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第五章习题第一部分01-151. M为线性空间X的子集，证明span( M )是包含M的最小线性子空间证明显然span( M )是X的线性子空间设N是X的线性子空间，且M N则由span( M )的定义，可直接验证span( M ) N所以span( M )是包含M的最小线性子空间2. 设B为线性空间X的子集，证明conv(B) = | a i 0, = 1, x iB, n为自然数证明设A = | a i 0, = 1, x iB, n为自然数首先容易看出A为包含B的凸集，设F也是包含B的凸集，则显然有A F，故A为包含B的最小凸集3. 证明a, b上的多项式全体Pa, b是无限维线性空间，而E = 1, t, t 2, ., t n , .是它的一个基底证明首先可以直接证明Pa, b按通常的函数加法和数乘构成线性空间，而Pa, b中的任一个元素皆可由E中有限个元素的线性组合表示设c0, c1, c2, ., cm是m + 1个实数，其中cm 0，m 1若= 0，由代数学基本定理知c0 = c1 = c2 = . = cm = 0，所以中任意有限个元素线性无关，故Pa, b是无限维线性空间，而E是它的一个基底。4. 在R2中对任意的x = (x1, x2) R2，定义| x |1 = | x1 | + | x2 |，| x |2 = (x12 + x22)1/2，| x | = max | x1 |, | x2 | 证明它们都是R2中的范数，并画出各自单位球的图形证明证明是直接的，只要逐条验证范数定义中的条件即可单位球图形略5. 设X为线性赋范空间，L为它的线性子空间。证明cl(L)也是X的线性子空间证明x, ycl(L)，aK，存在L中的序列 xn , yn 使得xn x，yn y从而x + y = lim xn + lim yn = lim (xn + yn)cl(L)，a x = a lim xn = lim (a xn ) cl(L)所以cl(L)是X的线性子空间注这里cl(L)表示子集L的闭包6. 设X为完备的线性赋范空间，M为它的闭线性子空间，x0 M证明：L = a x0 + y | yM, aK也是X的闭线性子空间证明若a, bK，y, z M使得a x0 + y = b x0 + z，则(a - b) x0 = z - y M，得到a = b，y = z；即L中元素的表示是唯一的若L中的序列 an x0 + yn 收敛于X中某点z，则序列 an x0 + yn 为有界序列由于M闭，x0 M，故存在$r 0，使得| x0 - y | r，y M则当an 0时有| an | = | an | r (1/r) | an | | x0 + yn/an | (1/ r) = | an x0 + yn | (1/r)，所以数列 an 有界，故存在 an 的子列 an(k) 使得an(k) a K这时yn(k) = (an x0 + yn) - an x0 z - a x0 M所以z L，所以L闭注在此题的证明过程中，并未用到“X为完备的”这一条件7. 证明：a. 在R2中，| |1，| |2与| |都是等价范数；b. | |1与| |2是等价范数的充要条件是：X中任意序列在两个范数下有相同的收敛性证明a. 显然| x | | x |2 | x |1 2| x |，所以| |1，| |2与| |都是等价范数b. 必要性是显然的，下面证明充分性首先inf | x |2 | | x |1 = 1 0若inf | x |2 | | x |1 = 1 = 0，则存在X中序列 xn ，使得| xn |1 = 1，| xn |2 0而任意序列在两个范数下有相同的收敛性，从而| xn |1 0这矛盾说明inf | x |2 | | x |1 = 1 = a 0对xX，当x 0时，| (x/| x |1) |1 = 1，所以| (x/| x |1) |2 a故xX有a | x |1 | x |2类似地可以证明存在b 0使得b | x |2 | x |1，xX所以两个范数等价8. 证明：Banach空间m不是可分的证明见教科书p187, 例3.59. 证明：是可分的Banach空间证明见第4章习题1610. 设X, Y为线性赋范空间，TB(X, Y)证明T的零空间N(T) = xX | Tx = 0 是的闭线性子空间证明显然N(T) = xX | Tx = 0 是X的线性子空间对xN(T)c，Tx 0，由于T是连续的，存在x的邻域U使得uU有Tu 0，从而U N(T)c故N(T)c是开集，N(T)是X的闭子空间11. 设无穷矩阵( a i j )，( i, j = 1, 2, .)满足，定义算子T : m m如下：y = Tx，其中x = (x i ), y = (h i ) m证明：T是有界线性算子，并且。证明因，及T是线性的，所以T为有界线性算子， 。对任意的实数，存在自然数使得。取，使得其第个坐标，则，且。所以，故有，从而。12. 设满足对有。证明是有界线性算子，。证明显然是线性算子。因为，所以，可见是有界线性算子，且。令（仅第个坐标不为零），则，。所以。13. 证明上的泛函是有界线性泛函，且。证明显然是线性泛函。对有，所以是有界线性泛函，且。进一步，取使得，则。得到。14. 取定，在上定义泛函如下：。证明是有界线性泛函，。证明显然是线性泛函，由，知有界。取使，则，得。15. 证明：。证明任取，显然是上有界线性泛函，且。又取使其第个坐标为其余皆为，则，。从而，进而另一方面，设为上有界线性泛函，令，则，从而。