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第一章 预备知识

第一节 极限点和闭集

一、极限点

1、 定义：极限点：假设：度量空间，中的点集，
如果：对于的任何一个环境
都有：
则称：的极限点

2、 性质
⑴、性质：内点是极限点，孤立点不是极限点
⑵、证明：的内点的一个环境
对于的任何一个环境
①如果：

②如果：
⑶、归纳：点内点边缘点孤立点，极限点内点边缘点

3、 等价定理
⑴、定理：假设：度量空间，中的点集，
①、的极限点
②、
③、各不相同的
④、对于的任何一个环境，含有的无穷多个点

⑵、证明：
的极限点
对于的任何一个环境，都有
对于的任何一个环境，都有

在度量空间中，

⑶、证明：

反证法：假设含有有限多个不同的点
的一个环境，【剔除有限个点】
但是对于，当时，
矛盾含有无穷多个不同的点各不相同的子点列

⑷、证明：
各不相同的
对于的任何一个环境
的内点的一个环境
对于，当时，
，当时，
含有无穷多个含有的无穷多个点【】

⑸、证明：
对于的任何一个环境，含有的无穷多个点
的任何一个环境，含有的无穷多个点
，含有的无穷多个点

二、闭集

1、 基本概念
⑴、定义：的导集的所有极限点
⑵、定义：的闭包
⑶、定义：闭集，如果

2、 分析
⑴、内点边缘点孤立点
⑵、内点边缘点内点边缘点 边缘点
⑶、内点边缘点孤立点

3、 等价定理
⑴、定理：假设：度量空间，中的点集，
①、
②、对于的任何一个环境，含有的点
③、

⑵、证明：
或者
如果：对于的任何一个环境，含有的点
如果：的极限点
对于的任何一个环境，含有的无穷多个点

⑶、证明：
对于的任何一个环境，含有的点
对于的任何一个环境，含有的点
对于的任何一个环境，含有的点

⑷、证明：

如果：
如果：
的极限点

4、 核心定理
⑴、定理：闭集

⑵、证明：①必要性：反证法：假设

的极限点
闭集
矛盾

②充分性：反证法：假设闭集
闭集
的极限点
矛盾

5、 性质
⑴、性质：闭集
⑵、证明：闭集
的极限点
对于的任何一个环境，都有

的极限点
对于的任何一个环境，
构造的环境满足：
①：
②：
③：

的极限点闭集
⑶、证明：闭集：证明同上

6、 性质
⑴、性质：闭集
⑵、证明：①：首先证明：闭集
的极限点
对于的任何一个环境，都有
对于的任何一个环境，都有
的极限点
②：闭集

⑶、推论：包含的最小闭集
⑷、证明：假设：包含的最小闭集
闭集，包含的闭集【最小】
包含的闭集闭集，【定理】

7、 性质
⑴、性质：闭集
⑵、证明：①必要性：闭集

②充分性：闭集

8、 基本概念
⑴、定义：如果：赋范线性空间，中的点集
则称：由张成的线性子空间
中向量的所有可能的线性组合
⑵、定义：由张成的闭线性子空间

第二节 Holder不等式和Minkowski不等式

1、 定义：共轭指标：如果：
并且：
则称：一对共轭指标

2、 引理
⑴、公式：
