高中数学教案.docx

高中数学教案
数列
第三章“”教材分析
本章是数列，特别是等差数列与等比数列，有着较为广泛的实际应用 如各种产品尺寸常要分成若干等级，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级，比如鞋的尺码；当其中的最大尺寸与最小尺寸相差较大时(这种情况是多数)，常按等比数列进行分级，比如汽车的载重量、包装箱的重量等 特别值得一提的是，数列在产品尺寸标准化方面有着重要作用  数列在整个中学数学教学内容中，处于一个知识汇合点的地位，很多知识都与数列有着密切联系，过去学过的数、式、方程、函数、简易逻辑等知识在这一章均得到了较为充分的应用，而学习数列又为后面学习数列与函数的极限等内容作了铺垫 课本采取将代数、几何打通的混编体系的主要目的是强化数学知识的内在联系，而数列正是在将各知识沟通方面发挥了重要作用 由于不少关于恒等变形、解方程(组)以及一些带有综合性的数学问题都与等差数列、等比数列有关，学习这一章便于对学生进行综合训练，从而有助于培养学生综合运用知识解决问题的能力
    本章教学约需17课时，具体分配如下：
3.1 数列
约2课时

3.2 等差数列
约2课时

3.3 等差数列前n项和
约2课时

3.4 等比数列
约2课时

3.5 等比数列前n项和
约2课时

 研究性课题：分期付款中的有关计算
约3课时

小结与复习
约4课时

一、内容与要求
    本章从内容上看，可以分为数列、等差数列、等比数列三个部分
    在数列这一部分，主要介绍数列的概念、分类，以及给出数列的两种方法 关于数列的概念，先给出了一个描述性定义，尔后又在此基础上，给出了一个在映射、函数观点下的定义，指出：“从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值” 这样就可以将数列与函数联系起来，不仅可以加深对数列概念的理解，而且有助于运用函数的观点去研究数列 关于给出数列的两种方法，其中数列的通项公式，教材已明确指出它就是相应函数的解析式 点破了这一点，数列与函数的内在联系揭示得就更加清楚 此外，正如并非每一函数均有解析表达式一样，也并非每一数列均有通项公式(有通项公式的数列只是少数)，因而研究递推公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展 递推是数学里的一个非常重要的概念和方法，数学归纳法证明问题的基本思想实际上也是“递推” 在数列的研究中，不仅很多重要的数列是用递推公式给出的，而且它也是获得一个数列的通项公式的途径：先得出较为容易写出的数列的递推公式，然后再根据它推得通项公式 但是，这项内容也是极易膨胀的，例如研究用递推公式给出的数列的性质，从数列的递推公式推导通项公式等，这样就会加重学生负担 考虑到学生是在高一学习，我们必须牢牢把握教学要求，只要能初步体会一下用递推方法给出数列的思想，能根据递推公式写出一个数列的前几项就行了
    在等差数列这一部分，在讲等差数列的概念时，突出了它与一次函数的联系，这样就便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质：从图象上看，为什么表示等差数列的各点都均匀地分布在一条直线上，为什么两项可以决定一个等差数列(从几何上看两点可以决定一条直线) 在推导等差数列前n项和的公式时，突出了数列的一个重要的对称性质：与任一项前后等距离的两项的平均数都与该项相等，认识这一点对解决问题会带来一些方便在等比数列这一部分，在讲等比数列的概念和通项公式时也突出了它与指数函数的联系 这不仅可加深对等比数列的认识，而且可以对处理某类问题的指数函数方法和等比数列方法进行比较，从而有利于对这些方法的掌握
二、本章的特点
    (一)在启发学生思维上下功夫
    本章内容，是培养学生观察问题、启发学生思考问题的好素材，使学生在获得知识的基础上，观察和思维能力得到提高
    在问题的提出和概念的引入方面，为了引起学生的兴趣，在本章的“前言”里用了一个有关国际象棋棋盘的古代传说作为引入的例子 它用一个涉及求等比数列的前n项和的麦粒数的计算问题给学生造成了一个不学本章知识、难获问题答案的悬念，又在学了等比数列后回过头来解开这个悬念；在讲等差数列与等比数列的概念时，都是先写出几个数列，让学生先观察它们的共同特点，然后在归纳共同特点的基础上给出相应的定义
    在推导结论时，注意发挥它们在启发学生思维方面的作用 例如在讲等差数列前n项和的公式时，没有平铺直叙地推导公式，而是先提出问题：
1+2+3+...+100 = ?，并指出著名数学家高斯10岁时便很快算出它的结果，以激发学生的求解热情，然后让学生在观察高斯算法的基础上，发现上述数列的一个对称性质：任意第k项与倒数第k项的和均等于首末两项的和，从而为顺利地推导求和公式铺平了道路
    在例题、习题的表述方面，适当配备了一些采用疑问形式的题，以增加问题的启发成分 如3.3 例4：“已知数列的通项公式为 =pn十q，其中p、q是常数，那么这种数列是否一定是等差数列? 如果是，其首项与公差是什么?” 又如:“如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，那么这个数列有什么特点？”这样就增加了题目的研究性 在讲有些例题时，加了一小段“分析”，通过不多的几句话点明解题的思路 如对于上面提到的“3.3 例 4”，加的一段“分析”是：“由等差数列定义，要判定 { }是不是等差数列，只要看  是不是一个与n无关的常数就行了” 话虽不多，但突出了 “从定义出发”这种最基本的证明方法
    (二)加强了知识的应用
    除了上面提到的“研究性课题”多具有应用性的特点以外还在教材中适当增加了一些应用问题 如在“阅读材料”里介绍了有关储蓄的一些计算；在所增加的应用问题里还涉及房屋拆建规划、绕在圆盘上的线的长度等
    (三)呼应前面的逻辑知识，加强了推理论证的训练
    考虑到《新大纲》更加重视对学生逻辑思维能力的培养，且在前面第一章已介绍了“简易逻辑”，为进行推理论证作了准备，紧接着又在第二章“函数”里进行了一定的推理论证训练，因此本草在推理论证方面有所加强     
