泛函分析读书笔记(上).doc

第一部分 线性代数第一章 线性空间第一节 线性空间一、基本概念1、 定义：数域P复数子集四则运算封闭2、 定义：线性空间数域P上的线性空间V线性空间V、解释：非空集合、解释：【加法，加法保持封闭】、解释：【数乘，数乘保持封闭】、解释：线性运算【满足8条规则】3、 8条规则加法规则：、交换律：、结合律：、零元素：，对于，都有、负元素：对于，使得【记为：】数乘规则：、加法数乘规则：、二、基本性质1、 性质、性质：零元素唯一、证明：假设：，对于，都有 ，对于，都有 对于，都有特别：对于，都有特别： 【交换律】、性质：负元素唯一2、 性质、性质：、证明：【规则5规则8】 【结合律】【负元素的定义】 第二节 线性无关一、基本概念1、 概念：线性组合（线性表出）如果： 则称：向量是向量组的一个线性组合 或称：向量可由向量组线性表出2、 概念：线性相关如果：存在不全为0的使得：则称：向量组线性相关3、 概念：线性无关如果：不存在不全为0的使得：则称：向量组线性无关4、 关键：二、基本性质1、 性质、性质：向量组线性相关 其中某一向量可由其余向量线性表出、证明：必要性： 充分性：2、 性质、性质：如果：向量组线性无关 并且：可由向量组线性表出 则有：、证明： s个方程，r个未知数如果，则方程存在非零解 向量组线性相关矛盾3、 等价、概念：两个向量组等价【互相线性表出】、性质：两个等价的线性无关向量组，必定含有相同数目的向量、证明：假设：向量组线性无关 向量组线性无关4、 性质、性质：如果：向量组线性无关 并且：向量组线性相关 那么：可由向量组线性表出，并且表法唯一、证明：向量组线性相关 存在不全为0的 使得： 假设： 表法唯一第三节 维数、基和坐标1、 定义：n维线性空间V：恰好存在n个线性无关的向量2、 定义：n维线性空间V的一组基：n个线性无关的向量3、定义：坐标：对于，向量组线性无关向量组线性相关【否则维】 坐标4、 定理、定理：如果：向量组线性无关 并且：线性空间V中的任意向量，均可由它们线性表出 那么：V的维数，并且是V的一组基、证明：假设：V的维数 线性无关，可由向量组线性表出 矛盾第四节 极大线性无关组1、 定义：极大线性无关组：一个向量组的一部分组称为极大线性无关组 如果：该部分组线性无关 并且：添加任一向量均线性相关2、 性质、性质：极大线性无关组与向量组本身等价、证明：假设：向量组 极大线性无关组 可由线性表出 对于 线性相关【否则与极大线性无关组矛盾】 可由线性表出3、 性质、性质：向量组的极大线性无关组，含有相同个数的向量、证明：向量组与极大线性无关组1等价 向量组与极大线性无关组2等价 极大线性无关组1与极大线性无关组2等价【等价的传递性】第五节 线性子空间1、 定义：是线性空间的一个子空间 W是数域P上的线性空间V的一个子空间 W是线性空间V的一个子空间如果：、的非空子集、两种运算封闭： 2、 、性质：如果：线性空间V那么：所有可能的线性组合构成V的一个子空间称为：由生成的子空间记为：、证明：非空子集两种运算封闭3、 性质、性质：向量组与向量组等价、证明：充分性： ：必要性：可由向量组线性表出4、 性质、性质：如果：W是n维线性空间V的一个m维子空间 并且：是W的一组基 那么：可以扩充为线性空间V的一组基、证明：，使得线性无关 反证法：线性相关 可由线性表出 线性空间V的维数矛盾第六节 子空间的交与和1、 定义：2、 性质、性质：如果：是线性空间V的两个子空间 那么：也是线性空间V的子空间、证明：非空子集【至少都包含零元素】 3、 性质、性质：如果：是线性空间V的两个子空间 那么：也是线性空间V的子空间、证明： 4、 维数公式、公式：维维维维、证明：假设：是的一组基 是的一组基是的一组基 