其中：一对共轭指标，
⑵、证明：
假设：

3、 Holder不等式
⑴、公式：
其中：一对共轭指标，【实数点列】

⑵、证明：
①：如果：或者或者结论成立
②：否则：令

4、 Minkowski不等式
⑴、公式：
其中：，

⑵、证明：令的共轭指标

5、 积分形式的Holder不等式和Minkowski不等式

⑴、Holder不等式

⑵、Minkowski不等式

第三节 和

一、定义
1、 定义：
2、 定义：

二、线性空间

1、 性质：线性空间
⑴、思路：①：定义加法：函数相加，定义数乘：函数数乘
②：两种运算保持封闭
③：满足8条规则
⑵、证明：加法封闭：

2、 性质：线性空间
⑴、思路：定义加法：数列相加，定义数乘：数列数乘
⑵、证明：同上

三、赋范线性空间

1、 性质：赋范线性空间
⑴、定义：
⑵、证明：满足范数的3条性质
①：齐次性：
②：三角不等式：【Minkowski不等式】
③：正定性：

2、 性质：赋范线性空间
⑴、定义：
⑵、证明：同上

四、Banach空间

1、性质：Banach空间
2、证明：详见夏道行P61

五、Hilbert空间

1、 性质：Hilbert线性空间
⑴、定义：
⑵、证明：满足内积的3条性质
①：共轭对称性：
②：第一变元的线性：

③：正定性：

2、 性质：Hilbert线性空间
⑴、定义：
⑵、证明：同上

3、 性质：不是Hilbert空间

第二章 Hilbert空间

第一节 极限和连续性

1、 度量空间
⑴、定义：
⑵、性质：距离的连续性：

2、 赋范线性空间
⑴、定义：
⑵、性质：范数的连续性：

3、 内积空间
⑴、定义：【利用内积定义范数，再利用范数定义极限】
⑵、性质：内积的连续性：

第二节 投影定理

一、正交和投影

1、 基本概念
⑴、定义：
⑵、定义：对于
⑶、定义：对于
⑷、定义：所有与正交的向量

2、 基本性质：

3、 性质
⑴、性质：
⑵、证明：

⑶、性质：
⑷、证明：

⑸、性质：
⑹、证明：对于
对于

⑺、性质：
⑻、证明：

⑼、性质：勾股定理：
⑽、证明：

4、 正交补定理
⑴、定理：内积空间的闭线性子空间
⑵、证明：①：线性子空间
两种运算封闭：

②：闭集
假设：
对于
根据内积的连续性
闭集

⑶、推论：内积空间
⑷、证明：①：
②：
【线性子空间，线性运算封闭】
【闭集，最小闭集】

5、 投影
⑴、定义：投影：假设：内积空间的线性子空间
如果：对于，存在：
使得：， 则称：在上的投影

⑵、关键：投影投在线性子空间
⑶、性质：在上的投影

⑷、性质：投影不一定存在，如果存在必定唯一
⑸、证明：假设：在上的投影
在上的投影
线性子空间
闭线性子空间

6、 最佳逼近
⑴、定理：假设：内积空间的线性子空间
如果：，在上的投影
那么：
并且：上使等式成立的唯一向量
⑵、思想：①：利用上的变元，来逼近中的
②：如果存在投影，则最佳逼近等于投影

