实变函数与泛函分析习题解答.pdf

实变函数与泛函分析解答第1.11.讨(1)仅打“Ai U A2=(A n C)U(A n Z?)=A n(C U Z?)=A n(A U B)=A.(2)由 r 4nc=0,AU6=CUOl J AcD C C B.I r P c A K B c C.i也2.正必公要性，由陋出惟.bc=(P n A)u p u A)c=(P n A)u(n n Ac)=p n(A u Ac)=d.充分Ife tr BC=D,H(D n A)c n(u a)=(dc u Ac)n(dc a)=dc=b.3.取石=AAB明W.4.LL明力由4小升以ooxe An,Wit xe AnnBnc|J(An n Bn).n=l且/G Bn.工前ii m n,MfOO(X)oo另方疝 ri x e U(An nBn),n e N使-x e A九n右加从jii x e|J Anixe|J Bn,n=l n1 n=ln x5.i*IT般E*Bn St不相交.jWtfir m,neN,和Ht m 1#.(n1 c/n 1U 4)=4 九 C(Pl 段i1/ilx e Bn,HI x Am,KiV/串 Bm.M-iriif.e Bm,则若力 e Am,从ntf x 串 Bn.因比8九立不柯先R心由敦厚白触用对住It自财壮n,U=U Bn.i=l i=lOO OO OO6.A=Pl U U Amk，ml n1 kn127.记An=xfn(x)a A=x lim fnx)a I I 7200oofn。时.由单阑性.lim%(/)。.寸41cAjq比U U 4反之，PxeA,Bn0 N,AOQ n=iOO旧，/no()X e Ano,右 A u U A%n=l8.WM Vg G 3/(/)q/!a.所以.44：n e N 他再/(g)a+,ifc1 1y e xfx)a+c|J x e/(x)a+.nlor(X)/|/o)a c X e/(x)a+.nn=l乂 Vg e 1X112 A#:/)2。+：,#左八 G N,使y e 3/0)a+1,n“/(g)2 a+：Q.所做 y e x|/(x)a.放U 卜 1/0)z Q+：u 3/3 a.n-l I)KM sU t 1/3 z q+：=3/3。-n=l I)2 1Vge 矶/0)研，L f(y)a.乐比 Vn eN h f(y)a 1frge 7 1/(乃。一：OO对怖行白K较为火工所以?/e Pl 巾a ；.U.：n=l邛 0)ac1n(X)乂在 g e n xf(x)a ：,ul Vn e N,if y e xf(x)a：,即 f(y)a；布F4W ft?2=1ttftvL 所以 f(y)a,W ye xfx a.听以行:=3/3 a.a.9.lim An=lim An=1,1.310.11-nJ E C lim En,以，匕 lim En C E.Mjiii/j lim En=E.noo nioo 九一 oo12.H tur.H(0,1 C lim 4如以&lim An C(0,1由可对于任盒/G(0,1,存在n G 凡当72 00 72-00k n,ak n由窿合利上幡康的豆4Lx e lim An Vn e N,Bk n,使幅 x e Ak?2 一 8Vn e N,Bk n,使耳 0 x 6.由 r bk 3 阴m 用也鼓 I 1,ak 单UHiCM 收段 I 0,MH OX n0 时,x e An.即当 n n0 时.有 noobu 3=i所以lim XL(x)=1=%iim An(x);Tl-OO n oo存力至lim An,kJ Vn e N,花生nz N法hb nn,包化午An,即x%=0.以72Toelim X4 0)2)Vx,存力 G lim An,w Vn e N,在:但 n0 e N,ooTr x lim An,口愤V n0 e N,使得、n n0 叶片氐 x 牛 An,/%An=0.I.九一 OO必 XL 3=Xlim 人.,b 77,oo1.21.