航天器编队飞行相对运动轨迹优化方法综述.pdf

第 45 卷第 3 期 2024 年 3 月宇 航 学 报Journal of AstronauticsNo.32024MarchVol.45航天器编队飞行相对运动轨迹优化方法综述陈丹鹤，何敬源，刘幸川，廖文和（南京理工大学机械工程学院，南京 210094）摘要：针对航天器编队飞行过程中存在的轨迹优化问题，首先系统综述其多种相对运动动力学模型，分类比较模型的特点，并考虑航天器运动环境和不同求解方法阐述编队轨迹优化问题。在建立数学优化模型的基础上描述该问题的一般形式，提出了航天器编队飞行相对运动轨迹优化问题的难点。综述航天器编队飞行构建或重构任务中轨迹优化问题的求解方法，总结分析其优缺点，并介绍常用的数学求解工具。最后，提出值得深入研究的关键技术需求和航天器编队飞行未来发展的重要方向。关键词：航天器编队；编队控制；相对运动；协同控制；轨迹优化中图分类号：V412.4 文献标识码：A 文章编号：1000-1328（2024）03-0325-16 DOI：10.3873/j.issn.1000-1328.2024.03.001Review on Relative Trajectory Optimization Methods for Spacecraft Formation FlyingCHEN Danhe，HE Jingyuan，LIU Xingchuan，LIAO Wenhe（School of Mechanical Engineering，Nanjing University of Science and Technology，Nanjing 210094，China）Abstract:Aiming at trajectory optimization problems in spacecraft formation flight，firstly，a variety of relative motion dynamics models are systematically reviewed，the characteristics of the models are classified and compared，and the trajectory optimization problem of formation is expounded considering the spacecraft movement environment and different solving methods.The general form of the problem is described based on the establishment of mathematical optimization models.The difficulties in the relative motion trajectory optimization of spacecraft formation flight are presented.The methods for solving trajectory optimization problems in spacecraft formation flight are summarized，specifically in the context of formation construction or reconstruction tasks.The advantages and disadvantages of these methods are analyzed，and commonly used mathematical optimization tools are presented.Finally，key technological requirements and important future directions for spacecraft formation flight are proposed，highlighting areas that warrant further research.Key words:Spacecraft formation；Formation control；Relative motion；Cooperative control；Trajectory optimization0引言随着航天领域新型技术不断发展，空间对抗的需求进一步明确，航天器在轨飞行任务变得更加复杂。