泛函分析读书笔记(上).doc

第一部分 线性代数

第一章 线性空间

第一节 线性空间

一、基本概念

1、 定义：数域P＝复数子集＋四则运算封闭

2、 定义：线性空间数域P上的线性空间V＝线性空间V
⑴、解释：非空集合
⑵、解释：【加法，加法保持封闭】
⑶、解释：【数乘，数乘保持封闭】
⑷、解释：线性运算【满足8条规则】

3、 8条规则
加法规则：⑴、交换律：
⑵、结合律：
⑶、零元素：，对于，都有
⑷、负元素：对于，，使得【记为：】

数乘规则：⑸、
⑹、

加法数乘规则：⑺、
⑻、

二、基本性质

1、 性质
⑴、性质：零元素唯一
⑵、证明：假设：，对于，都有
，对于，都有
对于，都有特别：
对于，都有特别：
【交换律】
⑶、性质：负元素唯一

2、 性质
⑴、性质：
⑵、证明：【规则5＋规则8】

【结合律】
【负元素的定义】

第二节 线性无关

一、基本概念

1、 概念：线性组合（线性表出）
如果：
则称：向量是向量组的一个线性组合
或称：向量可由向量组线性表出

2、 概念：线性相关
如果：存在不全为0的
使得：
则称：向量组线性相关

3、 概念：线性无关
如果：不存在不全为0的
使得：
则称：向量组线性无关
4、 关键：

二、基本性质

1、 性质
⑴、性质：向量组线性相关
其中某一向量可由其余向量线性表出
⑵、证明：必要性：
充分性：

2、 性质
⑴、性质：如果：向量组线性无关
并且：可由向量组线性表出
则有：
⑵、证明：

s个方程，r个未知数
如果，则方程存在非零解
向量组线性相关矛盾

3、 等价
⑴、概念：两个向量组等价【互相线性表出】
⑵、性质：两个等价的线性无关向量组，必定含有相同数目的向量
⑶、证明：假设：向量组线性无关
向量组线性无关

4、 性质
⑴、性质：如果：向量组线性无关
并且：向量组线性相关
那么：可由向量组线性表出，并且表法唯一
⑵、证明：向量组线性相关
存在不全为0的
使得：

假设：

表法唯一

第三节 维数、基和坐标

1、 定义：n维线性空间V：恰好存在n个线性无关的向量

2、 定义：n维线性空间V的一组基：n个线性无关的向量

3、定义：坐标：对于，向量组线性无关
向量组线性相关【否则维】
坐标

4、 定理
⑴、定理：如果：向量组线性无关
并且：线性空间V中的任意向量，均可由它们线性表出
那么：V的维数，并且是V的一组基
⑵、证明：假设：V的维数
线性无关，可由向量组线性表出
矛盾

第四节 极大线性无关组

1、 定义：极大线性无关组：一个向量组的一部分组称为极大线性无关组
如果：该部分组线性无关
并且：添加任一向量均线性相关

2、 性质
⑴、性质：极大线性无关组与向量组本身等价
⑵、证明：假设：向量组
极大线性无关组
可由线性表出
对于
线性相关【否则与极大线性无关组矛盾】
可由线性表出

3、 性质
⑴、性质：向量组的极大线性无关组，含有相同个数的向量
⑵、证明：向量组与极大线性无关组1等价
向量组与极大线性无关组2等价
极大线性无关组1与极大线性无关组2等价【等价的传递性】

第五节 线性子空间

1、 定义：是线性空间的一个子空间
＝W是数域P上的线性空间V的一个子空间
＝W是线性空间V的一个子空间
如果：
⑴、的非空子集
⑵、两种运算封闭：

2、
⑴、性质：如果：线性空间V
那么：所有可能的线性组合构成V的一个子空间
称为：由生成的子空间
记为：
⑵、证明：非空子集＋两种运算封闭

3、 性质
⑴、性质：
向量组与向量组等价

⑵、证明：
①：充分性：

②：必要性：
可由向量组线性表出

4、 性质
⑴、性质：如果：W是n维线性空间V的一个m维子空间
并且：是W的一组基
那么：可以扩充为线性空间V的一组基
⑵、证明：，使得线性无关
反证法：线性相关
可由线性表出
线性空间V的维数矛盾