(1)rl(Y E)=尸(y n EC)=n f-Ec)=L(y)n(尸(石)尸=尸 厂(.视工成定Ifcx=0,24 A=0,vr/2,/=sine.r*/(X)/(4)=-1,0),XA)：fl).2.证明(1)由 A=(A B)U(A n B),8=(8 4)U(4 G 8)以及(8 4)n(4 G 8)=0 f 哂论祖上(2)B n C=0,WB U C=(B A)U(A U C)-(B A)U A=B.心6(。#0,即6。1=。5掰5 0。1=0.由4仁40。1(：40。知.A-A U Ci,进而.因nf b-b u Ci=b u c,Mr论戊匕3.证WL由博收电律.(oo 00 c 00/00 c 00/00 a=u(=u(ni=n-nl kn/n1 kn/n=l kn/44.6.lim An=A A B,lim An=AJ B.TITOO 72-007.li-b I 及性J/E c B,y e石.凶才/甘匕*田存作x e A,Ifrri/(劣)=%即力GL.It#沙=/(尸(力(石).所以EQf(/-1().X.Vy f(尸(石),WflFft yG E,啦修 y=f(1(/).因一尸(/)=丸所以 g=/G E.故/(八(石)UE反而4E=于(厂1(石).(归班)任世去叭y e B.m E=y,Kf由条件ter于(于一、句)=y,今岔=f-y e A,则 f=y.所以/为i酎8.y.由 x)=y,Hin/(AnB)c/(A)n/(B)ftijtMh.di/ft./(A)n/(B)c“an8).克金r.只苏联uJV/丛-钠,用反正法9.4 理(q|qg Q.V(q G 4酒应手(b)e Q2,n|闾|Q2|=席=N；4UMT Q c A,&No|川.10.引用第9瓯 午仔色外K间中批)以“现我*a的KWHJpf11.记A方4数辄.An力/微的物力n的全比|An=A x A x.x A,1Ali=用=丸.J-sz-J(X)_又设右=u 4九%4的M般/加全体.f如白旧|=n0=No.n=l n=012.B=2%*实上对f V/,定义图笊 Gf=(x,/(x)|x G X.W G/U X 义 X.故 B 21XxX|=2a.可证讨任让子第A c X,法在作无术曲力的-满映处g：a-4*也匕 A U A C(7,0),(0,7)|力 e A Ax A 中子虬所以|A|A U A|=id,力力=g,0/G 5L X，1/k2X回石的一央纣所似B 2a.13.s Vr 0,Sr=(c,g)e R2|，/+?/2=r c Q x Q,M|(0,oo)|Q x Q|=M JHt.14.谀C*千而中伟It-个即 AeC,fcw-nq C+V卷“吨数个上号A的Q灯为“理般*大Eki 4为中心.口，理也当科作IT不多大。痴个比 面议”油回斗，正救个.介石中股定在A,idM=reQ|3Be?,MF d(A,B)=r,5(X)H Md叩收缸 人妙吐傕.以A方W心.rn方秩傕R Cn,M E c U XU4,*E=n=l oo4 U U(n n E),Ri,a1n 石钊;也 没 E=M n-l15.于肽 Q 星龙JU合.和用何JOWIM A c RQ.股=便 (Q U/)U Q U 4,而 股 Q=便(Q U A)U A.Q U A岫可溯lik从而与A IMB一#.结论应忆16.ffl星tt It V力，E n(E+力)#0,不是N e E n(石+力)，记2=g 力e E.法以蚓石 x E JR,(y,z)i y zmMf.于是|M|ExE=M 鼻孵17.i.令心 我求打iHraimiE式全阻Pn=anxn H-F ax+a()|&G Q=0,1,几 PnQn+1.由Q小仔以 Pn*4外也 Wfe利城个0(力)e吗的根的个数,淘过几个.此An=x eBp e FmpO)=0,H An为可Vlt个械Q%作的格11过，“理软羯色 因此为M列你 今A友京全比代8r航的假M*A=UnAn.