0} D．Z
【例4】 集合A＝{x|x＜5}，B＝{x|x＞0}，C＝{x|x≥10}，则A∩B，B∪C，A∩B∩C分别是什么？
活动：学生先思考集合中元素的特征，明确集合中的元素．将集合中元素利用数形结合在数轴上找到，那么运算结果寻求就易进行．这三个集合都是用描述法表示的数集，求集合的并集和交集的关键是找出它们的公共元素和所有元素．
解：因为A＝{x|x＜5}，B＝{x|x＞0}，C＝{x|x≥10}，在数轴上表示，如图3所示，所以A∩B＝{x|0＜x＜5}，B∪C＝{x|x＞0}，A∩B∩C＝.

图3
点评：本题主要考查集合的交集和并集．求集合的并集和交集时，①明确集合中的元素；②依据并集和交集的含义，直接观察或借助于数轴或Venn图写出结果.
跟踪练习：
1．设集合A＝{x|x＝2n，n∈N*}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，求A∩B，A∪B.
解：对任意m∈A，则有m＝2n＝2·2n－1，n∈N*，因n∈N*，故n－1∈N，有2n－1∈N，那么m∈B，即对任意m∈A有m∈B，所以A⊆B.
而10∈B但10A，即AB，那么A∩B＝A，A∪B＝B.
2．求满足{1,2}∪B＝{1,2,3}的集合B的个数．
解：满足{1,2}∪B＝{1,2,3}的集合B一定含有元素3，B＝{3}；还可含1或2其中一个，有{1,3}，{2,3}；还可含1和2，即{1,2,3}，那么共有4个满足条件的集合B.
3．设集合A＝{－4,2，a－1，a2}，B＝{9，a－5,1－a}，已知A∩B＝{9}，求a.
解：∵A∩B＝{9}，则9∈A，a－1＝9或a2＝9.
∴a＝10或a＝±3.
当a＝10时，a－5＝5,1－a＝－9；
当a＝3时，a－1＝2不合题意；
当a＝－3时，a－1＝－4不合题意．
故a＝10.此时A＝{－4,2,9,100}，B＝{9,5，－9}，满足A∩B＝{9}．
4．设集合A＝{x |2x＋1＜3}，B＝{x |－3＜x＜2}，则A∩B等于(　　)
A．{x|－3＜x＜1}　　　　B．{x|1＜x＜2}
C．{x|x＞－3} D．{x|x＜1}
解析：集合A＝{x|2x＋1＜3}＝{x|x＜1}，
观察或由数轴得A∩B＝{x|－3＜x＜1}．
答案：A
3.交集与并集的运算性质：
①；　　　　　　　　
②；
③；
④；
⑤。[来源:
【例5】 设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，求a的值．
活动：明确集合A，B中的元素，教师和学生共同探讨满足A∩B＝B的集合A，B的关系．集合A是方程x2＋4x＝0的解组成的集合，可以发现，B⊆A，通过分类讨论集合B是否为空集来求a的值．利用集合的表示法来认识集合A，B均是方程的解集，通过画Venn图发现集合A，B的关系，从数轴上分析求得a的值．
解：由题意得A＝{－4,0}．
∵A∩B＝B，∴B⊆A.
∴B＝或B≠.
当B＝时，即关于x的方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0无实数解，
则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，解得a＜－1.
当B≠时，若集合B仅含有一个元素，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，
此时，B＝{x|x2＝0}＝{0}⊆A，即a＝－1符合题意．
若集合B含有两个元素，则这两个元素是－4,0，
即关于x的方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的解是－4,0.
则有
解得a＝1，则a＝1符合题意．
综上所得，a＝1或a≤－1.
跟踪练习：
1．已知非空集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，则能使A⊆(A ∩B )成立的所有a值的集合是什么？
解：由题意知A⊆(A∩B)，即A⊆B，A非空，利用数轴得解得6≤a≤9，即所有a值的集合是{a|6≤a≤9}．
2．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，集合B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且A∪B＝A，试求实数m的取值范围．
分析：由A∪B＝A得B⊆A，则有B＝或B≠，因此对集合B分类讨论．
解：∵A∪B＝A，∴B⊆A.
又∵A＝{x|－2≤x≤5}≠，∴B＝，或B≠.
当B＝时，有m＋1＞2m－1，∴m＜2.
当B≠时，观察图4：

