泛函分析读书笔记(下).doc

第一章 预备知识第一节 极限点和闭集一、极限点1、 定义：极限点：假设：度量空间，中的点集， 如果：对于的任何一个环境 都有： 则称：的极限点2、 性质、性质：内点是极限点，孤立点不是极限点、证明：的内点的一个环境 对于的任何一个环境如果：如果：、归纳：点内点边缘点孤立点，极限点内点边缘点3、 等价定理、定理：假设：度量空间，中的点集，、的极限点、各不相同的、对于的任何一个环境，含有的无穷多个点、证明： 的极限点对于的任何一个环境，都有 对于的任何一个环境，都有在度量空间中， 、证明： 反证法：假设含有有限多个不同的点的一个环境，【剔除有限个点】但是对于，当时， 矛盾含有无穷多个不同的点各不相同的子点列、证明：各不相同的对于的任何一个环境的内点的一个环境 对于，当时， ，当时，含有无穷多个含有的无穷多个点【】、证明：对于的任何一个环境，含有的无穷多个点的任何一个环境，含有的无穷多个点，含有的无穷多个点二、闭集1、 基本概念、定义：的导集的所有极限点、定义：的闭包、定义：闭集，如果2、 分析、内点边缘点孤立点、内点边缘点内点边缘点 边缘点、内点边缘点孤立点3、 等价定理、定理：假设：度量空间，中的点集，、对于的任何一个环境，含有的点、证明： 或者 如果：对于的任何一个环境，含有的点 如果：的极限点对于的任何一个环境，含有的无穷多个点、证明：对于的任何一个环境，含有的点 对于的任何一个环境，含有的点对于的任何一个环境，含有的点 、证明： 如果： 如果：的极限点4、 核心定理、定理：闭集、证明：必要性：反证法：假设的极限点闭集矛盾充分性：反证法：假设闭集闭集的极限点矛盾5、 性质、性质：闭集、证明：闭集的极限点对于的任何一个环境，都有的极限点对于的任何一个环境，构造的环境满足：的极限点闭集、证明：闭集：证明同上6、 性质、性质：闭集、证明：首先证明：闭集 的极限点 对于的任何一个环境，都有对于的任何一个环境，都有的极限点：闭集、推论：包含的最小闭集、证明：假设：包含的最小闭集闭集，包含的闭集【最小】 包含的闭集闭集，【定理】 7、 性质、性质：闭集、证明：必要性：闭集 充分性：闭集8、 基本概念、定义：如果：赋范线性空间，中的点集 则称：由张成的线性子空间 中向量的所有可能的线性组合、定义：由张成的闭线性子空间第二节 Holder不等式和Minkowski不等式1、 定义：共轭指标：如果： 并且： 则称：一对共轭指标2、 引理、公式：其中：一对共轭指标，、证明：假设： 3、 Holder不等式、公式：其中：一对共轭指标，【实数点列】、证明：如果：或者或者结论成立：否则：令 4、 Minkowski不等式、公式：其中：，、证明：令的共轭指标5、 积分形式的Holder不等式和Minkowski不等式、Holder不等式、Minkowski不等式第三节 和一、定义1、 定义：2、 定义：二、线性空间1、 性质：线性空间、思路：定义加法：函数相加，定义数乘：函数数乘：两种运算保持封闭：满足8条规则、证明：加法封闭： 2、 性质：线性空间、思路：定义加法：数列相加，定义数乘：数列数乘、证明：同上三、赋范线性空间1、 性质：赋范线性空间、定义：、证明：满足范数的3条性质 ：齐次性：三角不等式：【Minkowski不等式】：正定性：2、 性质：赋范线性空间、定义：、证明：同上四、Banach空间1、性质：Banach空间2、证明：详见夏道行P61五、Hilbert空间1、 性质：Hilbert线性空间、定义：、证明：满足内积的3条性质：共轭对称性：第一变元的线性：正定性： 2、 性质：Hilbert线性空间、定义：、证明：同上3、 性质：不是Hilbert空间第二章 Hilbert空间第一节 极限和连续性1、 度量空间、定义：、性质：距离的连续性：2、 赋范线性空间、定义：、性质：范数的连续性：3、 内积空间、定义：【利用内积定义范数，再利用范数定义极限】、性质：内积的连续性：第二节 投影定理一、正交和投影1、 基本概念、定义：、定义：对于、定义：对于、定义：所有与正交的向量2、 基本性质：3、 性质、性质：、证明：、性质：、证明：、性质：、证明：对于对于、性质：、证明：、性质：勾股定理：、证明： 4、 正交补定理、定理：内积空间的闭线性子空间、证明：线性子空间 