第六节 子空间的交与和

1、 定义：

2、 性质
⑴、性质：如果：是线性空间V的两个子空间
那么：也是线性空间V的子空间
⑵、证明：非空子集【至少都包含零元素】

3、 性质
⑴、性质：如果：是线性空间V的两个子空间
那么：也是线性空间V的子空间
⑵、证明：

4、 维数公式
⑴、公式：维维维维
⑵、证明：假设：是的一组基
是的一组基
是的一组基
证明：是的一组基

①、线性无关：

②、，均可由线性表出

第七节 子空间的直和

1、 直和
⑴、定义：直和任何元素的分解式唯一
⑵、分析：唯一

2、 性质
⑴、性质：直和零元素的分解式唯一
⑵、证明：充分性：假设：

3、 性质
⑴、性质：直和
⑵、证明：充分性：

必要性：

4、 性质
⑴、引理：维
⑵、证明：必要性：向量0线性相关不存在线性相关的向量组
充分性：假设：线性空间至少包括一个非零向量
向量线性无关
可以扩充为线性空间V的一组基维矛盾

⑶、性质：直和维维维

第八节 线性空间的同构

1、 定义：同构
如果：线性空间
并且：存在的双射【双射＝一一映射＝满射＋单射】
并且：满足两条性质：①②
则称：V和W同构，同构映射

2、 基本性质
⑴、性质：数域P上的n维线性空间V与同构
⑵、证明：①、线性空间【两种运算封闭＋满足8条性质】

②、构造的双射【向量到坐标的双射】
假设：的一组基

③、满足两条性质

3、 性质群1
⑴、性质：
⑵、证明：的两条性质

⑶、性质：线性无关线性无关
⑷、证明：必要性：假设：

由于，并且双射

⑸、性质：线性相关线性相关
⑹、证明：反证法

⑺、性质：同构的线性空间同维
⑻、证明：假设：线性空间V和W同构，并且维，维
维存在n个线性无关的向量组
存在n个线性无关的向量组
维
同理：

4、 性质群2
⑴、性质：如果：是线性空间V的一个子空间
那么：是线性空间的子空间
⑵、证明：①、非空子集非空子集
②、两种运算封闭
假设：【双射】

【运算封闭】
【定义】【的两条性质】

⑶、性质：同构映射
⑷、证明：①、双射
②、的两条性质

【的两条性质】

第二章 欧几里得空间

第一节 实线性空间

1、 定义：实线性空间
⑴、两种运算：①、向量加法

②、向量数乘

⑵、两种运算封闭＋满足8条性质

第二节 欧几里得空间

一、基本概念

1、 定义：内积内积的4条性质
⑴、交换：
⑵、数乘：
⑶、分解：
⑷、正定：，

2、 欧几里得空间【欧氏空间】
⑴、定义：欧几里得空间内积
⑵、分析：未确定因素内积

⑶、典例：实线性空间内积
⑷、分析：①、；
②、向量加法＋向量数乘；
③、内积：
【满足内积的4条性质】

3、 基本概念
⑴、概念：向量长度
⑵、概念：单位向量

⑶、概念：向量距离
⑷、概念：夹角

二、柯西不等式

1、 基本公式
⑴、公式：
⑵、证明：①
②令

【开口向上＋单根或者无根】

③等号成立条件：
【单根】
线性相关

2、 推论
⑴、推论：
⑵、证明：

⑶、推论：
⑷、证明：令【代入上式】

第三节 标准正交基

1、 基本概念
⑴、定义：两个向量正交【如果，则称正交，记为】

⑵、性质：n维欧几里得空间V的内积
⑶、证明：假设：的一组基

2、 基本概念
⑴、定义：正交向量组＝两两正交的非零向量组
⑵、定义：正交基＝正交向量组＋基
⑶、定义：标准正交基＝正交基＋单位向量

3、 基本性质
⑴、性质：正交向量组线性无关
⑵、证明：假设：正交向量组

4、 定理
⑴、定理：任何一个正交向量组，可以扩充为一组正交基
⑵、证明：①假设：线性空间V的正交向量组
，使得线性无关
否则：线性相关
可由线性表出
维V矛盾
②