图4
由数轴可得解得2≤m≤3.
综上所述，实数m的取值范围是m＜2或2≤m≤3，即m≤3.
4.全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U。
5.补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集。
其含义用符号表示为：
用Venn图表示交集如下：

【例6】设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1,2,3}，B＝{3,4,5,6}，求∁UA，∁UB.
活动：让学生明确全集U中的元素，回顾补集的定义，用列举法表示全集U，依据补集的定义写出∁UA，∁UB.
解：根据题意，可知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，
所以∁UA＝{4,5,6,7,8}，∁UB＝{1,2,7,8}．
点评：本题主要考查补集的概念和求法．用列举法表示的集合，依据补集的含义，直接观察写出集合运算的结果．
跟踪练习：
1．已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5,7}，B＝{3,4,5}，则(∁UA)∩(∁UB)等于(　　)
A．{1,6}　　　　　B．{4,5}
C．{2,3,4,5,7} D．{1,2,3,6,7}
解析：思路一：观察得(∁UA)∩(∁UB)＝{1,3,6}∩{1,2,6,7}＝{1,6}．思路二：A∪B＝{2,3,4,5,7}，则(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)＝{1,6}．
答案：A
2．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,4}，B＝{2}，则A∩(∁UB)等于(　　)
A．{1,2,3,4,5} B．{1,4}
C．{1,2,4} D．{3,5}
答案：B
3．设全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，P＝{1,2,3,4,5}，Q＝{3，4,5,6,7}，则P∩(∁UQ)等于(　　)
A．{1,2} B．{3,4,5}
C．{1,2,6,7} D．{1,2,3,4,5}
答案：A
6.补集与交集、并集的性质——反演律：
①；②。
【例7】设全集U＝{x |x是三角形}，A＝{x |x是锐角三角形}，B＝{x |x是钝角三角形}．求A∩B， ∁U(A∪B)．
活动：学生思考三角形的分类和集合的交集、并集和补集的含义．结合交集、并集和补集的含义写出结果．A∩B是由集合A，B中公共元素组成的集合，∁U(A∪B)是全集中除去集合A∪B中剩下的元素组成的集合．
解：根据三角形的分类可知A∩B＝，
A∪B＝{x|x是锐角三角形或钝角三角形}，
∁U(A∪B)＝{x|x是直角三角形}.
跟踪练习：
1．已知集合A＝{x|3≤x＜8}，求∁RA.
解：∁RA＝{x|x＜3，或x≥8}．
2．设S＝{x|x是至少有一组对边平行的四边形}，A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，求B∩C，∁AB，∁SA.
解：B∩C＝{x|x是正方形}，∁AB＝{x|x是邻边不相等的平行四边形}，∁SA＝{x|x是梯形}．
3．已知全集I＝R，集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}，B＝{x|x2－ax＋b＝0}，满足(∁IA)∩B＝{2}，(∁IB)∩A＝{4}，求实数a，b的值．
解：a＝，b＝－.
4．设全集U＝R，A＝{x|x≤2＋}，B＝{3,4,5,6}，则(∁UA)∩B等于(　　)
A．{4}　　　B．{4,5,6}　　　C．{2,3,4}　　　D．{1,2,3,4}
解析：∵U＝R，A＝{x|x≤2＋}，∴∁UA＝{x|x＞2＋}．而4,5,6都大于2＋，∴(∁UA)∩B＝{4,5,6}．
答案：B
例2 设全集U＝{x|x≤20，x∈N，x是质数}，A∩(∁UB)＝{3,5}，(∁UA)∩B＝{7,19}，(∁UA)∩(∁UB)＝{2,17}，求集合A，B.
活动：学生回顾集合的运算的含义，明确全集中的元素．利用列举法表示全集U，根据题中所给的条件，把集合中的元素填入相应的Venn图中即可．求集合A，B的关键是确定它们的元素，由于全集是U，则集合A，B中的元素均属于全集U，由于本题中的集合均是有限集并且元素的个数不多，可借助于Venn图来解决．
解：U＝{2,3,5,7,11,13,17,19}，
由题意借助于Venn图，如图8所示，

