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第四章 内积空间
第四章 内积空间
在第三章中，我们把维空间中的向量的模长推广到一般线性空间中去，得到了赋范线性空间的概念。但在中可以通过两个向量的夹角讨论向量与方向的问题。这对仅有模长概念的赋范线性空间是做不到的。我们知道，中向量的夹角是通过向量的内积描述的，因此在本章我们引入了一般的内积空间的概念。
4.1 内积空间的基本概念
首先回忆几何空间中向量内积的概念。设，，设与夹角为，由解析几何知识可得

其中， ，
令，称为与的内积，不难证明它有如下性质：
（1）
（2）
（3）
（4）
注：由定义可得，我们看到，两个向量的夹角仅与向量的内积有关。利用内积我们可以讨论如向量的直交及投影等重要几何问题。
现在我们引入一般的内积空间的概念。
【定义 4.1】 设为数域上线性空间，若对任两个元素（向量），，有惟一中数与之对应，记为，并且满足如下性质：
（1）
（2）
（3）
（4）
则称为与的内积，有了内积的线性空间叫做内积空间，当为实数域（或复数域），叫为实（或复）内积空间。
注:由性质（3）与性质（4）知，内积运算关于第一变元是线性的。
由性质（2）与性质（4）可推知.于是当为内积空间时，内积关于第二个变元也是线性的。而常称为共轭齐次性，因此在为赋内积空间时，内积是共轭线性的。
今后讨论中不加注明时，恒设为复内积空间。
【引理 4.1】（Schwaraz不等式） 设为内积空间，对任意，，成立不等式

证明：若，则任，有，则显然不等式成立。现在设，则，有

取代入上式可得，由此可得

证毕。
【定理 4.1】 设为内积空间，对任，令，则是的范数。
证明：因范数的前两条性质可直接由内积的性质推出，我们仅验证它满足第三条性质（即三角不等式）。事实上

故有.证毕。
注：常称为内积导出的范数，于是内积空间按此范数成为一个赋范线性空间。在此意义下，第二章关于赋范线性空间的有关内容都适用于内积空间。特别当内积空间按由内积导出的范数完备的，称为Hilbert空间。
以下介绍几个常用的Hilbert空间的例子。
例 4.1 表示（实或复）Euclid空间，对于，，类似于几何空间中向量的内积定义，令

不难验证成为一个空间。
例 4.2 ，当，
时，令

容易证明成为内积空间。以下证明为Hilbert空间。任取列
，则对任当时，有

因而有

故数列是列，因数域完备，则存在，使
，令，则任，当时，有

则令，对每个及任，有

因而，亦有，只要，所以，注意是线性空间，则
，且，，这即表明在中收敛，故为Hilbert空间。
例 4.3 为有限或无穷区间，对任，定义内积

这里中的元素是实值或复值二次可积函数，也不难验证是内积空间。现在证明是Hilbert空间。
设为列，则对每个，存在自然数，有

对任有限区间，由不等式，有

式中，为的长度。
故级数收敛，于是由引理（见第一章）我们有

从而知是集上可积函数，则比在上为处处有限函数，即级数在上几乎处处收敛，而为中任意有限区间，则级数在上几乎处处收敛，因而级数在上几乎处处收敛，亦即函数在上几乎处处收敛于函数.
现在证明，且.
对任意，因为中列，则存在，当时，有，即

令，利用第一章积分的性质，得到

即，且，因此.因此列在中收敛，故是Hilbert空间。
（1） 内积的连续性。设，则有

证明：由不等式，得

因收敛有界。证毕。
（2） 极化恒等式。对内积空间中元素与，成立

证明可直接运用范数的定义和内积的性质得到。留给读者作为练习。
注：当为实数内积空间时，则极化恒等式为

（3） 中线公式。对内积空间中元素与，成立

证明：

证毕。
注：也常称中线公式为平行四边形公式。因在平面中，平行四边形的对角线长度的平方和等于四条边的长度平方和。另外，可以证明中线公式是内积空间中由内积导出的范数的特征性质，即当为赋范线性空间时，若对其中任何元素与关于范数成立中线公式，则必在中可定义内积，使范数可由此内积导出。也就是一个赋范线性空间成为内积空间的条件是其范数要满足中线公式。因此，内积空间是一类特殊的赋范线性空间。
例如，当且时，不是内积空间。因为，取，，则，且，显然不满足中线公式。
又例如，按范数不是内积空间。这只要取，及，，则，且，明显不满足中线公式。
再例如，当且时，也不是一个内积空间。

