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第五章习题第一部分01-15

1. M为线性空间X的子集，证明span( M )是包含M的最小线性子空间．
[证明]　显然span( M )是X的线性子空间．设N是X的线性子空间，且M Í N．
则由span( M )的定义，可直接验证span( M ) Í N．
所以span( M )是包含M的最小线性子空间．

2. 设B为线性空间X的子集，证明
conv(B) = {| a i ³ 0, = 1, x iÎB, n为自然数}．
[证明]　设A = {| a i ³ 0, = 1, x iÎB, n为自然数}．首先容易看出A为包含B的凸集，设F也是包含B的凸集，则显然有A Í F，故A为包含B的最小凸集．

3. 证明[a, b]上的多项式全体P[a, b]是无限维线性空间，而E = {1, t, t 2, ..., t n , ...}是它的一个基底．
[证明]　首先可以直接证明P[a, b]按通常的函数加法和数乘构成线性空间，
而P[a, b]中的任一个元素皆可由E中有限个元素的线性组合表示．
设c0, c1, c2, ..., cm是m + 1个实数，其中cm ¹ 0，m ³ 1．
若= 0，由代数学基本定理知c0 = c1 = c2 = ... = cm = 0，
所以中任意有限个元素线性无关，
故P[a, b]是无限维线性空间，而E是它的一个基底。

4. 在R2中对任意的x = (x1, x2)Î R2，定义|| x ||1 = | x1 | + | x2 |，|| x ||2 = (x12 + x22)1/2，|| x ||¥ = max{ | x1 |, | x2 | }．证明它们都是R2中的范数，并画出各自单位球的图形．
[证明]　证明是直接的，只要逐条验证范数定义中的条件即可．单位球图形略．

5. 设X为线性赋范空间，L为它的线性子空间。证明cl(L)也是X的线性子空间．
[证明]　"x, yÎcl(L)，"aÎK，存在L中的序列{ xn }, { yn }使得xn ® x，yn ® y．
从而x + y = lim xn + lim yn = lim (xn + yn)Îcl(L)，a x = a lim xn = lim (a xn ) Îcl(L)．
所以cl(L)是X的线性子空间．
[注]　这里cl(L)表示子集L的闭包．

6. 设X为完备的线性赋范空间，M为它的闭线性子空间，x0Ï M．证明：
L = { a x0 + y | yÎM, aÎK}也是X的闭线性子空间．
[证明]　若a, bÎK，y, zÎ M使得a x0 + y = b x0 + z，
则(a - b) x0 = z - y Î M，得到a = b，y = z；即L中元素的表示是唯一的．
若L中的序列{ an x0 + yn }收敛于X中某点z，则序列{ an x0 + yn }为有界序列．
由于M闭，x0Ï M，故存在$r > 0，使得|| x0 - y || ³ r，"y Î M．则当an ¹ 0时有
| an | = | an | · r · (1/r) £ | an | · || x0 + yn/an || · (1/ r) = || an x0 + yn || · (1/r)，
所以数列{ an }有界，故存在{ an }的子列{ an(k) }使得an(k) ® a ÎK．
这时yn(k) = (an x0 + yn) - an x0 ® z - a x0 Î M．所以z ÎL，所以L闭．
[注]　在此题的证明过程中，并未用到“X为完备的”这一条件．

7. 证明：a. 在R2中，|| ◦ ||1，|| ◦ ||2与|| ◦ ||¥都是等价范数；b. || ◦ ||1与|| ◦ ||2是等价范数的充要条件是：X中任意序列在两个范数下有相同的收敛性．
[证明]　a. 显然|| x ||¥ £ || x ||2 £ || x ||1 £ 2|| x ||¥，所以|| ◦ ||1，|| ◦ ||2与|| ◦ ||¥都是等价范数．b. 必要性是显然的，下面证明充分性．首先inf {|| x ||2 | || x ||1 = 1} ³ 0．
若inf {|| x ||2 | || x ||1 = 1} = 0，则存在X中序列{ xn }，使得|| xn ||1 = 1，|| xn ||2 ® 0．
而任意序列在两个范数下有相同的收敛性，从而|| xn ||1 ® 0．
这矛盾说明inf {|| x ||2 | || x ||1 = 1} = a > 0．
对"xÎX，当x ¹ 0时，|| (x/|| x ||1) ||1 = 1，所以|| (x/|| x ||1) ||2 ³ a．
故"xÎX有a || x ||1 £ || x ||2．
类似地可以证明存在b > 0使得b || x ||2 £ || x ||1，"xÎX．所以两个范数等价．