(四)注意渗透一些重要的数学思想方法
    由于本章处在知识交汇点的地位，所蕴含的数学思想方法较为丰富，教材在这方面也力求充分挖掘 教材注意从函数的观点去看数列，在这种整体的、动态的观点之下使数列的一些性质显现得更加清楚，某些问题也能得到更好的解决，例如“复习参考题b组第2题”便是一个典型例子 方程或方程组的思想也是体现得较为充分的，不少的例、习题均属这种模式：已知数列满足某某条件，求这个数列 这类问题一般都要通过列出方程或方程组．然后求解 关于递推的思想方法，不仅在数列的递推公式里有所体现 观察、归纳、猜想、证明等思想方法的组合运用在本章里得到了充分展示．为学生了解它们各自的作用、相互间的关系并进行初步运用提供了条件特点，在应试教育的“一步到位”的教育思想的影响下，本章的教学要求很容易拔高，过早地进行针对“高考” 的综合性训练，从而影响了基本内容的学习和加重了学生负担 事实上，学习是一个不断深化的过程 作为在高一(上)学习的这一章，应致力于打好基础并进行初步的综合训练，在后续的学习中通过对本章内容的不断应用来获得巩固和提高 最后在高三数学总复习时，通过知识的系统梳理和进一步的综合训练使对本章内容的掌握上升到一个新的档次 为此，本章教学中应特别注意一些容易膨胀的地方 例如在学习数列的递推公式时，不要去搞涉及递推公式变形的论证、计算问题，只要会根据递推公式求出数列的前几项就行了；在研究数列求和问题时，不要涉及过多的技巧.
    (二)有意识地复习和深化初中所学内容
    对于初中学过的多数知识．在高中没有系统深入学习的机会 而初中内容是学习高中数学的必要基础，因而在学习高中内容时有意识地复习、深化初中内容显得特别重要 本章是高中数学的第三章，距离初中数学较近，与初中数学的联系最广，因而教学中应在沟通初、高中数学方面尽可能多地作一些努力     
(三)适当加强本章内容与函数的联系
    适当加强这种联系，不仅有利于知识的融汇贯通，加深对数列的理解，运用函数的观点和方法解决有关数列的问题，而且反过来可使学生对函数的认识深化一步 比如，学生在此之前接触的函数一般是自变量连续变化的函数，而到本章接触到数列这种自变量离散变化的函数之后，就能进一步理解函数的一般定义，防止了前面内容安排可能产生的学生认识上的负迁移；
    本章内容与函数的联系涉及以下几个方面
    1．数列概念与函数概念的联系
    相应于数列的函数是一种定义域为正整数集(或它的前n个数组成的有限子集)的函数，它是一种自变量“等距离”地离散取值的函数 从这个意义上看，它丰富了学生所接触的函数概念的范围 但数列与函数并不能划等号，数列是相应函数的一系列函数值 基于以上联系，数列也可用图象表示，从而可利用图象的直观性来研究数列的性质 数列的通项公式实际上是相应因数的解析表达式 而数列的递推公式也是表示相应函数的一种方式，因为只要给定一个自变量的值n，就可以通过递推公式确定相应的f(n) 这也反过来说明作为一个函数并不一定存在直接表示因变量与自变量关系的解析式
     2．等差数列与一次函数、二次函数的联系
    从等差数列的通项公式可以知道，公差不为零的等差数列的每一项a 是关于项数n的一次函数式 于是可以利用一次函数的性质来认识等差数列 例如，根据一次函数的图象是一条直线和直线由两个点唯一确定的性质，就容易理解为什么两项可以确定一个等差数列
   此外，首项为 、公差为d的等差数列前n项和的公式可以写为：
即当 时， 是n的二次函数式，于是可以运用二次函数的观点和方法来认识求等差数列前n项和的问题 如可以根据二次函数的图象了解 的增减变化、极值等情况
    3．等比数列与指数型函数的联系
    由于首项为 、公比为q的等比数列的通项公式可以写成
      它与指数函数y= 有着密切联系，从而可利用指数函数的性质来研究等比数列
    (四)注意等差数列与等比数列的对比，突出两类数列的基本特征
    等差数列与等比数列在内容上是完全平行的，包括：定义、性质(等差还是等比)、通项公式、前n项和的公式、两个数的等差(等比)中项 具体问题里成等差(等比)数列的三个数的设法等 因此在教学与复习时可采用对比方法，以便于弄清它们之间的联系与区别 顺便指出，一个数列既是等差数列又是等比数列的充要条件是它是非零的常数列
    教学中应强调，等差数列的基本性质是“等差”，等比数列的基本性质是“等比”，这是我们研究有关两类数列的主要出发点，是判断、证明一个数列是否为等差 (等比)数列和解决其他问题的一种基本方法 要让学生注意，这里的“等差”(“等比”)，是对任意相邻两项来说的
    上述基本性质，引申出两类数列的一种对称性：即与数列中的任一项“等距离”的两项之和(之积)等于该项的2倍(平方).
    利用上述性质，常使一些问题变得简便 对于学有余力的学生，还可指出等差数列与等比数列描述了两种最简单、最重要的变化：等差数列描述的是一种绝对均匀变化，等比数列描述的是一种相对均匀变化 非均匀变化通常要转化或近似成均匀变化来进行研究，这就成为教材之所以重点研究等差数列与等比数列的主要原因所在
    (五)注意培养学生初步综合运用观察、归纳、猜想、证明等方法的能力
    综合运用观察、归纳、猜想、证明等方法研究数学，是一种非常重要的学习能力 事实上，在问题探索求解中，常常是先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路；然后用归纳方法进行试探，提出猜想；最后采用证明方法(或举反例)来检验所提出的猜想 应该指出，能够充分进行上述研究方法训练的素材在高中数学里并非很多，而在本章里却多次提供了这种训练机会，因而在教学中应该充分利用，不要轻易放过
    (六)在符号使用上与国家标准一致
    为便于与国际交流，关于量和单位的新国家标准中规定自然数集n＝{0， l，2．3，……}，即自然数从o开始 这与长期以来的习惯用法不同，会使我们感到别扭 但为了不与上述规定抵触，教学中还是要将过去的习惯用法改变过来，称数集{1，2，3，…}为正整数集.
椭圆的定义
（第1课时）教案