传统单个航天器集成度高、功能全面，但抗风险能力随着航天器功能的增加而降低；而编队航天器因具备系统成本低和可靠性强的优点，具有较高的抗风险能力。编队是指由两个及以上航天器组成的、具有一定构型的航天器集群，可执行通信、遥感、导航以及侦查等多种任务1-2。相比于单个航天器，航天器编队飞行（Spacecraft formation flying，SFF）能够在保证系统功能全面的情况下降低自身风险性，执行更灵活、复杂的空间任务。按照航天器编队所处的空间环境不同，可以收稿日期：2023-09-12；修回日期：2023-10-16基金项目：空间智能控制技术重点实验室基金项目（HTKJ2023KL502009）宇航学报第 45 卷分为近地编队飞行和深空编队飞行。近地编队通常执行遥感观测3-4和技术验证等在轨任务，例如美国于 2018 年发射的 GRACE-FO（Gravity recovery and climate experiment-follow on）是地球重力场观测编队航天器，其通过确定两个航天器的相对位置随时间的变化量，计算出地球引力的影响大小，为构建地球重力场提供数据，如今依旧在轨运行。SAMSON（Space autonomous mission for swarming and geolocation with nanosatellites）是以色列 2021年验证编队航天器长期自主集群飞行的任务。深空编队一般选择在多体系统的平动点附近5、Halo轨道或悬浮轨道等飞行6，其应用覆盖引力波探测、行星探测7-8和小天体探测9等领域。例如，ESA 的LISA（Laser interferometry satellite antenna）任务是由3 个航天器构成空间等边三角形编队10，预计于2037年发射，主要用来测量引力波引起的空间扭曲变化。按照编队航天器之间是否有物理连接或强制性的约束关系可以将编队分为自由编队和绳系编队11，自由编队系统在队形控制过程中需要依靠推进器产生推力，绳系编队航天器系统还可通过调整系绳的张力来保持或改变构型。近10年来全球已经发射在轨运行的编队飞行任务和未来预计发射的典型任务情况详见表1。面对更加复杂的空间环境和任务要求，航天器表1近10年编队飞行任务总结介绍Table 1Summary formation missions over the past 10 years航天器名称AeroCube 4A-CFN 1，1ASTARS 2CanX 4，5MMS 1-4ZJ 1/KJSY 1XC/TT-3/NUDTZDPS 2A，2BEDSN 1-8BanXing 2S-Net A-DGOMX 4A，BSTARS-MeRANGE A，BBufeng 1A，BTEPCE 1，2Mule，Node 1-8NetSat 1-4Yarilo 1，2CANYVAL-CRAAF M2 A/BSAMSON 1，2，3Tianhui 2-01，02GSSAP 1-6MilSpace2 1，2PIESAT 1A-01SNIPE A-DSTARS XSunRISEPROBA-3INCUSHarmonyLISA大小 数量1U CubeSat3微小航天器2微小航天器23U CubeSat2大型航天器4微小航天器2微小航天器6微小航天器21.5U CubeSat8微小航天器微小航天器46U CubeSat22U CubeSat21.5U CubeSat2微小航天器21.5U CubeSat26U CubeSat83U CubeSat41.5U CubeSat21U&2U CubeSat6U CubeSat26U CubeSat3大型航天器2微小航天器6微小航天器2微小航天器46U CubeSat4微小航天器26U