对，我们令，则注意到在中，以及为上有界线性泛函，故，并且满足这样条件的是唯一的16. 证明：n维线性赋范空间的共轭空间仍是一个n维线性赋范空间。证明设X是n维线性赋范空间， x1, x1, ., xn 是它的一个基令f i : X X表示，i = 1, 2, .则，注意到也是X上的范数，以及有限维线性空间上的范数都是等价的，故存在M 0使得，所以，所以f i X*下面证明 f1, f1, ., fn 是X*的一组基。事实上，f X*，所以。故X*为有限维空间，且维数不超过n若，则，所以 f1, f1, ., fn 线性无关，故X*维数为n。17. 证明：无穷维线性赋范空间的共轭空间仍是无穷维线性赋范空间。证明设X是无穷维线性赋范空间，由于典范映射J : X X*是保范的线性同构，故X*必定是无穷维空间由前面的习题16知道X*必然也是无穷维的18. 设X是赋范空间，M为X的子集，xX。证明：x cl( span(M) )的充分必要条件为f X*，若f (M) = 0则f (x) = 0证明设x cl(span(M)，则对f X*，若f (M) = 0，由于f是线性的和连续的，自然有f (cl(span(M) = 0，从而f (x) = 0反过来，设xcl(span(M)，则d(x, cl(span(M) 0由Hann-Banach定理，存在f X*，使f (cl(span(M) = 0，且f (x) = d(x, cl(span(M) 0，得到矛盾19. 验证极化恒等式。证明我们只对实内积空间来验证，对于复内积空间，方法是类似的| x + y |2 - | x - y |2 = - = ( + + + ) - ( - - + )= 420. 证明由内积导出的范数| x | = 1/2满足范数定义的三个条件。证明前两个条件是显然的，我们只证明三角不等式事实上，| x + y |2 = = | x |2 + + + | y |2 = | x |2 + 2 Re() + | y |2 | x |2 + 2 | | + | y |2 | x |2 + 2 | x | | y | + | y |2 = (| x | + | y |)2所以三角不等式成立21. 证明内积空间中的勾股定理。证明设x = x1 + x2，且x1 x2则 = = 0，所以| x |2 = | x1 + x2 |2 = = + + + = + = | x1 |2 + | x2 |222. 设X是内积空间，。证明：。证明对，因，得，故，所以。23. 设X是内积空间，。证明：。证明对，由，及，知，故。所以。24. 设H为Hilbert空间，M是H的线性子空间。证明：，。证明对，显然有，从而，故。若，由投影定理，设，其中，且。此时，故有，所以，故。由23题结果，而对，故，所以,因此，故有。25. 设X为内积空间，M是X的线性子空间，满足：对任何，它在M上的正交投影都存在。证明：M是X的闭线性子空间。证明对，由于存在它在上的正交投影，故可设，其中，。由26题知，而，故，所以，因此，即为的闭子空间。26. 设X为内积空间，M是X的稠密子集， e n 是X的标准正交系。证明： e n 完备的充要条件是在子集M上，Parseval等式成立证明由 e n 完备性定义知必要性是显然的，下面证明充分性。对xX，由M在X中稠密，对任意的，存在，使得，。而对于，Parseval等式成立，即，存在自然数使得。下面估计：（三角不等式）（用放大），由的任意性，及Bessel不等式有。即xX，Parseval等式成立，所以 e n 是完备的标准正交系。27. 设X为内积空间， e n 是X的标准正交系。证明：x, yX，都有。证明 由Cauchy-Schwarz不等式，及Bessel不等式，有。28. 设H为Hilbert空间， e n 是H的标准正交系。证明： e n 是完全的的充要条件是：对于x, yH，都有。证明若 e n 是完全的，则它是完备的于是x, yH总有，计算x, y的内积得：。反过来，若x, yH都有，令y = x，则有Parseval等式成立，从而 e n 是完备的，所以在Hilbert空间H中 e n 是完全的。29. 设H为Hilbert空间， e n ，是H的两个标准正交系，其中 e n 是完备的，并且它们满足条件，并且。证明：也完备的。证明对xH，若，由于 e n 是完备的，所以如果x 0，则上式将导出矛盾：| x | | x |，故必有x = 0所以是完全的，因而也是完备的。30. 设H为Hilbert空间，M是H的线性子空间，f是M上的有界线性泛函证明：存在f在H上的唯一的延拓F，使得| F |H = | f |M证明首先，存在f在L = cl(M)上的唯一的延拓g，使得g为L上的有界线性泛函，并且| g | = | f |若L = H则结论显然成立若L H，在L上用Rieze表示定理，$u L，使得g(x) = ，对x L在H上定义F(x) = ，x H则F为H上有界线性泛函，且| F |H = | u | = | g |L = | f |M，而且F是g的延拓，因而F也是f的延拓若G也是f的满足条件的延拓，用Rieze表示定理，存在$v H，使得G(x) = ，x H因f在L上的的延拓唯一，故G|L作为L上的有界线性泛函就是g，故x L， = G(x) = g(x) = ，所以 = 0，即v - u L因u L由勾股定理，| v |2 = |(v - u) + u |2 = | v - u |2 + | u |2而| u | = | F |H = | f |M= | G |H = | v |，故| v - u |2 = 0，即v = u从而G = F，即f在H上的满足条件的延拓是唯一的