教学目标：1、掌握椭圆的定义，椭圆标准方程的两种形式及其推导过程。
          2、通过椭圆标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，提高运用坐标法解决几何问题的能力。
3、培养学生用数学的眼光观察生活，探索科学的思维习惯，培养学生的观察能力和探索能力。
教学重点：椭圆定义及椭圆标准方程的两种形式。
教学难点：椭圆标准方程的建立和推导。
教学过程：
情景设置：
教师：我们这节课讲的是椭圆及其标准方程，哪位同学能说出几个椭圆在实际生活及自然界的例子？
教师：我们要学会观察生活，而且要学会用我们的知识去分析和研究我们观察到的东西。
探索研究：
教师：椭圆在生活中这么普遍，那么哪位同学会画椭圆吗？（找学生回答）
教师演示椭圆的画法。
教师：哪位同学能用数学语言定义一下椭圆（找学生回答）
教师强调以下几点：
①     平面内  ②两个定点 ③常数大于两定点间距离
教师：我们现在知道什么是椭圆了，可是我们数学要研究一个曲线这还远远不够吧？首先要求出这个曲线的方程，然后通过方程研究曲线的性质。
教师：那么椭圆的方程怎么求呢？求曲线方程方法和步骤有哪些？
（同学回答，教师小结）
a2

x2

b2

y2

+

= 1  (a＞b＞0)