CubeSat6微小航天器2微小航天器3微小航天器2国家/机构美国中国日本加拿大美国中国中国中国美国中国德国丹麦日本美国中国美国美国德国俄罗斯韩/美澳大利亚以色列中国美国挪威中国韩国日本美国ESA美国ESAESA任务目的小型航天器通信技术演示编队飞行演示姿态稳定性验证受控编队技术验证地球磁场研究超低功率地面通信、GaN空间效应试验航天器间通信技术测试编队飞行技术在轨测试粒子观测、微小航天器设计验证天宫2号空间站跟飞拍摄验证分布式自主运行的航天器间通信大型航天器编队关键技术验证绳系编队的轨道电梯技术验证微小航天器的相对和绝对定位能力实验海风速度场测量测试电动绳系推进电磁探测验证分布式计算的三维自主编队飞行太阳活动观测，动力学研究编队虚拟望远镜技术验证地球观测、量子计算等测试多航天器的长期自主集群飞行演示科学研究、国土资源普查、地图测绘态势感知，太空监视空间频谱监测系统演示地质灾害探测识别识别等离子体结构的时间和空间变化绳系编队航天器碎片捕获实验太阳射电干涉实验日冕观测热带风暴观测测量地表和冰川形状的微小变化引力波观测发射时间2012.09.132012.11.182014.02.142014.06.302015.03.132015.09.192015.09.192015.09.192015.11.042016.09.152018.02.012018.02.022018.09.222018.12.032019.06.052019.06.252020.06.132020.09.282020.09.282021.03.222021.03.222021.03.222021.08.182022.01.212023.01.032023.03.302023.05.252023.xx.xx2024.xx.xx2024.xx.xx2027.xx.xx2029.xx.xx2037.xx.xx326第 3 期陈丹鹤等：航天器编队飞行相对运动轨迹优化方法综述编队飞行在队形构建、相对导航和协同制导与控制等方面还有许多问题有待深入研究。从表1可以看出，参与编队飞行任务的主要为微小航天器，然而小型平台携带的燃料以及机动能力有限，在解决编队初始构型设计、构建与重构问题的过程中，如何节省燃料，实现航天器最优飞行转移是重要的环节。航天器编队飞行构建和重构技术可以分为轨迹规划和轨迹优化两个部分。轨迹规划主要为了确定每个航天器新的空间构型位置，进行构型的分配；轨迹优化则是在满足某个性能指标和多种约束条件下进行轨迹设计。轨迹规划被认为是航天器初始编队稳定部署，以及入轨后编队重构成功的关键问题12；另外，选择不同的优化方法是影响星上计算和总体系统性能指标的主要因素。因此，航天器编队飞行构建和重构的轨迹优化问题可以描述为利用集中式或分布式的规划方法，寻找每一个成员航天器的最优轨迹，使每个航天器或者群体能够在规定时间内依据某种性能指标（如燃料、时间等），从当前的编队构型转移到指定构型。然而，通过研究轨迹优化计算得到控制序列（最优轨迹）的过程属于开环控制，无法对系统的实际响应进行实时调整或修正。因此，可以设计控制器跟踪该开环控制轨迹13。研究航天器编队飞行构建和重构的轨迹优化问题，首先需要根据航天器的飞行环境，确定相对运动动力学模型。根据空间范围不同，一般可以分为行星轨道环境（Planetary orbital environments，POE）和深空环境（Deep space，DS）14。POE动力学模型主要为二体运动模型，因此大多以 HCW（Hill-clohessy-wiltshire）方程、T-H（Tschauner-hempel）方程或相对轨道根数（Relative orbit element，ROE）等构建15。在近地环境下，一般采用无摄动的简化模型，或者采用仅考虑J2效应的动力学模型16；而DS动力学模型大多基于圆型限制性三体问题框架（Circular restricted three body problem，CR3BP）建立17-18。航天器的轨迹优化层需要根据编队任务的需求以及平台能力，确定其构建和重构的性能指标和约束。由于微小航天器携带燃料限制，目标函数多选择为燃料最优19-20，约束包含端点约束、系统约束和安全约束等，该问题可用最优控制理论或数学规划方法推导求解。通过最优控制理论的变分法（Calculus of variations，COV）和庞特里亚金极小值原理（Pontryagins minimum principle，PMP）求解轨迹优化问题21。推导一阶必要条件，把最优控制变量表示为状态变量和协态变量的函数，然后将轨迹优化问题转换为两点边值问题（Two-point boundary value problem，TPBVP）求解。此类方法的优点是无需对性能指标寻优，只要满足一阶必要条件的收敛解，即被认为是最优轨迹，且只要初值猜测较精准，就能快速得到收敛解。缺点是难以有效集群避障或是约束大型航天器集群之间的相对位置16，22。