习题 4.1

1. 证明：Schwarz不等式中等号成立与线性相关。
2. 设为实内积空间，，若，证明：.若，所证明事实有什么几何意义？
3. 设为内积空间，，若对任何，有，试证明.
4. 设为Hilbert空间，，求证的充要条件是，且
.
5. 验证极化恒等式。
6. 设是维线性空间的一组基，对于，有惟一表示
，其中，求证是上一个内积的充要条件是存在正定矩阵，成立

4.2 内积空间中元素的直交与直交分解
4.2.1 直交及其性质
仿照中两个向量的直交概念，我们有如下定义。
【定义 4.2】 设是内积空间，，若，称与直交，记为.设，若与每个元素直交时，则称与直交，记为.又，若，都有，则称与直交，记为.设，记,则称为的直交补。
由以上定义，可得如下简明事实（性质）：
（1） 零元素与中每个元素直交。
（2） 若，则.
（3） .
（4） 若，则.
（5） 任，若，则；若，则.
此外我们还有一下几条有用性质：
（6） 若，且，则.
这是因为.
（7） 若，且，则成立勾股公式.
这个性质留给读者自己验证。
（8） 对任，则是的闭子空间。
事实上，任意，则对每个，有，，于是有，故；又任意，，则任意，有，故，因此成为的线性子空间。现在证明是闭集。若，则为闭集，当，任取，则存在，有.对任意，应用事实（6），有

则，于是推得，即，因此为闭集。证毕。
（9） 设为非空集，则.
事实上，因，则.另外，对任意，任意取，若，则是中有限个元素的线性组合，即

于是，即.
而当，则存在元素，有，由以上证明知，于是由性质（6）得知.综上所说，，故.证毕。
4.2.2 直交投影及变分引理
仿照中向量在坐标轴上投影的概念引入以下定义。
【定义 4.3】 设是内积空间的一个线性子空间，，若存在，，使成立，则称为在上的直交投影（可简称为投影）。
注：一般情况，某个元素在的某个空间上不一定存在投影。但当投影存在时，则可证明投影的惟一性。因为若及都是在上的投影，则由定义有，，于是，故.
对于，任向量在轴（即子空间）上有投影为.并且知道点到轴上每个点的距离最小者为.这种现象如何在一般的（特别是无限维）内积空间中表现是个需要探讨的问题。为此，我们首先给出重要概念。
【定义 4.4】 设是度量空间，是中非空子集，，则称为到集的距离，记为.若存在某，使，则称为在中最佳逼近元。
注：一般情况下，某元，在某集中不一定存在最佳逼近元。并且在最佳逼近元存在时也不一定惟一。因此，最佳逼近元的存在性及惟一性成为逼近理论中一个主要研究方向。
在此我们仅介绍一个在微分方程，现代控制论等学科都有重要应用的基本结果。
【定理 4.2】（极小化向量定理） 设是空间中的凸闭集，则任意，必有中惟一存在最佳逼近元。
证明：令，则存在，使.因是凸集，则，于是必有.
在中线公式中以代换，以代换，则有

因此是完备内积空间中列，则存在，使.因是闭集，则，并且有

这证明了最佳逼近元的存在性。
现在证明惟一性。设也是的最佳逼近元。还是由中线公式得

故，即.证明。
我们通常也称此定理为变分引理。由于子空间一定是凸集，并注意定理的证明过程，则定理条件改为是内积空间中完备的子空间时，定理结论仍成立。
4.2.3 投影定理
【定理 4.3】（投影定理） 设是内积空间的完备线性子空间，则任意，必在中惟一存在投影。即必惟一存在，使.
证明：由题设，依据极小化向量定理，在中存在最佳逼近元，记为

任取复数，则，且有

当时，取代入上式，得

于是推得，再注意，此式也成立，因而.令，即有.投影的存在性得证。
投影的惟一性已由定义4.3的注得证。证毕。
注：（1）为空间时，则对任闭集子空间投影定理成立。
（2）表达式也常称为元素的直交分解，故投影定理也叫做直交分解定理，是中向量的直交分解的推广。由于在一般赋范线性空间中没有直交概念，因此不能讨论直交分解的问题。
（3）对于空间及子闭空间，在投影定理条件下有