由叩到作pf外他作的诈力Ha辄包A方可则魁 W|川=En=I.由F尤数集合肽讷 带为C,包包木创林较的区合有肽 4所以全体制世壮影会的梆为C.18.正叫校G斡承及卡 切并区间的全他,时好一个井区间(。，国Flfl岫(a,b)勺之时应.”G L：电：/用千里xy 对应 国化G=c.匕耳垂一期MMMf以瓶。方/,明1夕个 IWgM件,即如雌岫.20.7取 aeX,/：妨瑕。#“0),今-)J(/(q)L(q),H f(E)C E.界 E=X,HHUt E=Xa.21.如第 12 宣那峰作价-4=Ai U 42,4 41 A2,H Ai n A2=0.22.实MI;要注:。=2也=3也=.,及对9。=(2No)No=20=c.0,1中好个粒用十进小蚊 0.的。2 次时有一林,唱多可抑 所以c 100 2c=c.c=2r=3N。=.F!|川=|石a=加=C.(X)23.用反死决.涉林 VeN,|4九|c.Z-Vn,|An|g 即|An|E=UAe2x|f(A)C A.A/X.(1)Vlhtfff/(E)=U/()M e 尸.第实匕当 Ae:.r Ae E,i/(A)c f,因 化&U/(4)I A e 下 u E)；应之.Vg e/(E),id.X e E,/=y,xeA,K(y /(A),故 WWOM.由丁/(A)u 4今石)c石，所以ERF中的口大元.(3)*E)=区x菱乐 Vc e XE,*Ex=力,/(琢/(/(7)一)6H&G 耳 11 E u&G 耳 UM E EUE曲片 E HR 1所25.V/eCO,l,fraf=/(r)|r e 0,1 n Q e 肽Q”。口.由于/T叼a-制.所以|C0,l|2c.乂幅4f的图像和见R2的一个子射 故幽 2眼=2c.1.31.有 A,B,c(AUB)；HrU Af U Bf c(A U.v 善 e(A U 5)，必存化 A U 5 中立洋自外功,xn x,“心左亘异于列xnj或/utKT B,以力*1以札F是亚力G H或 力 e 5.世(AU8)c Hu5.另一力而.注目 AuB=AUB,x e Af x e Ax,rMf x e Az u Bf.2.4H匕-=矛,0/n(为=/n不=。,国此小c ac,故ac却fl如 a力jfa心雌&A Jfrfffc,由A n B=A n(B u Bz)=(A n B)u(A n H),SfkXr xeAnB,MxeAnBcAnB,x e AnBf.x e An Bf 由于/A：开 ft.o0 使傅 8(/o)C A.i xeB於味力存在，外 cB-x，lim xn=x.则、n 充分 noo大时；力九e A n 6,故x e(An By c An B.M 此行 An B a An B.3.计能证明 A/&xe(Ay,Kf 存4端旌 1 c A/*E|xn 训 由 F*e H,t-&ByneA xn-yn 2,由WG，：弩大，1|力一Z/n|S|力xn|+n Un|几，因此有 x e H,Wnf(A)c H,故 4 flftf 例冈/=(Au Ay=A u(A)/=A u aA A L!：t W 3”小 IJ Pl=L 0coec,一八，T=tuUI _/、（XP/dns x Q=I OQL U V dns uiij x Q=ocU（dns ran x=/uir x羽忸、l=UiUl-x（）v A u n=xp）g oc#z【l=UA IB曲莅耳鼻中才MM*升U=DfOC/【09 spl/I 3 町=出G CD 羽注林【ft u 比 oc u/-s叫=（肛/OO14i-ft ux uiij,6 9 ux,0 （4）/（03-/）J=（03+。/）/，05 x-fi 30 过”/，0=。一/）/（?+/）/0 A=x lim sup 九()A n0knoo=Pl 3 lim sup 九 X n(x)m=loo=n 3 sup/fc(x)A-i kn 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