两种运算封闭： ：闭集 假设：对于 根据内积的连续性 闭集、推论：内积空间、证明： 【线性子空间，线性运算封闭】 【闭集，最小闭集】 5、 投影、定义：投影：假设：内积空间的线性子空间如果：对于，存在： 使得：， 则称：在上的投影、关键：投影投在线性子空间、性质：在上的投影、性质：投影不一定存在，如果存在必定唯一、证明：假设：在上的投影在上的投影 线性子空间 闭线性子空间 6、 最佳逼近、定理：假设：内积空间的线性子空间 如果：，在上的投影 那么：并且：上使等式成立的唯一向量、思想：利用上的变元，来逼近中的：如果存在投影，则最佳逼近等于投影、证明：在上的投影 【勾股定理】 唯一性：假设：上使等式成立的向量 二、投影定理1、 变分引理【极值可达】、定义：到的距离 、性质：完备闭集，线性子空间凸集、定理：假设：内积空间的完备凸集如果： 那么：存在唯一的，使得、关键：到的距离：完备凸集则极值可达、证明：点列存在点列，：基本点列平行四边形公式： 凸集 基本点列：收敛点列完备收敛点列 ：存在性完备闭集，根据范数的连续性 ：唯一性 假设存在，使得 构造点列： 基本点列【证明同上】 2、 投影引理、定理：假设：内积空间的线性子空间 ， 如果： 那么：、思想：极值可达点正交、证明：对于， 令 3、 投影定理、定理：如果：内积空间的完备线性子空间 那么：对于存在：，使得：、思想：任意向量在上的投影，存在并且唯一、证明：存在性：变分引理，使得 投影引理 构造唯一性：参见变分引理4、 推论、推论：如果：内积空间的完备线性子空间 那么：含有非零元素、证明：投影定理投影存在假设在上的投影 第三节 就范正交系一、级数1、 基本概念、定义：级数：、定义：部分和：【将级数转换为数列】、定义：收敛级数：如果，则称收敛2、 基本性质、性质：收敛、性质：收敛【】、性质：Cauchy收敛原理收敛对于，当时，二、有限正交系1、 基本概念、定义：正交系：假设：内积空间的一族非零向量 如果：对于，都有： 则称：正交系、定义：就范正交系：如果：正交系 并且：对于，都有： 则称：就范正交系2、 基本性质、性质：假设：内积空间中的就范正交系如果：，那么：、证明：3、 定理、定理：假设：内积空间中的就范正交系 如果：， 那么：在上的投影 并且：，、证明： 在上的投影：【勾股定理】 4、 推论、性质：如果：就范正交系， 那么：、证明：、性质：如果：就范正交系， 那么：对于，、证明：假设：，在上的投影假设： 根据最佳逼近定理三、无限正交系1、 Bessel（贝塞尔）不等式、定理：如果：内积空间中的就范正交系 那么：对于，、证明：就范正交系对于，就范正交系【单调递增，必有极限】2、 性质、性质：如果：内积空间中的就范正交系 那么：对于，、证明：对于，收敛四、完备正交系1、 定义：完备正交系：假设：内积空间中的就范正交系 如果：对于，都有： 则称：完备正交系2、 性质、性质：收敛、性质：基本点列、证明：假设： 收敛级数基本点列 对于，当时， 对于，当时， 基本点列3、 定义：傅里叶级数：如果：就范正交系， 则称：傅里叶级数4、 定义：由张成的线性子空间的所有可能的有限个向量的线性组合5、 等价定理、定理：如果：就范正交系， 那么：；、证明：反证法：假设： ， 对于，当时， 对于，当时， 矛盾 假设： 闭集，第四节 Banach空间的共轭算子一、和1、 、定义：的全体线性算子，其中：线性空间、性质：线性空间、证明：定义加法： 定义数乘：两种运算封闭： 2、 、定义：的全体有界线性算子，其中：赋范线性空间、性质：赋范线性空间、证明：定义算子范数：算子范数满足范数的3条性质【齐次性，三角不等式，正定性】3、 定理、定理：如果：赋范线性空间，Banach空间 那么：Banach空间、证明：假设：的基本点列 对于，当时，对于，当时，【有界】基本点列【固定】收敛点列【完备】：定义：算子： 的算子：闭集，的线性算子：的有界线性算子： 收敛点列二、共轭空间1、 共轭空间、定义：如果：赋范线性空间，上的全体连续线性泛函则称：的共轭空间、性质：赋范线性空间【实数域赋范线性空间】2、 二次共轭空间、定义：如果：赋范线性空间，上的全体连续线性泛函则称：的二次共轭空间、性质：赋范线性空间3、 