即表示为两个直交子空间的直和，常称为与的直交和，或直交分解。
投影定理在内积空间理论中是极为重要的基本定理。由于投影，就是元素在子空间中的最佳逼近元，因此在现代逼近论，概率论以及控制论中许多问题都可以抽象为如下的数学问题。
设是内积空间，且，问是否存在个数，使得
，其中.并且一般假设线性无关。
由于是一个维赋范线性空间，故完备，则由投影定理，对于，必惟一存在，使.
现在我们给出求解的方法，因，则由投影定理，我们有

即得线性方程组

记其系数行列式为.因为方程组已知有惟一解，故，并且可计算出.
最后，我们再给出投影定理的两个推论。
【推论 4.1】 设是内积空间的真闭线性子空间，则中必有非零元素。
证明：由题设，则存在.由投影定理得知，存在，，使得，于是必，否则，与之矛盾。证毕。
【推论 4.2】 设是内积空间的真闭线性子空间，则.特别当，则在中稠密。
证明：由性质（8），是中真闭线性子空间，因完备，则完备。显然，有，于是。同样得知也完备。如果，于是关于，应用推论4.1，存在非零元素，且，故，从而，矛盾。从而必有，证毕。

习题 4.2

1. 设是实内积空间，若，则.问是复内积空间时，结论是否成立？
2. 证明：内积空间中的两个元素直交的充要条件是对任意数，成立.
3. 设是内积空间中两两直交的非零元素组，求证：线性无关。
4. 设是内积空间，，则对任意，有.
5. 设是空间，是的子集，求证是包含的最小闭子空间。
6. 设是空间中非空子集，求证：.
7. 设为空间中全体偶函数的集合：
（1） 求证是中全体奇函数。
（2） 任意，求在上的投影。
8. 设为空间，元素列且两两直交，求证：级数收敛数值级数收敛。
9. 证明：直交性质（1）-（5）.
10. 设是内积空间中两两直交元素组，求证：.

4.3 直交系
返照中情况，在内积空间引入直角坐标系的概念。
【定义 4.5】 设是内积空间中一个不含零元的子集，若中任意两个不同元素都直交，则称为的一个直交系。又若中每个元素的范数都是1，则称为标准直交系。
注：为了简单起见，我们仅讨论至多含可列个元素的直交系，因为对不可列情况，在方法上同可列情况并无本质的区别。
例 4.4 在（实或复）空间中

是一个标准直交系。
例 4.5 在内积空间，以下元素列是一个标准直交系

其第个分量是1，其余分量都是0，
例 4.5 在实内积空间中，若定义内积为

则三角函数系

是的一个标准直交系。
【定义 4.6】 设是内积空间中一个标准直交系，对任，称为元素关于的系数，常简称为的系数。于是有形式级数，称为元素关于可以展开为级数。
注：一般情况下，级数不一定收敛。即或收敛，也不一定收敛于.在什么条件下元素可以展开为级数的问题自然是重要的。
【定理4.4】 设是内积空间中一个标准直交系，记

对任意给定，则在上的投影是，即是在内的最佳逼近元。
证明：因，由于，则只须证明.由4.2性质（9），又仅须证于是由，知结论成立。证毕。
注：任意，任，成立

【定理4.5】（Bessel不等式） 设是内积空间中一个标准直交系，则对任意，成立Bessel不等式

其中，
证明：已知，其中，则由勾股定理得

令，得结论成立。证毕。
注：Bessel不等式指元素在每个上投影的范数的平方和不大于的范数；由此知为收敛级数，于是推得事实

特别对内积空间关于标准直交系三角函数系（见例4.3），对任意，其系数为

其中即通常的系数，则由Bessel不等式，得

注意这里用了收敛正项级数的可交换性。
在内积空间给定标准直交系情况下，，其对应的系数构成一个序列，并确定了由到内积空间内的一个映射为

其中，.不难证明是线性映射。
反之，任意中的元素，一般情况下，不一定存在中元素，使，，但在完备时，有以下定理。
【定理4.6】（） 设是内积空间中一个标准直交系，则对任意，惟一存在，使，，且成立等式