另外也可以通过离散空间的方法将轨迹优化问题转换为二次规划（Quadratic programming，QP）、混合整数线性规划（Mixed integer linear programming，MILP）或凸优化问题（Convex optimization，CO）来描述，然后迭代求解。其本质是从数学角度求解非线性规划问题（Nonlinear programming，NLP）23。此类方法可以将问题简化，不需要推导一阶必要条件，并且具有更广的收敛域。由于未引入一阶必要条件，不提供协态变量信息，不能保证结果是最优解。虽然该方法可以约束大型航天器集群之间的相对位置，但也会带来大量的运算。对于对集群智能控制响应速度要求较高的系统，若运算时间过长，将大幅降低控制系统的稳定性等性能。因此，如何有效解决编队航天器间相对位置约束问题是编队飞行轨迹优化中较关键和复杂的问题之一。本文将对航天器编队飞行轨迹优化的相关问题进行综述，首先分析不同环境下的动力学模型与轨迹优化的数学模型；对解决编队飞行的轨迹优化问题的方法进行阐述，并介绍常用的优化软件包和求解器，第3、4节总结航天器编队飞行轨迹优化相关问题的关键技术需求，以及未来的发展趋势。1编队飞行轨迹优化问题的一般描述1.1相对动力学模型在近地轨道环境中的编队飞行，可以看作在主航天器中心建立的笛卡尔坐标系（Local vertical local horizontal，LVLH）下副航天器的运动。设r=x，y，zT和v=x，y，zT是该坐标系中副航天器的位置和速度向量，其相对关系如图1所示。对于任意偏心率轨道，副航天器的运动轨迹可通过T-H方程描述如下24：327宇航学报第 45 卷x-2es1+ecx-2y-3+ec1+ecx+2es1+ecy=Cdxy+2x-2es1+ecy-2es1+ecx-ec1+ecy=Cdyz-2es1+ecz+11+ecz=Cdz（1）式中：C=(1-e2)3n2(1+ec)4，n=/R3，其中s和c分别表示sin和cos；x轴沿轨道径向方向，y轴沿迹向方向；e、n、分别为主航天器的轨道偏心率、平均角速度和真近点角；dx，dy，dz表示副航天器在轨所受到的摄动力和控制力分量和。式（1）一般只有在忽略dx，dy，dz项时可获得解析解。通常为了简化航天器近地轨道的相对运动模型，忽略dx，dy，dz项，并假设航天器间相对距离远小于地球半径，即r/R 1，且考虑为其在近圆轨道上运动，可以得到HCW方程25：x-3n2x-2ny=0y+2nx=0z+n2z=0（2）以HCW方程建立的动力学模型不考虑摄动影响，且表现为线性形式，因此常作为相对运动制导与控制的动力学模型。将线性微分式（2）写为状态空间形式26。选择相对位置速度状态向量=x，y，z，x，y，z T，式（2）可采用以下形式表示：(t)=A(t)（3）式中系统矩阵：A=000100000010000001-3n2000-2n00002n0000n2000（4）初始条件(t0)=x0，y0，z0，x0，y0，z0T。A的特征值为nj，nj，0，0，因此解中会出现一个长期项。将式（3）以离散空间表示，得到HCW方程的状态转移矩阵（State transition matrix，STM）：(t)=eA()t-t0(t0)（5）对于t0=0有：eAt=4-3cnt00sntn2n-2cntn06snt-6nt102cntn-2n4sntn-3t000cnt00sntn3nsnt00cnt2snt06ncnt-6n00-2snt-3+4cnt000-nsnt00cnt（6）式中：cnt=cos(nt)，snt=sin(nt)。在近地轨道环境下，参考轨道可以近似考虑为圆轨道，副航天器可以在笛卡尔坐标系中以 HCW方程描述编队飞行运动，但在该模型下轨道递推的误差会随时间累积。为了克服该问题，部分学者选择在模型中考虑摄动因素27-30。同时，由于相对运动的 HCW 方程中忽略了非线性项，该模型存在长时间预测精度较低的缺点。在参考轨道为椭圆轨道的情况下，副航天器笛卡尔参数的变化与角动量的变化并不对应31-32，此时相对运动方程是时变的，HCW方程误差较大。因此对于这种情况，采用曲线 HCW 模型能够更准确地描述航天器轨道平面内的相对运动31，曲线HCW模型以极坐标构建。这使得副航天器与主航天器之间即使迹向距离超过5 km，也能保持较高精度。在航天器远距离机动过程中，曲线 HCW 模型与笛卡尔HCW模型相比递推误差小很多。