证明：是的一组基、线性无关： 、，均可由线性表出第七节 子空间的直和1、 直和、定义：直和任何元素的分解式唯一、分析：唯一2、 性质、性质：直和零元素的分解式唯一、证明：充分性：假设： 3、 性质、性质：直和、证明：充分性： 必要性： 4、 性质、引理：维、证明：必要性：向量0线性相关不存在线性相关的向量组 充分性：假设：线性空间至少包括一个非零向量 向量线性无关可以扩充为线性空间V的一组基维矛盾、性质：直和维维维第八节 线性空间的同构1、 定义：同构 如果：线性空间 并且：存在的双射【双射一一映射满射单射】并且：满足两条性质： 则称：V和W同构，同构映射2、 基本性质、性质：数域P上的n维线性空间V与同构、证明：、线性空间【两种运算封闭满足8条性质】 、构造的双射【向量到坐标的双射】 假设：的一组基 、满足两条性质 3、 性质群1、性质：、证明：的两条性质、性质：线性无关线性无关、证明：必要性：假设： 由于，并且双射 、性质：线性相关线性相关、证明：反证法、性质：同构的线性空间同维、证明：假设：线性空间V和W同构，并且维，维 维存在n个线性无关的向量组 存在n个线性无关的向量组 维 同理：4、 性质群2、性质：如果：是线性空间V的一个子空间 那么：是线性空间的子空间、证明：、非空子集非空子集、两种运算封闭假设：【双射】 【运算封闭】【定义】【的两条性质】、性质：同构映射、证明：、双射、的两条性质 【的两条性质】第二章 欧几里得空间第一节 实线性空间1、 定义：实线性空间、两种运算：、向量加法 、向量数乘 、两种运算封闭满足8条性质第二节 欧几里得空间一、基本概念1、 定义：内积内积的4条性质、交换：、数乘：、分解：、正定：，2、 欧几里得空间【欧氏空间】、定义：欧几里得空间内积、分析：未确定因素内积、典例：实线性空间内积、分析：、；、向量加法向量数乘；、内积： 【满足内积的4条性质】3、 基本概念、概念：向量长度、概念：单位向量、概念：向量距离、概念：夹角二、柯西不等式1、 基本公式、公式：、证明： 令【开口向上单根或者无根】 等号成立条件：【单根】 线性相关2、 推论、推论：、证明： 、推论：、证明：令【代入上式】第三节 标准正交基1、 基本概念、定义：两个向量正交【如果，则称正交，记为】、性质：n维欧几里得空间V的内积、证明：假设：的一组基 2、 基本概念、定义：正交向量组两两正交的非零向量组、定义：正交基正交向量组基、定义：标准正交基正交基单位向量3、 基本性质、性质：正交向量组线性无关、证明：假设：正交向量组 4、 定理、定理：任何一个正交向量组，可以扩充为一组正交基、证明：假设：线性空间V的正交向量组，使得线性无关 否则：线性相关 可由线性表出 维V矛盾 5、 定理、定理：如果：的一组基那么：可以找到一组标准正交基并且：、证明： 假设：已经找到一组单位正交向量 使得： 可由线性表出可由线性表出 与等价第四节 正交补1、 基本概念、定义：如果，都有则称正交，记为、定义：如果，都有则称正交，记为、定义：正交补：假设：线性空间V的两个子空间 如果： 则称：的正交补，记为：2、 性质、性质：如果：两两正交 那么：直和、证明：假设： 3、 性质、性质：任何子空间的正交补，存在并且唯一、证明：假设：线性空间V的一个子空间， 、的一组正交基可以扩充为V的一组正交基【证明集合相等】【根据定义证明正交】、假设：，并且，并且 同理可证：第三章 线性变换一、线性变换的定义1、 定义：线性变换假设：线性空间的一个变换 如果：满足两个条件、 则称：线性变换2、 等价条件、性质：的两个条件等价于、证明：必要性：充分性： 二、线性变换的运算1、 线性变换的乘积、定义：、性质：线性变换的乘积，仍是线性变换、证明：2、 