5、 定理
⑴、定理：如果：的一组基
那么：可以找到一组标准正交基
并且：
⑵、证明：①
②假设：已经找到一组单位正交向量
使得：

③
可由线性表出
可由线性表出
与等价

第四节 正交补

1、 基本概念
⑴、定义：：如果，都有
则称正交，记为

⑵、定义：：如果，都有
则称正交，记为

⑶、定义：正交补：假设：线性空间V的两个子空间
如果：
则称：的正交补，记为：

2、 性质
⑴、性质：如果：两两正交
那么：直和
⑵、证明：假设：

3、 性质
⑴、性质：任何子空间的正交补，存在并且唯一
⑵、证明：假设：线性空间V的一个子空间，
①、
②、的一组正交基
可以扩充为V的一组正交基

【证明集合相等】【根据定义证明正交】
③、假设：，并且
，并且

同理可证：

第三章 线性变换

一、线性变换的定义

1、 定义：线性变换
假设：线性空间的一个变换
如果：满足两个条件
⑴、
⑵、
则称：线性变换

2、 等价条件
⑴、性质：的两个条件等价于

⑵、证明：①必要性：
②充分性：

二、线性变换的运算

1、 线性变换的乘积
⑴、定义：
⑵、性质：线性变换的乘积，仍是线性变换
⑶、证明：①

②

2、 线性变换的加法
⑴、定义：
⑵、性质：线性变换的加法，仍是线性变换
⑶、证明：同上类似

三、线性变换的矩阵

1、 定理：
⑴、定理：如果：数域P上的n维线性空间
的一组基
任意一组向量
那么：存在唯一的一个线性变换
使得：
⑵、证明：存在性和唯一性

2、 唯一性
⑴、性质：如果：
那么：
⑵、证明：

3、 存在性
⑴、性质：如果：数域P上的n维线性空间
的一组基
任意一组向量
那么：存在一个线性变换
使得：

⑵、证明：
①变换：

②线性变换：假设：

③证明：

4、 定义：如果：数域P上的n维线性空间
的一组基
的一个线性变换
那么：

则称：线性变换T在下的矩阵

⑵、性质：如果：取定一组基
并且：线性变换矩阵的一个映射
那么：双射
⑶、证明：①单射：假设：
【唯一性】
②满射：【存在性】

5、 定理
⑴、线性变换的加法，对应于矩阵的加法
⑵、线性变换的乘积，对应于矩阵的乘积
⑶、线性变换的数乘，对应于矩阵的数乘
⑷、线性变换的逆，对应于矩阵的逆

第二部分 泛函分析

第一章 度量空间

第一节 度量空间

一、度量空间

1、 符号约定：

2、 定义：距离的两条性质
⑴、正定：
⑵、三角不等式：

3、 定义：度量空间【距离空间】
⑴、解释：非空集合
⑵、解释：距离【满足的两条性质】

4、 对称性
⑴、性质：
⑵、证明：

同理可证：

二、基本概念

1、 子空间
⑴、性质：度量空间的任何子空间，仍是度量空间
⑵、证明：假设：度量空间， 度量空间的子空间
证明：非空子集，的两条性质仍然满足

2、 一致离散：如果：
使得：；都有：
则称：一致离散的度量空间

3、 等距映射和等距同构
⑴、定义：等距映射：假设：度量空间；的映射
如果：
则称：的等距映射
⑵、性质：的等距映射的单射
⑶、证明：

⑷、定义：等距同构：假设：的等距映射
如果：
则称：等距同构【双射】
⑸、性质：的满射

三、极限

1、 极限
⑴、定义：假设：度量空间，
如果：
则称：点列按距离收敛于
记为：【】
并称：收敛点列，的极限
⑵、归纳：

2、 性质
⑴、性质：收敛点列的极限唯一
⑵、证明：假设：

【三角不等式】
【夹逼原则】

3、 性质
⑴、性质：如果：
那么：【的连续函数】
⑵、证明：

4、 定义：开球
其中：度量空间，，【有限正数】

5、 定义：有界集：假设：度量空间，中的点集
如果：包含在某个开球中
则称：中的有界集

6、 性质
⑴、性质：如果收敛点列，那么有界集
⑵、证明：收敛点列