⑶、证明：①在上的投影

【勾股定理】

②唯一性：假设：上使等式成立的向量

二、投影定理

1、 变分引理【极值可达】
⑴、定义：到的距离
⑵、性质：完备闭集，线性子空间凸集

⑶、定理：假设：内积空间的完备凸集
如果：
那么：存在唯一的，使得
⑷、关键：①：到的距离
②：完备凸集则极值可达

⑸、证明：①：点列
存在点列，

②：基本点列
平行四边形公式：

凸集

基本点列

③：收敛点列
完备收敛点列

④：存在性
完备闭集，，
根据范数的连续性

⑤：唯一性
假设存在，使得
构造点列：
基本点列【证明同上】

2、 投影引理
⑴、定理：假设：内积空间的线性子空间
，
如果：
那么：
⑵、思想：极值可达点正交

⑶、证明：对于，

令

3、 投影定理
⑴、定理：如果：内积空间的完备线性子空间
那么：对于
存在：，使得：
⑵、思想：任意向量在上的投影，存在并且唯一

⑶、证明：①存在性：变分引理，使得
投影引理
构造
②唯一性：参见变分引理

4、 推论
⑴、推论：如果：内积空间的完备线性子空间
那么：含有非零元素
⑵、证明：
投影定理投影存在假设在上的投影

第三节 就范正交系

一、级数

1、 基本概念
⑴、定义：级数：
⑵、定义：部分和：【将级数转换为数列】
⑶、定义：收敛级数：如果，则称收敛

2、 基本性质
⑴、性质：收敛
⑵、性质：收敛【】
⑶、性质：Cauchy收敛原理
收敛对于，当时，

二、有限正交系

1、 基本概念
⑴、定义：正交系：假设：内积空间的一族非零向量
如果：对于，都有：
则称：正交系

⑵、定义：就范正交系：如果：正交系
并且：对于，都有：
则称：就范正交系

2、 基本性质
⑴、性质：假设：内积空间中的就范正交系
如果：，
那么：
⑵、证明：

3、 定理
⑴、定理：假设：内积空间中的就范正交系
如果：，，
那么：在上的投影
并且：，

⑵、证明：①：
②：

在上的投影
③：

④：【勾股定理】

4、 推论
⑴、性质：如果：就范正交系，
那么：
⑵、证明：

⑶、性质：如果：就范正交系，
那么：对于，
⑷、证明：假设：，
在上的投影
假设：
根据最佳逼近定理

三、无限正交系

1、 Bessel（贝塞尔）不等式
⑴、定理：如果：内积空间中的就范正交系
那么：对于，
⑵、证明：就范正交系对于，就范正交系
【单调递增，必有极限】

2、 性质
⑴、性质：如果：内积空间中的就范正交系
那么：对于，
⑵、证明：对于，收敛

四、完备正交系

1、 定义：完备正交系：假设：内积空间中的就范正交系
如果：对于，都有：
则称：完备正交系

2、 性质
⑴、性质：收敛
⑵、性质：基本点列
⑶、证明：假设：

收敛级数基本点列
对于，当时，
对于，当时，
基本点列

3、 定义：傅里叶级数：如果：就范正交系，
则称：傅里叶级数

4、 定义：由张成的线性子空间
的所有可能的有限个向量的线性组合

5、 等价定理
⑴、定理：如果：就范正交系，
那么：①；②；③
⑵、证明：
反证法：假设：
，

对于，当时，
对于，当时，

矛盾

假设：

闭集，

第四节 Banach空间的共轭算子

一、和

1、
⑴、定义：的全体线性算子，其中：线性空间
⑵、性质：线性空间
⑶、证明：①：定义加法：
定义数乘：
②：两种运算封闭：

2、
⑴、定义：的全体有界线性算子，其中：赋范线性空间
⑵、性质：赋范线性空间
⑶、证明：①：定义算子范数：
②：算子范数满足范数的3条性质【齐次性，三角不等式，正定性】

3、 定理
⑴、定理：如果：赋范线性空间，Banach空间
那么：Banach空间
⑵、证明：①：假设：的基本点列
对于，当时，
对于，当时，
【有界】
基本点列【固定】收敛点列【完备】
②：定义：算子：
的算子：闭集，
的线性算子：

的有界线性算子：

③：
收敛点列

二、共轭空间

1、 共轭空间
⑴、定义：如果：赋范线性空间，上的全体连续线性泛函
则称：的共轭空间
⑵、性质：赋范线性空间【实数域赋范线性空间】

2、 二次共轭空间
⑴、定义：如果：赋范线性空间，上的全体连续线性泛函
则称：的二次共轭空间
⑵、性质：赋范线性空间

3、 基本概念
⑴、定义：：
其中：上的泛函，

⑵、定义：保范算子：假设：赋范线性空间，的算子
如果：对于，都有：
则称：的保范算子

4、 基本性质

⑴、性质：上的线性泛函
⑵、证明：

⑶、性质：上的有界泛函
⑷、证明：

⑸、性质：
⑹、证明：

⑺、性质：上的保范线性算子
⑻、证明：未能证明

三、共轭算子

1、 定义：共轭算子：假设：赋范线性空间，
如果：存在
使得：对于，都有：
则称：的共轭算子

2、 共轭定理
⑴、定理：如果：赋范线性空间
那么：对于，共轭算子存在并且唯一
⑵、证明：①定义：对于
定义上的泛函
②线性：

③有界：
④存在：有界线性泛函
定义的算子

⑤唯一：假设：
【】

第五节 Hilbert空间的共轭算子

一、连续线性泛函的表示

1、 定理
⑴、定理：如果：赋范线性空间，上的线性泛函
那么：连续的零空间闭线性子空间
⑵、证明：①必要性：假设：
连续
闭集
②充分性：反证法：有界
存在点列，
构造点列，