线性变换的加法、定义：、性质：线性变换的加法，仍是线性变换、证明：同上类似三、线性变换的矩阵1、 定理：、定理：如果：数域P上的n维线性空间 的一组基任意一组向量 那么：存在唯一的一个线性变换使得：、证明：存在性和唯一性2、 唯一性、性质：如果： 那么：、证明： 3、 存在性、性质：如果：数域P上的n维线性空间的一组基任意一组向量那么：存在一个线性变换使得：、证明：变换： 线性变换：假设： 证明： 4、 定义：如果：数域P上的n维线性空间 的一组基的一个线性变换 那么： 则称：线性变换T在下的矩阵、性质：如果：取定一组基并且：线性变换矩阵的一个映射那么：双射、证明：单射：假设： 【唯一性】满射：【存在性】5、 定理、线性变换的加法，对应于矩阵的加法、线性变换的乘积，对应于矩阵的乘积、线性变换的数乘，对应于矩阵的数乘、线性变换的逆，对应于矩阵的逆第二部分 泛函分析第一章 度量空间第一节 度量空间一、度量空间1、 符号约定：2、 定义：距离的两条性质、正定：、三角不等式：3、 定义：度量空间【距离空间】、解释：非空集合、解释：距离【满足的两条性质】4、 对称性、性质：、证明： 同理可证：二、基本概念1、 子空间、性质：度量空间的任何子空间，仍是度量空间、证明：假设：度量空间， 度量空间的子空间 证明：非空子集，的两条性质仍然满足2、 一致离散：如果： 使得：；都有： 则称：一致离散的度量空间3、 等距映射和等距同构、定义：等距映射：假设：度量空间；的映射 如果：则称：的等距映射、性质：的等距映射的单射、证明：、定义：等距同构：假设：的等距映射如果： 则称：等距同构【双射】、性质：的满射三、极限1、 极限、定义：假设：度量空间， 如果： 则称：点列按距离收敛于 记为：【】 并称：收敛点列，的极限、归纳：2、 性质、性质：收敛点列的极限唯一、证明：假设： 【三角不等式】 【夹逼原则】3、 性质、性质：如果： 那么：【的连续函数】、证明： 4、 定义：开球 其中：度量空间，【有限正数】5、 定义：有界集：假设：度量空间，中的点集 如果：包含在某个开球中 则称：中的有界集6、 性质、性质：如果收敛点列，那么有界集、证明：收敛点列 ，使得当时，都有 包含在开球中四、常见的度量空间1、 欧氏空间，其中：【内积】2、 函数空间区间上的连续函数的全体 其中：第二节 范数一、范数1、 定义：R上的实值函数的4个条件【范数的4个条件】、正定1：、齐次性：、三角不等式：、正定2：2、 定义：范数：假设：实数域F上的线性空间 如果：R上的实值函数满足范数的4个条件 则称：的范数 记为：的范数【】 并称：赋范线性空间【赋范空间】3、 性质、定义：半范数：如果满足范数的前3个条件、性质：范数的第4个条件可以简化为：、证明：4、 典例：函数空间、性质：如果： 那么：赋范线性空间、证明：线性空间 定义：向量加法，向量数乘两种运算封闭满足8个条件 范数的4个条件 正定1： 齐次性： 三角不等式： 正定2：5、 典例：n维向量空间、范数1：、范数2：、范数3：二、范数和距离1、 性质、性质：利用范数可以定义距离：、证明：距离的两个条件 正定： 三角不等式： 、归纳：赋范线性空间利用范数定义距离度量空间【线性空间范数距离】2、 极限、定义：假设：赋范线性空间， 如果： 则称：点列按范数收敛于 记为：【】、归纳：3、 性质、性质：如果，那么【的连续函数】、证明： 4、 性质、性质：利用范数定义距离，必然满足两个条件 、证明：、5、 性质、性质：如果：满足两个条件 那么：可以利用距离定义范数：、证明：范数的4个性质 正定1：齐次性：三角不等式： 正定2：6、 定理、利用范数，可以定义距离、利用函数，可以定义距离满足两个条件、利用距离满足两个条件，可以定义范数、利用距离，不一定可以定义范数【反例】第二章 