证明：令，因为，由于级数收敛，则根据收敛准则，有

故是完备空间中一个列，则存在，有

现在设为任意自然数，则

再注意，令，即得等式.
最后证明惟一性。若，也满足定理结论
，且
则因（由定理4.3），令，推得.由极限的惟一性，必.证毕。
注：在为空间时，可确定一个有到内的映射。但在一般情况下，不能断定映射是满射。因此不一定为由到上的一一映射。
在维空间中，标准直交基（直角坐标系）的极大性是至关重要的，对此我们有如下推广。
【定义4.7】 设是内积空间中一个标准直交系，若对任意，有，，则必，我们就称是完全的。
如例4.2中的标准直交系是中一个完全的标准直交系。
【定理4.7】（） 设是空间中一个标准直交系，则一下的命题等价：
（1）是完全的；
（2）对任意，成立等式，其中，；
（3）对任意，有，其中，；
（4）对任意两个元素有

证明：（1）（2）.设是完全的，对任意，记，，则由定理4.5知，再由定理4.6知，惟一存在，使得且成立因为，，则，.由于是完全的，于是必有，因此有，命题（2）成立。
（2）（3）.现在假设命题（2）成立，任意取，令，，，则有

即得，于是命题（3）成立。
（3）（4）.现在假设命题（3）成立，任意取，令，，则有，.于是可得

即命题（4）成立。
（4）（1）.现在假设命题（4）成立，取，若，，此时任取，有，即，故，因此命题（1）成立。证毕。
注：若空间存在的标准直交系，则任意，有，映射是由到上的一个等距同构映射，故与的等距同构。
以下的定理在判别某标准直交系的完全性时是经常有用的。
【定理4.8】 设是空间中一个标准直交系，如果等式在中某稠密子集上成立，则是完全的。
证明： ，则是的闭线性子空间。任，令，，则由假设成立，同定理4.7（2）（3）之证明得，故.于是.因是闭集，则，即得.由定义，任，有，且，.因此由定理4.7命题（3）成立推得则是完全的。证毕。
例 4.7 中三角函数系是完全的。

因为取在中稠密。对任意三角多项式不难验证成立等式。
根据定理4.7，对任意，其中级数

依范数收敛于.但这并不能推知每个，有

由线性代数及解析几何的知识，我们知道直交组比一般的线性无关组的性质更为优越，若某向量可用标准直交组线性表示，其组合系数有内积容易求出，十分方便。
以下介绍一个得到标准直交系的常用的方法。对内积空间中已知的某线性无关序列，通过标准直交化过程可获得一个标准直交系。其过程如下：
第一步，把标准化，令

第二步，记由定理4.4得知，在上的投影为，由投影定理，记，则.因为，线性无关，则，此时令

不难看出有
第三步，记，也由定理4.4得知，在上的投影为，依据投影定理，记，则，因为，，线性无关，则，此时令

且易知
于是归纳有第步，记，同样由定理4.4得知，在上的投影为，并根据投影定理，记，则，，又因为，，线性无关，则，此时令

则易知
于是以上程序无限进行下去，即得一个标准直交系.
由定理4.7后面的注得知具有可列的完全的标准直交系的空间与等距同构。因是可分的（即存在有限或可列稠密子集），则也是可分的。相反地，我们有如下定理。
【定理4.9】 设是空间，则
（1） 若是可分的，则必有至多可列的完全的标准直交系；
（2） 设是无限维的可分空间，则的每个完全的标准直交系都是可列集。
证明： 由于存在有限或可列（也称为至多可列）个元素，使，且不妨设为线性无关集合。由标准直交化程序，可构造出对于的（等势的）标准直交系.当为维内积空间时，则有，故有

从而有

于是必有

故是完全的。定理4.9（1）证毕。
又X存在可列稠密子集D，任取X一个完全标准直交系M，则M是一个无限集。任取，M，且，都有

记 ，
则。由于在中稠密，则存在，，有。于是的势大于的势。因而必是可列集。证毕。
习题4.3
1. 在内积空间中，试给出一个使不等式成为严格不等式的例子。
2. 设是内积空间中一个标准直交系，求证对任意，，有