闭集，
但是矛盾

2、 性质
⑴、性质：如果：【固定】
那么：由导出的有界线性泛函
并且：
⑵、证明：①线性：

②有界：【固定】
③公式：

3、 Riesz定理
⑴、定理：如果：Hilbert空间，上的连续线性泛函
那么：存在唯一的
使得：对于，都有：
并且：
⑵、证明：①存在性：假设：

含有非零元素

对于

②唯一性：假设：，对于，都有
，对于，都有
对于，
否则矛盾

二、共轭算子

1、 定理
⑴、定理：如果：Hilbert空间，内积空间，
那么：存在唯一的
使得：对于，都有：
⑵、证明：
①定义：【固定】
线性：
有界：

上的有界线性泛函
根据Riesz定理：存在唯一的，使得，
并且
②定义：的算子【给定一个，得到一个】
线性：

对于，
有界：

③唯一：假设：
【】

2、 共轭算子
⑴、定义：假设：内积空间，
如果：对于，都有：
则称：的共轭算子（伴随算子）

⑵、定理：如果：Hilbert空间，内积空间
那么：对于，存在唯一的

3、 Banach空间与Hilbert空间中的共轭算子
⑴、性质：在Banach空间中，
⑵、证明：

⑶、性质：在Hilbert空间中，
⑷、证明：

4、 性质：假设：Hilbert空间，内积空间

⑴、性质：
⑵、证明：

⑶、性质：
⑷、证明：

⑸、性质：
⑹、证明：

⑺、性质：
⑻、证明：①：根据共轭定理：

②：
对于

复习和重点归纳

第一章 预备知识

第一节 极限点和闭集

1、 极限点
⑴、定义：的极限点
⑵、定理：的极限点

2、 闭集
⑴、定义：导集、闭包、闭集
⑵、定理：闭集
⑶、性质：①：闭集
②：包含的最小闭集
③：闭集

3、 定义：，

第二节 Holder不等式和Minkowski不等式

1、 Holder不等式：

2、 Minkowski不等式：

第三节 和

1、 赋范线性空间
⑴、定义范数：
⑵、定义范数：

2、 Hilbert空间
⑴、定义内积：
⑵、定义内积：

第二章 Hilbert空间

一、投影定理

1、 归纳：极限和连续⑴度量空间⑵赋范线性空间⑶内积空间

2、 正交：⑴：定义：①②③④
⑵：性质：①②
③勾股定理④
⑶：正交补定理①闭线性子空间②

3、投影：⑴：投影的定义和性质
⑵：最佳逼近：如果：线性子空间，，在上的投影
那么：
⑶：变分引理：如果：完备凸集，
那么：存在唯一的，使得
⑷：投影引理：如果：线性子空间，
那么：
⑸：投影定理：如果：完备线性子空间，
那么：，使得，分解式唯一
⑹：推论：含有非零元素

二、就范正交系

1、 基本概念：⑴正交系⑵就范正交系⑶完备正交系

2、 有限正交系：定理：假设：内积空间中的就范正交系
如果：，，
那么：在上的投影
并且：，

3、 无限正交系：⑴：Bessel不等式：
⑵：等价定理：①②③

三、Banach空间的共轭算子

1、 和
⑴、性质：如果：的全体线性算子，其中线性空间
那么：线性空间
⑵、性质：如果：的全体有界线性算子，其中赋范线性空间
那么：赋范线性空间
⑶、性质：如果：赋范线性空间，Banach空间
那么：Banach空间

2、 二次共轭空间
⑴、概念：共轭空间二次共轭空间保范算子
⑵、性质：上的连续有界泛函上保范线性算子

3、 共轭算子
⑴、概念：共轭算子
⑵、定理：对于，共轭算子存在并且唯一

四、Hilbert空间的共轭算子

1、 连续线性泛函的表示
⑴、定理：连续的零空间闭线性子空间
⑵、性质：
⑶、Reisz定理：如果：Hilbert空间，上的连续线性泛函
那么：存在唯一的
使得：对于，都有：

2、 共轭算子
⑴、定理：如果：Hilbert空间，内积空间，
那么：存在唯一的
使得：对于，都有：
⑵、定义：共轭算子
假设：内积空间，
如果：对于，都有：
则称：的共轭算子（伴随算子）

⑶、定理：如果：Hilbert空间，内积空间
那么：对于，存在唯一的
⑷、比较：Banach空间与Hilbert空间中的共轭算子
⑸、性质：共轭算子的基本性质