，使得当时，都有

包含在开球中

四、常见的度量空间

1、 欧氏空间，其中：【内积】

2、 函数空间区间上的连续函数的全体
其中：

第二节 范数

一、范数

1、 定义：R上的实值函数的4个条件【范数的4个条件】
⑴、正定1：
⑵、齐次性：
⑶、三角不等式：
⑷、正定2：

2、 定义：范数：假设：实数域F上的线性空间
如果：R上的实值函数满足范数的4个条件
则称：的范数
记为：的范数【】
并称：赋范线性空间【赋范空间】

3、 性质
⑴、定义：半范数：如果满足范数的前3个条件
⑵、性质：范数的第4个条件可以简化为：
⑶、证明：

4、 典例：函数空间
⑴、性质：如果：
那么：赋范线性空间
⑵、证明：①线性空间
定义：向量加法，向量数乘两种运算封闭＋满足8个条件

②范数的4个条件
正定1：
齐次性：
三角不等式：

正定2：

5、 典例：n维向量空间
⑴、范数1：
⑵、范数2：
⑶、范数3：

二、范数和距离

1、 性质
⑴、性质：利用范数可以定义距离：
⑵、证明：距离的两个条件
①正定：

②三角不等式：

⑶、归纳：赋范线性空间＋利用范数定义距离度量空间【线性空间＋范数＋距离】

2、 极限
⑴、定义：假设：赋范线性空间，
如果：
则称：点列按范数收敛于
记为：【】
⑵、归纳：

3、 性质
⑴、性质：如果，那么【的连续函数】
⑵、证明：

4、 性质
⑴、性质：利用范数定义距离，必然满足两个条件
①、
②、
⑵、证明：①、

②、

5、 性质
⑴、性质：如果：满足两个条件
那么：可以利用距离定义范数：
⑵、证明：范数的4个性质
①正定1：
②齐次性：
③三角不等式：

④正定2：

6、 定理
⑴、利用范数，可以定义距离
⑵、利用函数，可以定义距离＋满足两个条件
⑶、利用距离＋满足两个条件，可以定义范数
⑷、利用距离，不一定可以定义范数【反例】

第二章 有界线性算子

第一节 度量空间中的点集

1、 基本概念
⑴、概念：的环境
⑵、概念：的内点：如果存在的一个环境
⑶、概念：开集：如果的每一个点都是内点
⑷、概念：的环境包含的开集

2、 基本性质
⑴、性质：，的内点【】【】
⑵、性质：，的内点【定义】

3、 重要性质
⑴、性质：开集
⑵、证明：

的内点开集

4、 重要性质
⑴、性质：的任何一个环境，都是的环境
⑵、意义：环境环境的特殊情况
⑶、证明：开集

⑷、性质：的内点存在的一个环境
⑸、意义：利用环境定义内点
⑹、证明：①：的内点
存在的一个环境
存在的一个环境
②：存在的一个环境
的内点
存在的一个环境
存在的一个环境
的内点

5、 定理
⑴、定理：
对于的任何环境，存在，当时，
⑵、意义：利用环境定义收敛点列
⑶、证明：①：任取的一个环境的内点
存在的一个环境
对于，存在，当时，

②：对于的任何环境，存在，当时，
对于的任何一个环境，
存在，当时，

⑷、推论：
对于的任何环境，存在，当时，
⑸、意义：利用环境定义收敛点列

第二节 连续映射

1、 函数在点连续
⑴、传统描述：对于，当时，
⑵、环境描述：对于的任何环境
存在的一个环境
当时，

2、 映射在点连续【双重扩展】
⑴、定义：假设：度量空间，的一个子空间，的映射
如果：对于的任何环境
存在的一个环境
当时，
则称：映射在点连续

⑵、定义：如果：映射在上的每一点都连续
则称：上的连续映射

3、 等价定理
⑴、定理：①：映射在点连续
②：对于的任何环境
存在的一个环境
当时，
③：

⑵、证明：①Þ②
映射在点连续
对于的任何环境
存在的一个环境
当时，【定义】
对于的任何环境
存在的一个环境
当时，【环境环境的特殊情况】
的内点
存在的一个环境
结论【全局满足则局部满足】