8. 证明：Banach空间m不是可分的．[证明见教科书p187, 例3.5]

9. 证明：是可分的Banach空间．[证明见第4章习题16]

10. 设X, Y为线性赋范空间，TÎB(X, Y)．证明T的零空间N(T) = { xÎX | Tx = 0 }是的闭线性子空间．
[证明]　显然N(T) = { xÎX | Tx = 0 }是X的线性子空间．对"xÎN(T)c，Tx ¹ 0，由于T是连续的，存在x的邻域U使得"uÎU有Tu ¹ 0，从而U Í N(T)c．故N(T)c是开集，N(T)是X的闭子空间．

11. 设无穷矩阵( a i j )，( i, j = 1, 2, ...)满足，定义算子T : m ® m如下：y = Tx，，其中x = (x i ), y = (h i )Î m．证明：T是有界线性算子，并且。
[证明]　因，及T是线性的，所以T为有界线性算子， 。对任意的实数，存在自然数使得。取，使得其第个坐标，则，且。所以，故有，从而。

12. 设满足对有。证明是有界线性算子，。
[证明]　显然是线性算子。因为，，所以，，可见是有界线性算子，且。令（仅第个坐标不为零），则，，，。所以。

13. 证明上的泛函是有界线性泛函，且。
[证明]　显然是线性泛函。对有
，
所以是有界线性泛函，且。进一步，取使得，则。得到。

14. 取定，在上定义泛函如下：。证明是有界线性泛函，。
[证明]显然是线性泛函，由，知有界。取使，则，得。

15. 证明：。
[证明]　任取，显然是上有界线性泛函，且。又取使其第个坐标为其余皆为，则，。从而，进而．
另一方面，设为上有界线性泛函，令，则，，从而。对，我们令，
则．
注意到在中，以及为上有界线性泛函，
故，并且满足这样条件的是唯一的．
16. 证明：n维线性赋范空间的共轭空间仍是一个n维线性赋范空间。
[证明]　设X是n维线性赋范空间，{ x1, x1, ..., xn }是它的一个基．
令f i : X ® X表示，"i = 1, 2, ...．
则，注意到也是X上的范数，以及有限维线性空间上的范数都是等价的，故存在M > 0使得，所以，所以f i Î X*．下面证明{ f1, f1, ..., fn }是X*的一组基。事实上，"f Î X*，
，
所以。故X*为有限维空间，且维数不超过n．若，则，所以{ f1, f1, ..., fn }线性无关，故X*维数为n。

17. 证明：无穷维线性赋范空间的共轭空间仍是无穷维线性赋范空间。
[证明]　设X是无穷维线性赋范空间，由于典范映射J : X ® X**是保范的线性同构，故X**必定是无穷维空间．由前面的习题16知道X*必然也是无穷维的．

18. 设X是赋范空间，M为X的子集，xÎX。证明：xÎ cl( span(M) )的充分必要条件为"f Î X*，若f (M) = 0则f (x) = 0．
[证明]　设xÎ cl(span(M))，则对"f Î X*，若f (M) = 0，由于f是线性的和连续的，自然有f (cl(span(M))) = 0，从而f (x) = 0．
反过来，设xÎcl(span(M))，则d(x, cl(span(M))) > 0．由Hann-Banach定理，存在f Î X*，使f (cl(span(M))) = 0，且f (x) = d(x, cl(span(M))) > 0，得到矛盾．

19. 验证极化恒等式。
[证明]　我们只对实内积空间来验证，对于复内积空间，方法是类似的．
|| x + y ||2 - || x - y ||2 = < x + y, x + y > - < x - y, x - y >
= (< x, x > + < x, y > + < y, x > + < y, y> ) - ( < x, x > - < x, y > - < y, x > + < y, y >)
= 4< x, y >．

20. 证明由内积导出的范数|| x || = < x, x >1/2满足范数定义的三个条件。
[证明]　前两个条件是显然的，我们只证明三角不等式．事实上，
|| x + y ||2 = < x + y, x + y > = || x ||2 + < x, y > + + || y ||2
= || x ||2 + 2 Re(< x, y >) + || y ||2 £ || x ||2 + 2 | < x, y > | + || y ||2
£ || x ||2 + 2 || x || · || y || + || y ||2 = (|| x || + || y ||)2．所以三角不等式成立．