在曲线HCW模型中系统矩阵A与式（4）的相同，但状态量重新定义为：=r，a0r，-a0r，r，a0r，-a0 rT（7）为了解决长时间的轨道预报不精确问题，也可以通过建立航天器的相对运动长周期近似模型，得到相对运动的近似解和周期解33。但这种通过递推平均相对轨道参数来计算的模型无法推导出考虑密切轨道参数时变的制导和控制策略。DAmico在Lovell等34和Schaub等35的研究基础上提出了相对轨道根数（ROE）模型，与笛卡尔参图1近地轨道编队飞行Fig.1Formation flying in low Earth orbit328第 3 期陈丹鹤等：航天器编队飞行相对运动轨迹优化方法综述数不同，ROE模型重新定义了相对坐标系下的轨道参数，能够以无量纲形式更简洁地表示航天器之间的相对运动36-37。通过对主、副星的开普勒轨道根数进行变换，最终定义一组具有几何关联的相对轨道参数，如式（8）所示：=aeexeyixiy=ad-acacMd-Mc+(d-c+(d-c)cosic)edcosd-eccoscedsind-ecsincid-ic(d-c)sinic（8）式中：d、c分别为编队中主、副星的升交点赤经。线性化动力学模型表示为：(t)=(t，t0)0+(t，t0)v（9）式中：状态转移矩阵随时间迭代，而控制输入矩阵表示在时间t时3个方向控制输入v的影响。矩阵和可查阅文献 38 获取。区别于二体问题中的相对运动模型，对于多体问题（深空环境）中的编队飞行任务，例如在圆形限制性三体问题（CR3BP）中推导航天器动力学方程：两个质量为Mi的大天体在相互引力作用下围绕质心旋转，编队航天器质量均满足条件mi Mi。定义旋转坐标系S原点为质心，xs轴从M1指向M2，zs轴为系统角动量方向，ys轴为法向，惯性坐标系在参考历元t0=0处时与旋转坐标系S对齐。通过定义无量纲参数=M2(M1+M2)描述两个大天体Mi在坐标系中的位置，其相对关系如图2所示。副航天器在旋转坐标系中的微分运动方程如下17：x-2y-x=(1-)U11+U12+uxy+2x-y=(1-)U21+U22+uyz=(1-)U31+U32+uz（10）式中：ux，uy，uz为推力加速度，Uij(i 1，2，3，j 1，2)表示为：U12=-1+rt-R23-x+-1+rt-R23 U11=+rt-R13-x+rt-R13 U2j=rt-Rj3-y+rt-Rj3 U3j=rt-Rj3-z+rt-Rj3（11）矢量rt=，T和rc分别表示主航天器和副航天器在旋转坐标系S中的位置，副航天器相对于主航天器的位置矢量定义为(x，y，z)=rt-rc。将式（10）进一步线性化，就可以得到线性会合模型（Rendezvous linear model，RLM）为：x=Ax+Bu（12）x=x，y，z，x，y，z T表示相对位置矢量 T，TT。A=03 3I3 3，B=03 3I3 3，=0-20-200000=-(1+2)I3 3+31(e1 e1)+32(e2 e2)（13）式中：表示并矢积，ei是从第i个大天体指向主航天器的单位向量，ei、i定义为：ei=rt-Rirt-Ri，i=irt-Ri3，i=1，2（14）为了简化计算，部分多体问题下的航天器相对动力学模型可以表示为双重积分形式14，39，即忽略式（12）中A矩阵内的Hessian矩阵和科氏加速度项，简化后的模型在一些情况下短时间内能够保持较高的精度40，例如在L2点附近。通过图3对编队飞行的相对运动模型进行归纳分类，根据二体或多体问题选取不同的坐标系统和摄动影响级别，对动力学进行建模。1.2编队飞行轨迹优化航天器编队轨迹优化问题是描述在相对运动动力学模型框架下，确定编队构建或重构的性能指标和约束条件。根据飞行任务的不同，例如编队航图2限制性三体问题下编队飞行Fig.2Formation flight in CR3BP329宇航学报第 45 卷天器的数量，编队构型设计等，选取合适的性能指标和约束条件，例如集群作战快速掠飞、绕飞，或者燃料最优下的编队构型调整。编队飞行轨迹优化问题即解决满足最优化求解的形式中，从某个初始状态开始到某个末端状态结束的最优控制序列，如图4所示，箭头表示航天器的推力方向。1.2.1性能指标1）时间最优若设定轨迹优化的指标是编队飞行构建和重构的时间最短41，那么相应的成本函数应表示为：J=0Tdt（15）式中：T表示时间步长。