⑶、证明：②Þ③
对于，存在，当时，
由决定，由决定由决定
对于，存在，当时，

⑷、证明：③Þ①
反证法：映射在点不连续
存在的一个环境
对于的任何环境
存在，
对于的任何环境，存在，
【夹逼定理】
【条件】
对于，存在，当时，
的内点
存在的一个环境
对于，存在，当时，
存在，当时，
矛盾【由决定，由决定】

第三节 线性算子

1、 算子
⑴、定义：算子＝映射
⑵、定义：泛函＝取值于实数域或者复数域的算子

2、 线性算子
⑴、定义：假设：实数域F上的线性空间
的子空间
的映射
如果：满足条件：

则称：线性算子
并称：的定义域，的值域

⑵、定义：如果：线性算子
并且：
则称：线性泛函

第四节 线性算子的有界性与连续性

一、有界算子

1、 连续定理
⑴、定理：线性算子一点连续，处处连续
⑵、描述：假设：赋范线性空间，的一个子空间，的线性算子
如果：在连续
那么：上的连续算子

⑶、证明：①：假设：
②：
对于，存在，当时，
【赋范线性空间】

对于，存在，当时，

③：在点连续【等价定理①Þ③】
【线性算子】
【赋范线性空间】
在点连续【等价定理③Þ①】
在上处处连续【】

2、 定义：有界算子：如果算子将任何有界集，映射成一个有界集

3、 基本性质
⑴、性质：如果线性算子，那么
⑵、证明：【线性空间】

⑶、性质：单位球面
⑷、证明：赋范线性空间

⑸、性质：有界集，对于
⑹、证明：①：必要性：有界集

令

②：充分性：，对于

⑺、归纳：有界集

4、 有界定理
⑴、定理：如果：赋范线性空间，的线性算子
那么：有界算子，对于

⑵、证明：①：必要性：有界算子，有界集
有界集
，对于
对于，使得
对于
如果：
如果：

②：充分性：，对于
假设：任意的有界集
，对于【性质3】
，对于，
对于，使得
，对于
有界集

二、算子范数

1、 定义：算子范数：如果：赋范线性空间，的有界算子
则称：

2、 基本性质
⑴、性质：
⑵、证明：①：，

②：

⑶、性质：如果有界算子，则在点连续
⑷、证明：
对于，存在，当时，
有界算子，对于
对于，存在，当时，
在点连续

3、 定理
⑴、定理：如果线性算子，则有界算子连续算子

⑵、证明：①：有界算子在点连续，线性算子
连续算子

②：反证法：假设

构造

连续算子
但是
矛盾
对于
如果：
如果：
有界算子

三、算子空间

1、 定义：的全体线性算子：其中线性空间

2、 性质
⑴、性质：线性空间
如果：定义加法：
定义数乘：

⑵、证明：两种运算封闭＋满足8条性质
①：加法封闭：

对于
②：数乘封闭：同上

3、 定义：的全体有界线性算子，其中赋范线性空间

4、 性质
⑴、性质：赋范线性空间，如果算子范数
⑵、证明：线性空间【证明同上】
⑶、证明：算子范数，满足范数的4个条件
①：齐次性：
证明：
②：不等式：
证明：