教师引导学生回答，由教师主笔完成焦点在x轴上的椭圆标准方程的推导。推导完成后，继续引导学生探索焦点在y轴上的椭圆的标准方程。
焦点在x轴上的椭圆标准方程是：

y2

a2

+

x2

b2

=1   (a＞b＞0)

焦点在y轴上的椭圆标准方程是：
教师：在椭圆的标准方程形式上有何特点？方程中有几个参数呢？它们之间有什么关系？
（由学生回答，教师小结）
“三个参数，两个关系”
“三个参数，a、b、c
 两个关系， 等量关系：a2 - c2=b2
                 不等关系：a＞b＞0， a＞c＞0.
教师引导学生共同完成以下练习
16

x2

-9

y2

+

= 1  

3、

5

x2

3

y2

+

= 2  

1、

练习一、以下哪几个方程表示的是椭圆的标准方程
16

x2

16

y2

+

= 1  

4、

2、2x2  +  4y2= 1
练习二
       如果方程x2 + ky2= 2 是焦点在y轴上的椭圆的标准方程，那么实数k的取值范围是         
例1、求适合下列条件的椭圆的标准方程：
两个焦点的坐标分别是（－4，0）、（4，0），椭圆上一点p到两焦点距离的和等于10。
教师和同学一块儿完成解答。
教师引导，由学生自己总结一节课收获
教师小结：⑴ 注意观察生活，多思考，多分析，多研究
          ⑵ 知识   ① 椭圆的画法
                    ② 椭圆的标准过程推导
                    ③ 待定系数法求椭圆的标准方程
探索性问题: 当参数a、c变化时，将会对椭圆有什么样的影响？参数b有什么实际意义吗？
复数的有关概念
 教学目标
    (1)掌握复数的有关概念,如虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、两复数相等、复平面、实轴、虚轴、共轭复数、共轭虚数的概念。
    (2)正确对复数进行分类,掌握数集之间的从属关系;
    (3)理解复数的几何意义,初步掌握复数集c和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系。
    (4)培养学生数形结合的数学思想,训练学生条理的逻辑思维能力.
    教学建议
    (一)教材分析
    1、知识结构
    本节首先介绍了复数的有关概念,然后指出复数相等的充要条件,接着介绍了有关复数的几何表示,最后指出了有关共轭复数的概念.
    2、重点、难点分析
    (1)正确复数的实部与虚部
    对于复数 ,实部是 ,虚部是 .注意在说复数 时,一定有 ,否则,不能说实部是 ,虚部是 ,复数的实部和虚部都是实数。
    说明:对于复数的定义,特别要抓住 这一标准形式以及 是实数这一概念,这对于解有关复数的问题将有很大的帮助。
    (2)正确地对复数进行分类,弄清数集之间的关系
    分类要求不重复、不遗漏,同一级分类标准要统一。根据上述原则,复数集的分类如下:
    注意分清复数分类中的界限:
    ①设 ,则 为实数 
    ② 为虚数 
    ③ 且 。
    ④ 为纯虚数 且 
    (3)不能乱用复数相等的条件解题.用复数相等的条件要注意:
    ①化为复数的标准形式 
    ②实部、虚部中的字母为实数,即 
    (4)在讲复数集与复平面内所有点所成的集合一一对应时,要注意:
    ①任何一个复数 都可以由一个有序实数对( )唯一确定.这就是说,复数的实质是有序实数对.一些书上就是把实数对( )叫做复数的.
    ②复数 用复平面内的点z( )表示.复平面内的点z的坐标是( ),而不是( ),也就是说,复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1,而不是 .由于 =0+1· ,所以用复平面内的点(0,1)表示 时,这点与原点的距离是1,等于纵轴上的单位长度.这就是说,当我们把纵轴上的点(0,1)标上虚数 时,不能以为这一点到原点的距离就是虚数单位 ,或者 就是纵轴的单位长度.
    ③当 时,对任何 , 是纯虚数,所以纵轴上的点( )( )都是表示纯虚数.但当 时, 是实数.所以,纵轴去掉原点后称为虚轴.
    由此可见,复平面(也叫高斯平面)与一般的坐标平面(也叫笛卡儿平面)的区别就是复平面的虚轴不包括原点,而一般坐标平面的原点是横、纵坐标轴的公共点.
    ④复数z=a+bi中的z,书写时小写,复平面内点z(a,b)中的z,书写时大写.要学生注意.
    (5)关于共轭复数的概念
    设 ,则 ,即 与 的实部相等,虚部互为相反数(不能认为 与 或 是共轭复数).
    教师可以提一下当 时的特殊情况,即实轴上的点关于实轴本身对称,例如:5和-5也是互为共轭复数.当 时, 与 互为共轭虚数.可见,共轭虚数是共轭复数的特殊情行.  (6)复数能否比较大小