2）燃料最优若轨迹优化的指标是所有航天器的总燃料消耗最低，对于共有N个航天器的编队飞行任务，燃料最优成本函数表示为：J=i=1N0Tui1 dt（16）式中ui1表示第i个航天器迹向、径向和法向输入的控制量之和。3）能量最优若轨迹优化的指标是所有编队飞行航天器的能量最低，则最优成本函数表示为14：J=i=1N0TuTiuidt（17）从表1中可以看出，目前参与编队飞行的航天器多为微小航天器，例如立方星等，由于平台携带燃料有限，目标函数常选择为燃料最优或能量最优。当燃料最优问题的优化求解遇到奇异解时，可以通过引入能量最优的性能指标消除奇异性现象。另外，约束条件是航天器能够成功完成轨道转移的关键因素，在此过程中主要考虑端点约束中的初末态约束，系统约束中的动力学、推力矢量、推力形式和欠驱动约束等；同时编队飞行轨道转移时，还需要考虑和定义安全距离和避障距离，以及工程限制。约束条件的一般形式概述如下。1.2.2初末态约束编队飞行轨迹优化的目标是为每个成员航天器0，1，2，i规划随时间变化的控制序列u，实现位于初始位置xi(t0)的航天器i在控制序列u的输入下，经过飞行时间T运动到目标终点位置。初始状态和终点状态被约束为指定的值，表示为42：xi(t0)=x0ixi(tT)=xfi（18）式中：x0i是第i个航天器的初始状态向量，xfi是第i个航天器的终点状态向量。1.2.3动力学约束编队飞行轨迹优化过程中的中间时刻状态必编队飞行动力学模型二体环境多体环境三体问题笛卡尔系模型极坐标系模型几何坐标系模型会和坐标系模型近圆轨道偏心轨道CW方程曲率CW方程T-H方程ROE方程无摄动方程摄动方程图3编队飞行动力学模型划分示意图Fig.3Classification diagram of formation flyings dynamic model图4编队飞行轨迹规划Fig.4Formation flight trajectory optimization330第 3 期陈丹鹤等：航天器编队飞行相对运动轨迹优化方法综述须与系统动力学保持一致，即航天器在轨道转移过程需要满足动力学系统约束：xi(t+1)=Axi(t)+Bui(t)（19）假设推力u在整个时间步长中可以连续施加，那么状态方程同样可以使用离散化方法离散到有限的点上，视为在每个时间步长开始时输入控制量。1.2.4推力约束航天器轨道机动的推力方式主要可分为脉冲和连续推力，连续推力发动机以比冲大，效率高等特点在越来越多的空间任务中得到应用。然而连续推力轨迹优化问题较难求解43，如果采用6自由度的推力形式，其推力幅值大小约束可表示为：ui(t)umax1，1，1T（20）对于采用单自由度推力形式的幅值大小限制为：ui(t)2 umax（21）式中：ui(t)表示任意时刻t下第i个航天器的推力矢量径向、迹向和法向分量。推力极值umax表示每个推进器可用的有限推力。对于6自由度推力形式，如果存在x方向的推进器配置缺省，即在欠驱动情况下，则上式可写为：ui(t)umax0，1，1T（22）其他方向若出现推力缺省，同样可以定义如式（16）的约束条件。1.2.5安全约束1）航天器间距约束为了避免不同编队成员航天器在构建或重构过程中发生碰撞，需要限制相对距离阈值。考虑在编队构型完成之后的长期在轨飞行任务执行中，需要保证每两个航天器在每个时间步长、运动方向上至少相距指定的最小安全距离阈值，这也可以看作在航天器周围设定一个圆形禁区。在任意时刻t，每两个航天器i，j之间的相对距离以xi(t)-xj(t)2表示，该约束可以表示为：xi()t-xj()t2 rsafe（23）2）羽流约束编队航天器在机动时，推进器喷气作用会产生一定的羽流，而羽流效应会对其他成员航天器表面材料或者运动轨迹产生影响44。因此，在安全约束中需要考虑羽流约束。这种羽流与推进器轴线对齐，为了避免加入姿态约束导致问题复杂化，可以将该问题简化为避碰约束问题：如果推进器没有点火，则不需要添加约束，如果推进器点火，判断其他航天器是否进入该区域。羽流约束用不等式可以表示如下，其中矩阵M包含了是否点火的判别信息：(xi(t)-xj(t)TM(xi(t)-xj(t)1（24）式中：M=u (t)S，u (t)=diag(u1(t)，u2(t)，u3(t)uk(t)=0，uk(t)=01，uk(t)0（25）S=diag(a2，b2，c2)为羽流在长、宽、高3方向的安全距离，k=1，2，3代表航天器的径向、迹向和法向。3）避撞约束避撞约束与相对距离限制方法类似，不同的是航天器平台需要通过传感器相对定位或地面基站获取障碍物位置信息，并作为个体纳入相对距离约束当中45-46。