③：正定性：
证明：

5、 共轭空间
⑴、定义：共轭空间：如果：赋范线性空间，上的全体连续线性泛函
那么：共轭空间
⑵、性质：共轭空间赋范线性空间【实数域赋范线性空间】

第三章 Hilbert空间

第一节 预备知识：基本点列

1、 Cauchy收敛原理【实线性空间】
⑴、原理：数列收敛对于，当时，
⑵、证明：①：必要性：假设：
对于，当时，，

②：充分性：未能证明

2、 定义：基本点列【Cauchy点列】
假设：度量空间，点列
如果：对于，当时，
则称：上的基本点列

3、 性质
⑴、性质：收敛点列基本点列，反之不然
⑵、证明：类似Cauchy收敛原理
⑶、证明：反例：有理数列

4、 性质
⑴、性质：假设：基本点列
如果：存在子点列
那么：
⑵、证明：基本点列
对于，当时，

对于，当时，
对于，当时
对于，都有

第二节 内积空间

1、 内积的3个条件
⑴、共轭对称性：
⑵、第一变元的线性：
⑶、正定性：

2、 定义：内积空间线性空间＋内积
其中：实数域或者复数域

3、 基本性质：第二变元的线性
⑴、性质：
⑵、证明：

4、 柯西不等式
⑴、公式：
⑵、证明：

如果：结论成立

5、 定理
⑴、定理：利用内积定义范数：
⑵、证明：满足范数的4个性质

①：齐次性：
证明：

②：三角不等式：
证明：

③：正定性：

6、 核心思想

⑴、思想：利用内积定义范数，再利用范数定义距离引入收敛和极限

⑵、性质：如果：
那么：【内积函数的连续性】

⑶、证明：①：

【第一变元的线性】【Cauchy不等式】

【利用内积定义范数】
②：有界集，对于

第三节 Hilbert空间

1、 基本概念
⑴、概念：完备空间：如果基本点列收敛点列
⑵、概念：Banach空间完备的赋范线性空间
⑶、概念：Hilbert空间完备的内积空间

2、 极化恒等式
⑴、性质：如果：实内积空间
那么：
⑵、证明：

⑶、性质：如果：复内积空间
那么：
⑷、证明：

3、 平行四边形公式
⑴、性质：如果：内积空间
并且：利用内积定义范数：
那么：
⑵、证明：

⑶、意义：对角线的长度平方和，等于四边的长度平方和

4、 性质
⑴、性质：利用范数＋平行四边形公式，可以定义内积：内积＝极化恒等式
⑵、证明：①：实空间
复空间
②：证明思路：满足内积的3个条件

5、 定理
⑴、利用内积，可以定义范数
⑵、利用内积，可以定义范数＋平行四边形公式
⑶、利用范数＋平行四边形公式，可以定义内积
⑷、利用范数，不一定可以定义内积【反例】

复习和重点归纳

一、第一部分

1、 线性空间
⑴、线性空间【两种运算封闭＋满足8条规则】
⑵、线性相关、线性无关维数、基
⑶、子空间子空间的交与和直和

2、 欧几里得空间
⑴、欧几里得空间线性空间内积【内积的4个条件】
⑵、正交正交向量组正交基标准正交基
⑶、正交补

3、 度量空间
⑴、度量空间线性空间距离【距离的两个条件】
⑵、极限开球，有界集

4、 赋范线性空间
⑴、赋范线性空间线性空间范数【范数的4个条件】
⑵、利用范数定义距离极限
⑶、利用距离两个条件定义范数

二、第二部分

1、 度量空间中的点集
⑴、的环境的内点开集的环境
⑵、环境环境的特殊情况【证明：开集】【作用：两者相互替换】
⑶、利用环境描述内点利用环境和环境描述极限：
⑷、基本点列收敛点列基本点列的特殊情况

2、 三种算子（线性、连续、有界）
⑴、连续映射【利用环境描述】
等价定理【在点连续利用环境描述】
⑵、线性算子连续定理【线性算子，则一点连续处处连续】
⑶、有界算子有界集的充要条件有界算子的充要条件

3、 算子范数和算子空间
⑴、算子范数算子定理【线性算子，则有界连续】
⑵、算子空间线性空间
赋范线性空间【范数算子范数】共轭空间

4、 内积空间和Hilbert空间
⑴、内积空间线性空间内积【满足内积的3个条件】
利用内积定义范数【】收敛和极限
⑵、Hilbert空间完备的内积空间极化恒等式平行四边形公式
利用范数＋平行四边形公式，可以定义内积【内积极化恒等式】