    教材最后指出:“两个复数,如果不全是实数,就不能比较它们的大小”,要注意:
    ①根据两个复数相等地定义,可知在 两式中,只要有一个不成立,那么 .两个复数,如果不全是实数,只有相等与不等关系,而不能比较它们的大小.
    ②命题中的“不能比较它们的大小”的确切含义是指:“不论怎样定义两个复数间的一个关系‘<’,都不能使这关系同时满足实数集中大小关系地四条性质”:
    (i)对于任意两个实数a, b来说,a<b, a=b, b<a这三种情形有且仅有一种成立;
    (ii)如果a<b,b<c,那么a<c;
    (iii)如果a<b,那么a+c<b+c;
    (iv)如果a<b,c>0,那么ac<bc.(不必向学生讲解)
    (二)教法建议
    1.要注意知识的连续性:复数 是二维数,其几何意义是一个点 ,因而注意与平面解析几何的联系.
    2.注意数形结合的数形思想:由于复数集与复平面上的点的集合建立了一一对应关系,所以用“形”来解决“数”就成为可能,在本节要注意复数的几何意义的讲解,培养学生数形结合的数学思想.
    3.注意分层次的教学:教材中最后对于“两个复数,如果不全是实数就不能本节它们的大小”没有证明,如果有学生提出来了,在课堂上不要给全体学生证明,可以在课下给学有余力的学生进行解答.
    复数的有关概念
    教学目标
    1.了解复数的实部,虚部;
    2.掌握复数相等的意义;
    3.了解并掌握共轭复数,及在复平面内表示复数.
    教学重点
    复数的概念,复数相等的充要条件.
    教学难点
    用复平面内的点表示复数m.
    教学用具:直尺
    课时安排:1课时
    教学过程:
    一、复习提问: 
    1.复数的定义。
    2.虚数单位。
    二、讲授新课
    1.复数的实部和虚部:
    复数 中的a与b分别叫做复数的实部和虚部。
    2.复数相等
    如果两个复数 与 的实部与虚部分别相等,就说这两个复数相等。
    即: 的充要条件是 且 。
    例如:   的充要条件是 且 。
    例1: 已知   其中 ,求x与y.
    解:根据复数相等的意义,得方程组:
    ∴ 
    例2:m是什么实数时,复数 ,
    (1)    是实数,(2)是虚数,(3)是纯虚数.
    解: 
    (1) ∵ 时,z是实数,
    ∴ ,或 .
    (2)    ∵ 时,z是虚数,
    ∴ ,且 
    (3)    ∵ 且 时,   z是纯虚数. ∴ 
    3.用复平面(高斯平面)内的点表示复数
    复平面的定义
    建立了直角坐标系表示复数的平面,叫做复平面.
    复数 可用点 来表示.(如图)其中x轴叫实轴,y轴 除去原点的部分叫虚轴,表示实数的点都在实轴上,表示纯虚数的点都在虚轴上。原点只在实轴x上,不在虚轴上.
    4.复数的几何意义:
    复数集c和复平面所有的点的集合是一一对应的.
    5.共轭复数
    (1)当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数。(虚部不为零也叫做互为共轭复数)
    (2)复数z的共轭复数用 表示.若 ,则: ;
    (3)实数a的共轭复数仍是a本身,纯虚数的共轭复数是它的相反数.
    (4)复平面内表示两个共轭复数的点z与 关于实轴对称.
    三、练习   1,2,3,4.
    四、小结:
    1.在理解复数的有关概念时应注意:
    (1)明确什么是复数的实部与虚部;
    (2)弄清实数、虚数、纯虚数分别对实部与虚部的要求;
    (3)弄清复平面与复数的几何意义;
    (4)两个复数不全是实数就不能比较大小。
    2.复数集与复平面上的点注意事项:
    (1)复数 中的z,书写时小写,复平面内点z(a,b)中的z,书写时大写。
    (2)复平面内的点z的坐标是(a,b),而不是(a,bi),也就是说,复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1,而不是i。
    (3)表示实数的点都在实轴上,表示纯虚数的点都在虚轴上。
    (4)复数集c和复平面内所有的点组成的集合一一对应:
    五、作业   1,2,3,4,
    六、板书设计:
    §8,2 复数的有关概念
    1定义:  例1    3定义:   4几何意义:
    ……     ……   ……        ……
    2定义:  例2                 5共轭复数:
    ……     ……   ……        ……