高中数学电教课教案.doc

高中数学电教课教案

函
数
的
单
调
性

盐湖五中 李亚萍

教学目标
知识与技能
（1） 通过对初中已学过的函数（特别是二次函数）图象的观察、分析，逐步理解函数的单调性及其几何意义。
（2） 能根据图象的升降特征，划分函数的单调区间；理解增（或减）函数的定义，会证明函数在指定区间上的单调性。
过程与方法
从观察具体函数的图象特征入手，结合相应问题，引导学生一步步转化到用数学语言形式化的建立增（减）函数的概念。
情感态度与价值观
（！）理解运用由特殊到一般，由具体到抽象，由自然语言到符号语言，提升学生的数学思维能力，使学生学会科学地思考问题，科学地解决问题。
（3） 加强判断能力、推理能力和化归转化能力。

重点与难点
重点
借助图象、表格和自然语言、数学符号语言，形成增（减）函数的形式化定义，并能用定义解决简单的问题。
难点
形成增（减）函数的形式化定义的过程中，如何从图象升降的直观认识过度到函数增减的数学符号语言表述；用定义证明函数的单调性。

教学过程
一、 创设问题情境，引入新课
画出函数 与 的图象，从左往右看它们的图象是怎样变化的，有怎样的升降规律？
学生回答，教师点拨引导。得到：不同的函数，其图象的变化趋势可能也不同；同一个函数在不同区间上的变化趋势也不一定相同。函数图象的这种变化规律反映了函数的一个重要性质即函数的单调性。

二、 完成以下任务
问题一 什么是增函数？什么是减函数？
1、 以上分析发现函数 的图象在定义域 上是上升的，怎样 数值的变化来定性分析？设计意图：指导学生从定性分析到定量分析，从直观认识到符号表示。
指导学生完成 的对应值表；并发现自变量 的值由小到大变化时，函数值 也由小到大。
2、 如何用函数符号 来刻画它的上升规律的？
任给一些自变量 的值，当 时，是否都有 ？
引导学生得出：（图象语言）函数 在 上的图象是上升的。（符号语言）对于上的任意 的值，当时，都有。
（文字语言）函数值随着自变量的增大而增大，具有这种性质的函数叫做增函数。
3、 说明函数 在 为增函数。
4、 如何定义一个函数 在某个区间 上为增函数？
设计意图：由具体到一般引出增函数的定义，由形象到抽象，培养学生的逻辑思维能力。
设 的定义域为 ，对于定义域 内某个区间 上任意两个自变量的值 当 时都有 ，则称在区间 上为增函数。
5、 类比于增函数的定义，给出减函数的定义。

问题二 什么是函数的单调性及函数的单调区间？
阅读教材内容，思考并回答下列问题：
1、 函数在区间D上具备什么特征时，就说函数在区间D上具有单调性？
函数在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数 在区间D上具有单调性。区间D叫做函数的单调区间。
2、 函数的单调性是函数在某个区间上的性质，请思考这个区间与函数的定义域的关系。

3、 是不是所有函数都具有单调性？举例说明，
函数 不具有单调性，因为其定义域根本就不是区间。

问题三 如何利用单调性的定义来证明函数的单调性。
阅读教材 、 “探究”栏目，自主完成例1、例2，思考并回答下列问题：
1、 例一是用观察法求函数的单调区间，请注意各个单调区间端点的开闭情况。如果将本题中的函数的定义域改为 ，那么函数的单调区间是什么？
说明：函数的单调性是对定义域内某个区间而言的。对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题。
2、 例一中函数在区间 上是减函数，这两个区间之间能否用符号“ ”连接？为什么？
不能。因为 。
3、 利用定义证明函数单调性的步骤是什么？
取值 ：作差变形 ：定号 ：下结论。
（！）任取 且
（2）判断 的符号
（3）下结论，若 ，则为增函数：若 ，则为减函数。

三、课堂小结：
（1）通过增（减）函数概念的形成过程，你学到了什么？
（2）增（减）函数的图象有什么特点？如何根据图象划分函数的单调区间？
（3）怎样用定义证明函数的单调性？

四、作业设计
作业：教材习题

函数的单调性
一、 概念
增函数
减函数

二、应用
例1
例2
三、 总结
证明函数单调性的步骤
四、作业

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