有界线性算子第一节 度量空间中的点集1、 基本概念、概念：的环境、概念：的内点：如果存在的一个环境、概念：开集：如果的每一个点都是内点、概念：的环境包含的开集2、 基本性质、性质：，的内点【】【】、性质：，的内点【定义】3、 重要性质、性质：开集、证明： 的内点开集4、 重要性质、性质：的任何一个环境，都是的环境、意义：环境环境的特殊情况、证明：开集、性质：的内点存在的一个环境、意义：利用环境定义内点、证明：的内点存在的一个环境 存在的一个环境：存在的一个环境 的内点存在的一个环境存在的一个环境的内点5、 定理、定理：对于的任何环境，存在，当时，、意义：利用环境定义收敛点列、证明：任取的一个环境的内点存在的一个环境对于，存在，当时，：对于的任何环境，存在，当时， 对于的任何一个环境，存在，当时， 、推论：对于的任何环境，存在，当时，、意义：利用环境定义收敛点列第二节 连续映射1、 函数在点连续、传统描述：对于，当时，、环境描述：对于的任何环境 存在的一个环境 当时，2、 映射在点连续【双重扩展】、定义：假设：度量空间，的一个子空间，的映射如果：对于的任何环境 存在的一个环境 当时，则称：映射在点连续、定义：如果：映射在上的每一点都连续 则称：上的连续映射3、 等价定理、定理：映射在点连续：对于的任何环境 存在的一个环境 当时，：、证明： 映射在点连续对于的任何环境 存在的一个环境 当时，【定义】 对于的任何环境 存在的一个环境 当时，【环境环境的特殊情况】 的内点存在的一个环境 结论【全局满足则局部满足】、证明： 对于，存在，当时， 由决定，由决定由决定对于，存在，当时，、证明：反证法：映射在点不连续存在的一个环境 对于的任何环境 存在，对于的任何环境，存在， 【夹逼定理】 【条件】 对于，存在，当时， 的内点存在的一个环境对于，存在，当时，存在，当时， 矛盾【由决定，由决定】第三节 线性算子1、 算子、定义：算子映射、定义：泛函取值于实数域或者复数域的算子2、 线性算子、定义：假设：实数域F上的线性空间 的子空间的映射 如果：满足条件： 则称：线性算子 并称：的定义域，的值域、定义：如果：线性算子并且： 则称：线性泛函第四节 线性算子的有界性与连续性一、有界算子1、 连续定理、定理：线性算子一点连续，处处连续、描述：假设：赋范线性空间，的一个子空间，的线性算子 如果：在连续 那么：上的连续算子、证明：假设： ：对于，存在，当时，【赋范线性空间】对于，存在，当时，：在点连续【等价定理】 【线性算子】 【赋范线性空间】 在点连续【等价定理】在上处处连续【】2、 定义：有界算子：如果算子将任何有界集，映射成一个有界集3、 基本性质、性质：如果线性算子，那么、证明：【线性空间】、性质：单位球面、证明：赋范线性空间、性质：有界集，对于、证明：必要性：有界集 令 ：充分性：，对于 、归纳：有界集4、 有界定理、定理：如果：赋范线性空间，的线性算子 那么：有界算子，对于、证明：必要性：有界算子，有界集有界集，对于对于，使得对于如果：如果：充分性：，对于假设：任意的有界集，对于【性质3】，对于，对于，使得，对于 有界集二、算子范数1、 定义：算子范数：如果：赋范线性空间，的有界算子 则称：2、 基本性质、性质：、证明：，： 、性质：如果有界算子，则在点连续、证明： 对于，存在，当时，有界算子，对于 对于，存在，当时， 在点连续3、 定理、定理：如果线性算子，则有界算子连续算子、证明：有界算子在点连续，线性算子连续算子：反证法：假设 构造 连续算子 但是 矛盾对于如果：如果： 有界算子三、算子空间1、 定义：的全体线性算子：其中线性空间2、 性质、性质：线性空间如果：定义加法： 定义数乘： 、证明：两种运算封闭满足8条性质 ：加法封闭：对于：数乘封闭：同上3、 定义：的全体有界线性算子，其中赋范线性空间4、 性质、性质：赋范线性空间，如果算子范数、证明：线性空间【证明同上】、证明：算子范数，满足范数的4个条件：齐次性： 证明：不等式： 证明： ：正定性： 证明：5、 共轭空间、定义：共轭空间：如果：赋范线性空间，上的全体连续线性泛函那么：共轭空间、性质：共轭空间赋范线性空间【实数域赋范线性空间】第三章 Hilbert空间第一节 预备知识：基本点列1、 Cauchy收敛原理【实线性空间】、原理：数列收敛对于，当时，、证明：必要性：假设： 对于，当时， ：充分性：未能证明2、 定义：基本点列【Cauchy点列】假设：度量空间，点列 如果：对于，当时， 则称：上的基本点列3、 性质、性质：收敛点列基本点列，反之不然、证明：类似Cauchy收敛原理、证明：反例：有理数列4、 性质、性质：假设：基本点列 如果：存在子点列 那么：、证明：基本点列对于，当时， 对于，当时， 对于，当时 对于，都有 第二节 内积空间1、 内积的3个条件、共轭对称性：、第一变元的线性：、正定性：2、 定义：内积空间线性空间内积其中：实数域或者复数域3、 基本性质：第二变元的线性、性质：、证明： 4、 柯西不等式、公式：、证明： 如果：结论成立 5、 定理、定理：利用内积定义范数：、证明：满足范数的4个性质：齐次性：证明：三角不等式：证明：正定性：6、 核心思想、思想：利用内积定义范数，再利用范数定义距离引入收敛和极限、性质：如果： 那么：【内积函数的连续性】、证明： 【第一变元的线性】【Cauchy不等式】 【利用内积定义范数】 ：有界集，对于第三节 Hilbert空间1、 基本概念、概念：完备空间：如果基本点列收敛点列、概念：Banach空间完备的赋范线性空间、概念：Hilbert空间完备的内积空间2、 极化恒等式、性质：如果：实内积空间那么：、证明：、性质：如果：复内积空间那么：、证明： 3、 平行四边形公式、性质：如果：内积空间并且：利用内积定义范数： 那么：、证明：、意义：对角线的长度平方和，等于四边的长度平方和4、 性质、性质：利用范数平行四边形公式，可以定义内积：内积极化恒等式、证明：实空间复空间 ：证明思路：满足内积的3个条件5、 定理、利用内积，可以定义范数、利用内积，可以定义范数平行四边形公式、利用范数平行四边形公式，可以定义内积、利用范数，不一定可以定义内积【反例】复习和重点归纳一、第一部分1、 线性空间、线性空间【两种运算封闭满足8条规则】、线性相关、线性无关维数、基、子空间子空间的交与和直和2、 欧几里得空间、欧几里得空间线性空间内积【内积的4个条件】、正交正交向量组正交基标准正交基、正交补3、 度量空间、度量空间线性空间距离【距离的两个条件】、极限开球，有界集4、 赋范线性空间、赋范线性空间线性空间范数【范数的4个条件】、利用范数定义距离极限、利用距离两个条件定义范数二、第二部分1、 度量空间中的点集、的环境的内点开集的环境、环境环境的特殊情况【证明：开集】【作用：两者相互替换】、利用环境描述内点利用环境和环境描述极限：、基本点列收敛点列基本点列的特殊情况2、 三种算子（线性、连续、有界）、连续映射【利用环境描述】等价定理【在点连续利用环境描述】、线性算子连续定理【线性算子，则一点连续处处连续】、有界算子有界集的充要条件有界算子的充要条件3、 算子范数和算子空间、算子范数算子定理【线性算子，则有界连续】、算子空间线性空间赋范线性空间【范数算子范数】共轭空间4、 内积空间和Hilbert空间、内积空间线性空间内积【满足内积的3个条件】利用内积定义范数【】收敛和极限、Hilbert空间完备的内积空间极化恒等式平行四边形公式 利用范数平行四边形公式，可以定义内积【内积极化恒等式】