21. 证明内积空间中的勾股定理。
[证明]　设x = x1 + x2，且x1 ^ x2．则< x1, x2> = < x2, x1> = 0，所以
|| x ||2 = || x1 + x2 ||2 = < x1 + x2, x1 + x2> = < x1, x1 > + < x1, x2 > + < x2, x1 > + < x2, x2>
= < x1, x > + < x2, x2> = || x1 ||2 + || x2 ||2．

22. 设X是内积空间，，。证明：。
[证明]　对，因，得，故，所以。

23. 设X是内积空间，，。证明：。
[证明]　对，由，及，知，故。所以。

24. 设H为Hilbert空间，M是H的线性子空间。证明：，。
[证明]　对，显然有，从而，故。若，由投影定理，设，其中，，且。此时，故有，所以，故。
由23题结果，，而对，，故，所以,因此，故有。

25. 设X为内积空间，M是X的线性子空间，满足：对任何，它在M上的正交投影都存在。证明：M是X的闭线性子空间。
[证明]　对，由于存在它在上的正交投影，故可设，其中，。由26题知，而，故，所以，因此，即为的闭子空间。

26. 设X为内积空间，M是X的稠密子集，{ e n }是X的标准正交系。证明：{ e n }完备的充要条件是在子集M上，Parseval等式成立．
[证明]　由{ e n }完备性定义知必要性是显然的，下面证明充分性。对"xÎX，由M在X中稠密，对任意的，存在，使得，。而对于，Parseval等式成立，即，存在自然数使得。下面估计：

　　 （三角不等式）
　　（用放大）
　　，
由的任意性，及Bessel不等式有。即"xÎX，Parseval等式成立，所以{ e n }是完备的标准正交系。

27. 设X为内积空间，{ e n }是X的标准正交系。证明："x, yÎX，都有
。
[证明]　 由Cauchy-Schwarz不等式，及Bessel不等式，有
。

28. 设H为Hilbert空间，{ e n }是H的标准正交系。证明：{ e n }是完全的的充要条件是：对于"x, yÎH，都有。
[证明]　若{ e n }是完全的，则它是完备的．于是"x, yÎH总有，，计算x, y的内积得：

　　　　。
反过来，若"x, yÎH都有，令y = x，则有Parseval等式成立，从而{ e n }是完备的，所以在Hilbert空间H中{ e n }是完全的。

29. 设H为Hilbert空间，{ e n }，是H的两个标准正交系，其中{ e n }是完备的，并且它们满足条件，并且。证明：也完备的。
[证明]　对"xÎH，若，由于{ e n }是完备的，所以
如果x ¹ 0，则上式将导出矛盾：|| x || < || x ||，故必有x = 0．所以是完全的，因而也是完备的。

30. 设H为Hilbert空间，M是H的线性子空间，f是M上的有界线性泛函．证明：存在f在H上的唯一的延拓F，使得|| F ||H = || f ||M．
[证明]　首先，存在f在L = cl(M)上的唯一的延拓g，使得g为L上的有界线性泛函，并且|| g || = || f ||．若L = H则结论显然成立．
若L ¹ H，在L上用Rieze表示定理，$u ÎL，使得g(x) = <x, u>，对"xÎ L．
在H上定义F(x) = <x, u>，"xÎ H．则F为H上有界线性泛函，且
|| F ||H = || u || = || g ||L = || f ||M，而且F是g的延拓，因而F也是f的延拓．
若G也是f的满足条件的延拓，用Rieze表示定理，
存在$v ÎH，使得G(x) = <x, v>，"xÎ H．
因f在L上的的延拓唯一，故G|L作为L上的有界线性泛函就是g，
故"xÎ L，<x, v> = G(x) = g(x) = <x, u>，所以<x, v - u> = 0，即v - u ^ L．
因u Î L．由勾股定理，|| v ||2 = ||(v - u) + u ||2 = || v - u ||2 + || u ||2．
而|| u || = || F ||H = || f ||M　= || G ||H = || v ||，故|| v - u ||2 = 0，即v = u．
从而G = F，即f在H上的满足条件的延拓是唯一的．