图8
∴A＝{3,5,11,13}，B＝{7,11,13,19}．
点评：本题主要考查集合的运算、Venn图以及推理能力．借助于Venn图分析集合的运算问题，使问题简捷地获得解决，将本来抽象的集合问题直观形象地表示出来，这正体现了数形结合思想的优越性.
跟踪练习：
1．设I为全集，M，N，P都是它的子集，则图9中阴影部分表示的集合是(　　)

图9
A．M∩[(∁IN)∩P]
B．M∩(N∪P)
C．[(∁IM)∩(∁IN)]∩P
D．M∩N∪(N∩P)
解析：思路一：阴影部分在集合M内部，排除C；阴影部分不在集合N内，排除B，D.
思路二：阴影部分在集合M内部，即是M的子集，又阴影部分在P内不在集合N内，即在(∁IN)∩P内，所以阴影部分表示的集合是M∩[(∁IN)∩P]．
答案：A
2．设U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，(∁UA)∩B＝{3,7}，(∁UB)∩A＝{2,8}，(∁UA)∩(∁UB)＝{1,5,6}，则集合A＝________，B＝________.
解析：借助Venn图，如图10，把相关运算的结果表示出来，自然地就得出集合A，B了．

图10
答案：{2,4,8,9}　{3,4,7,9}
三． 课堂练习
夯实基础
1．设集合A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，
(1)求A∩B，A∪B.
(2)用适当的符号(⊇，⊆)填空：
A∩B________A，B________A∩B，A∪B________A，A∪B________B，A∩B________A∪B.
解：(1)因A，B的公共元素为5,8，故两集合的公共部分为5,8，
则A∩B＝{3,5,6,8}∩{4,5,7,8}＝{5,8}．
又A，B两集合的所有相异元素为3,4,5,6,7,8，故A∪B＝{3,4,5,6,7,8}．
(2)由Venn图可知
A∩B⊆A，B⊇A∩B，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∩B⊆A∪B.
2．设A＝{x|x＜5}，B＝{x|x≥0}，求A∩B.
解：因x＜5及x≥0的公共部分为0≤x＜5，[来源:学_科_网]
故A∩B＝{x|x＜5}∩{x|x≥0}＝{x|0≤x＜5}．
3．设A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是直角三角形}，求A∩B.
解：因三角形按角分类时，锐角三角形和直角三角形彼此孤立，故A，B两集合没有公共部分．
所以A∩B＝{x|x是锐角三角形}∩{x|x是钝角三角形}＝.
4．设A＝{x|x＞－2}，B＝{x|x≥3}，求A∪B.
解：在数轴上将A，B分别表示出来，得A∪B＝{x|x＞－2}．
5．设A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，求A∪B.
解：因矩形是平行四边形，故由A及B的元素组成的集合为A∪B，A∪B＝{x|x是平行四边形}．
6．已知M＝{1}，N＝{1,2}，设A＝{(x，y)|x∈M，y∈N}，B＝{(x，y)|x∈N，y∈M}，求A∩B，A∪B.
分析：M，N中的元素是数，A，B中的元素是平面内的点集，关键是找其元素．
解：∵M＝{1}，N＝{1,2}，∴A＝{(1,1)，(1,2)}，B＝{(1,1)，(2,1)}，故A∩B＝{(1,1)}，A∪B＝{(1,