基本概念、定义：其中：上的泛函，、定义：保范算子：假设：赋范线性空间，的算子 如果：对于，都有： 则称：的保范算子4、 基本性质、性质：上的线性泛函、证明：、性质：上的有界泛函、证明：、性质：、证明：、性质：上的保范线性算子、证明：未能证明三、共轭算子1、 定义：共轭算子：假设：赋范线性空间， 如果：存在 使得：对于，都有： 则称：的共轭算子2、 共轭定理、定理：如果：赋范线性空间 那么：对于，共轭算子存在并且唯一、证明：定义：对于定义上的泛函线性：有界：存在：有界线性泛函定义的算子唯一：假设： 【】第五节 Hilbert空间的共轭算子一、连续线性泛函的表示1、 定理、定理：如果：赋范线性空间，上的线性泛函 那么：连续的零空间闭线性子空间、证明：必要性：假设：连续闭集充分性：反证法：有界 存在点列， 构造点列， 闭集， 但是矛盾2、 性质、性质：如果：【固定】 那么：由导出的有界线性泛函 并且：、证明：线性：有界：【固定】公式： 3、 Riesz定理、定理：如果：Hilbert空间，上的连续线性泛函 那么：存在唯一的 使得：对于，都有： 并且：、证明：存在性：假设： 含有非零元素对于唯一性：假设：，对于，都有，对于，都有 对于， 否则矛盾二、共轭算子1、 定理、定理：如果：Hilbert空间，内积空间， 那么：存在唯一的 使得：对于，都有：、证明：定义：【固定】 线性： 有界： 上的有界线性泛函根据Riesz定理：存在唯一的，使得，并且定义：的算子【给定一个，得到一个】 线性：对于， 有界： 唯一：假设： 【】2、 共轭算子、定义：假设：内积空间， 如果：对于，都有： 则称：的共轭算子（伴随算子）、定理：如果：Hilbert空间，内积空间 那么：对于，存在唯一的3、 Banach空间与Hilbert空间中的共轭算子、性质：在Banach空间中，、证明：、性质：在Hilbert空间中，、证明：4、 性质：假设：Hilbert空间，内积空间 、性质：、证明：、性质：、证明：、性质：、证明：、性质：、证明：根据共轭定理： 对于 复习和重点归纳第一章 预备知识第一节 极限点和闭集1、 极限点、定义：的极限点、定理：的极限点2、 闭集、定义：导集、闭包、闭集、定理：闭集、性质：闭集 ：包含的最小闭集 ：闭集3、 定义：，第二节 Holder不等式和Minkowski不等式1、 Holder不等式：2、 Minkowski不等式：第三节 和1、 赋范线性空间、定义范数：、定义范数：2、 Hilbert空间、定义内积：、定义内积：第二章 Hilbert空间一、投影定理1、 归纳：极限和连续度量空间赋范线性空间内积空间2、 正交：定义：性质：勾股定理：正交补定理闭线性子空间3、投影：投影的定义和性质：最佳逼近：如果：线性子空间，在上的投影 那么：变分引理：如果：完备凸集， 那么：存在唯一的，使得：投影引理：如果：线性子空间， 那么：投影定理：如果：完备线性子空间， 那么：，使得，分解式唯一：推论：含有非零元素二、就范正交系1、 基本概念：正交系就范正交系完备正交系2、 有限正交系：定理：假设：内积空间中的就范正交系 如果：， 那么：在上的投影 并且：，3、 无限正交系：Bessel不等式：等价定理：三、Banach空间的共轭算子1、 和、性质：如果：的全体线性算子，其中线性空间那么：线性空间、性质：如果：的全体有界线性算子，其中赋范线性空间那么：赋范线性空间、性质：如果：赋范线性空间，Banach空间 那么：Banach空间2、 二次共轭空间、概念：共轭空间二次共轭空间保范算子、性质：上的连续有界泛函上保范线性算子3、 共轭算子、概念：共轭算子、定理：对于，共轭算子存在并且唯一四、Hilbert空间的共轭算子1、 连续线性泛函的表示、定理：连续的零空间闭线性子空间、性质：、Reisz定理：如果：Hilbert空间，上的连续线性泛函 那么：存在唯一的 使得：对于，都有：2、 共轭算子、定理：如果：Hilbert空间，内积空间， 那么：存在唯一的 使得：对于，都有：、定义：共轭算子假设：内积空间， 如果：对于，都有： 则称：的共轭算子（伴随算子）、定理：如果：Hilbert空间，内积空间 那么：对于，存在唯一的、比较：Banach空间与Hilbert空间中的共轭算子、性质：共轭算子的基本性质