实际情况中障碍物的出现是随机的，因此轨迹优化也必须滚动更新，才能保证航天器的可靠运行。动力学模型的建立、优化目标以及约束限制影响着编队航天器变轨的精度。因此根据不同的力学环境和编队任务选取正确的动力学模型，搭建合适的优化指标，建立合理的约束函数形式，是为后续正确快速地求解该问题奠定基础。2轨迹优化问题的求解方法上一节介绍了编队重构轨迹优化问题的一般描述。本节将综述解决该问题的方法，以及在连续域或离散空间中求解此类问题的思路和优缺点，并分析其中存在的一些问题。此外，我们还将介绍智能算法的应用以及脉冲控制的解析优化方法，并探讨深空探测编队飞行的轨迹优化问题。最后，我们将总结和介绍常用的优化软件求解器，以帮助解决这类问题。2.1变分原理的连续最优控制问题变分原理求解轨迹优化问题通常需要推导出一阶必要条件，把最优控制变量表示为状态量和协态变量的函数，将问题转换成两点边值问题求解。极值轨迹的一阶必要条件通常使用扩充哈密顿量H导出，因此，编队重构轨迹优化问题表达为：H=p=1Nup1+f(x，u，t)（26）331宇航学报第 45 卷式中：是约束项的拉格朗日乘子，f(x，u，t)是系统约束，N是航天器个数。局部极值的一阶必要条件为：Hu=0（27）由变分法得到用于定义轨迹的优化函数，再通过打靶法进行轨迹参数的迭代调整，以寻找最优轨迹的近似解。打靶法主要基于牛顿迭代法，一般用来求解微分方程的两点边值问题。Rogers等28推导相对运动的非线性方程，将能量最优问题转换为两点边值问题，利用MATLAB的函数pvb4c打靶求解，其最小能量转移问题与最大值原理中的非线性边值问题的解几乎相同。同伦法采用拓扑学原理生成非线性系统的收敛级数解，它能灵活地转换解的表达形式，同时在同伦映射算子上提供极大的自由度。因此引入同伦法可以解决打靶法求两点边值问题中对初始预测过于敏感和控制不连续的问题。Li等47验证了该方法的有效性，Thevenet等16发现该方法适用于求解包括连续推力和脉冲机动的最优控制问题，但其指出对于间接法来说，航天器间碰撞约束仍然是一个难以解决的问题。2.2离散空间最优控制问题受限于编队飞行个体航天器相互间耦合影响的控制问题，连续时间的最优控制可能会导致难以收敛，因此采用离散空间的求解方法可以更快得到近似解。离散空间的求解方法与连续最优控制求解方法不同，它通过将无限维优化问题参数化，将其转换为有限维优化问题从而找到最优解。该方法首先将最优控制问题转换为非线性规划问题，并用线性规划理论求解最优值48。其中参数化的方法分为3类49：1）只离散控制变量，包括直接打靶法和多重打靶法；2）离散控制与状态变量，包括配点法和伪谱法；3）只离散状态变量，包括动态逆方法和微分包含法等。本小节重点介绍伪谱法的应用、线性规划中的混合整数线性规划，凸规划以及为求解该类问题提出或改进的智能算法。2.2.1伪谱法伪谱法又称为正交配置法，其原理是将原规划问题离散到指定节点上，利用全局正交多项式逼近状态变量和控制变量50。根据所选择的配点位置以及插值基函数的不同，伪谱法又分为Legendre伪谱法（LPM）、Radau 伪谱法（RPM）、Gauss 伪谱法（GPM）、Chebyshev伪谱法（CPM）等。基于Legendre伪谱法，Wu等12，19设计了航天器编队机动最优控制的开环解，并在后续研究中继续改进优化，相比于其他数值方法，Legendre伪谱法在求解光滑最优控制问题时具有更高的精度和更快的收敛速度。通过Radau伪谱法，Li51发现对于编队重构问题，一般存在多个燃料最低的脉冲解，而小推力解是唯一的。黄宇嵩等52考虑翻滚下的非合作航天器抵近绕飞，采用Gauss伪谱法规划轨迹，并设计姿轨控制器跟踪控制。尽管使用伪谱法求解该类问题被证明是有效的51-54，但保持其收敛性问题仍有待研究。为进一步优化求解或提高计算效率，部分学者通过结合伪谱法和其他算法来解决该类问题。岳晓奎等55以伪谱法优化一条初始轨道，再用同伦法优化获得较为平滑的转移轨道和控制曲线。尽管该方法可以满足平滑需求，但其计算量变大。Zhang等56结合Legendre伪谱法和高斯粒子群算法（Gaussian particle swarm optimization，GPSO）算法，在远距离时以不考虑碰撞约束的Legendre伪谱法优化，近距离用 GPSO 算法考虑碰撞约束进行优化。这种方法不需要考虑整个过程的碰撞约束，因此在计算时间上具有一定优势，但同时分段的优化导致结果不是全局最优。由于伪谱法可以以较短时间有效处理大规模优化问题，如今被广泛应用于最优控制领域。2.2.2混合整数线性规划混合整数线性规划（MILP）问题是没有二次特征模型的整数线性规划。与线性规划相比，其决策变量同时包含了连续实数和整数变量，在问题中引入整数变量一般是为了对非线性项进行线性化，提高求解效率。Mauro 等57-58在大量的算法验证中发现 MILP的求解速度因碰撞约束的加入变得非常慢，并且计算时间随着航天器数量的增加指数上升。为了克服这个问题，许多学者就如何增加计算效率展开研究。Richards等42将带有避碰和羽流约束的轨迹优化问题线性化为 MILP问题，并提出了线性化的方法和消除冗余约束的方法，一定程度提高了运算效率。黄海滨等20提出了一种直接配置混合整数线性规划（Direct collocation MILP，DCMILP）方法，将332第 3 期陈丹鹤等：航天器编队飞行相对运动轨迹优化方法综述直接配置法应用于编队重构的混合整数线性规划，该方法在面对大量航天器或配点较多的情况下，计算时间明显减少，但无法保证收敛到最优解。为了加快计算，Cetin等59提出可行性混合整数线性规划（Feasibility MILP，FMILP），其运算速度比一般的MILP快约30倍。2.2.3凸优化在最优化问题中，如果一个问题可以简化为凸函数，那么就可以快速获得其最优解，且凸优化的局部最优解就是全局最优解，Rockafellar60指出使优化问题变得复杂的是系统的非凸性，而不是非线性，其中对于编队重构轨迹优化问题的凸化难点在于复杂的约束。Scala等61-62，Zhou等63将编队飞行轨迹优化问题转换为凸函数的表达形式，并通过CVX软件包求解。刘幸川等64基于ROE模型建立了考虑推力缺失和安全距离等工程约束的凸优化模型。Scala等比较了CVX软件包中的SDPT3和SeDuMi等算法的求解效果和仿真时间，相较于SDPT3，SeDuMi计算速度较快但是结果不可靠。虽然求解凸化问题具有较好的实时性和精度，但编队航天器轨迹优化问题大多为非凸、非线性的问题，如何将其凸化是问题的难点。为了使编队航天器完成自主构型分配和轨迹规划，Sarno等27，65结合凸优化和遗传算法，设计了一种星载自主规划和控制的方法，其中遗传算法求解构型分配问题（Task assignment，TA），而凸优化用来求解轨迹规划问题。Sarno等还提出了2种智能管理的方法，包括集中式和分布式，前者由编队主航天器用来分配构型和计算每个航天器轨迹，后者由每个航天器单独处理各自轨道转移。仿真结果证明集中式方法更节省燃料，而分布式方法计算速度更快。2.2.4智能算法和机器学习随着智能算法和机器学习在解决优化问题中的不断创新和应用，一些学者提出了新的智能算法以快速且稳定地求解编队重构轨迹优化问题。Li等66将航天器相对动力学模型嵌入到训练环境中，提出了一种基于深度强化学习的航天器编队重构轨迹规划方法，约束中考虑安全距离，该方法计算速度较快，能满足实时轨迹构建的要求。张润德等67用 凸 优 化 结 果 作 为 训 练 数 据 DNN（Deep neural networks）求解转移轨迹的最优燃料消耗，并通过鲁棒自适应拍卖算法解决出现故障卫星失联情况的任务分配。智能算法相较于牛顿法等可以避免梯度信息计算的复杂性，但对计算机资源的消耗比较大。Zhang等68，华冰等69均基于鸽群算法进行了改进（GPIO，CGAPIO），其仿真结果与PSO和PIO等结果相比更具有鲁棒性和有效性。Spiller等70以摄动力为控制变量，并用逆动力学粒子群优化算法求解航天器编队重构时间最优问题。Sun等71设计了一种基于闭环脑风暴优化算法（Closed-loop brain storm optimization，CLBSO），用以求解双脉冲控制下的多航天器重构优化问题。DAmbrosio 等72开发了一种改进磁荷系统搜索算法（Improved of the magnetic charged system search，IMCSS），其计算结果与解析计算出的理想最优机动结果非常接近，且经过蒙特卡洛模拟证明该算法在求解此类问题时具有可靠性和有效性。黄成等73提出一种混合蝙蝠算法结合三次样条插值的方法稳定计算出交会与接近的燃料最小路径。2.3其他优化方法一些学者给出了编队轨迹优化问题的不同求解形式。