3．设是内积空间中一个标准直交系，给定，令，则对任意，求证：
（1） 使成立不等式的仅有有限个；
（2） 设的个数为，则有。
4．在中，试将，，标准直交化。
5．求，使取最小值。
6．设是空间中一个标准直交系，若，有
，
求证：（1） ；（2）级数是绝对收敛的。
7．设是空间中一个标准直交系，给定，若，求证且有。
8．设是空间中一个完全标准直交系，试问是否每个都可用 线性表示。
9设是空间中一个标准直交系，任意，求证在中收敛，并且与每个直交。
4.4空间上有界线性泛函
在理论及应用中,对一个具体的赋范线性空间来说,往往要和它的共轭空间结合一起来研究。为此,知道有界线性泛函的一般形式,自然是十分重要的。对于一般赋范线性空间,获得这种表示是相当困难的。但对于空间,情况却非常简单。
4.4.1 定理
【定理4.10】 设是空间，对于每个，惟一存在，使任意，有

并且还有

证明：若为零泛函，则取中零元素即可。现在设，令为的零空间。因是连续线性泛函，则是的闭子空间。因，则必有为的真子空间。由投影定理，必定有且。所以
任取，因为

则。于是有

从而得。此时令，即有

存在性得证。
现在证明由惟一确定。如果还有，使

于是有，，即，所以，惟一性得证。
最后证明。当，事实明显。现在设，则。首先由不等式有
，
于是推得；
另一方面，取，又有

于是推知。因此必成立。定理证毕。
注：定理4.10告诉我们产生了一个由到内的映射。现在要说明它是一一映射。因为任意取定元素，则确定上一个泛函为
，
由内积的性质可知是线性的。再由不等式，有
，
因而是有界泛函，且，故。类似于定理4.10的证明，可推知。
于是可得以下的由到上的映射是个一一映射：
，，使，。
任取复数及元素，令
，，
则对任意，有

即有
因此称为复共轭线性映射，并且有

即是一个等距映射（或称为保范映射）。故称映射是到上的复共轭等距映射。在这种意义下，认为元素与对应的泛函是一致的，即。因此，称为自共轭空间（必须注意是在复共轭等距同构意义下）。
4.4.2 空间上的共轭算子
我们曾在第3章讨论过赋范线性空间上的共轭算子问题。现在我们利用空间与共轭空间的一致化，引入所谓空间上的共轭算子概念。这类算子是在研究矩阵及线性微分（或积分）方程的问题中提出来的，有着广泛的应用。
【定义4.8】 设和是两个内积空间，是一个有界线性算子。又设是有界算子，若对任意的，都有

就称是的共轭算子（或伴随算子）。
注：在复空间情况下，第3章关于赋范线性空间所引进的共轭算子与定义4.8所陈述的共轭算子并不完全一致，设及复数，按第3章所述定义，有

但依定义4.8的概念，却有

而在实空间情况下，两者完全一致。
例4.8 设为复空间，对于有界线性算子，则为行列的矩阵，即

当时，有

此时，任取，有

其中

我们看到共轭算子是的转置共轭矩阵。
如果是维（实或复）内积空间，取定为其一个标准直交基，是维（实或复）内积空间，取定为其一个标准直交基。设是一个线性算子（则一定有界）。令

则任意，有惟一表示，于是有

不难看出，线性算子由一个行列的矩阵所决定。类似于空间的情形，可得的共轭算子由的转置共轭矩阵表示。
以下定理说明了一般情况下共轭算子的存在性。
【定理4.11】设是空间，是内积空间，则对任意有界线性算子，必惟一存在共轭算子。
证明：对任意取定，确定了上线性泛函，其中。因

则，且。由定理，惟一存在有

我们得到了算子为，且。使对任意的，有。
现在证明是由到的有界线性算子。任意取复数及元素，因有

因此。这说明是线性的。再由的定义，对任意的，有，因此有，即为有界线性算子，而的惟一性是明显的。证毕。
再给出一个实例。设是矩形区域上平方可积函数，则由核定义了空间上的有界线性算子为

是一个型积分算子。现在求的共轭算子。任取，因为在给定条件下可交换积分次序，有

故有 。即是以为核的型积分算子。
由例4.8,我们看到共轭算子是转置共轭矩阵概念的推广，因此它必然具有许多类似转置共轭矩阵的性质。
【定理4.12】(共轭算子的性质) 设，是空间，是内积空间。，是复数，则以下命题成立：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）存在有界线性逆算子的充要条件是也存在有界线性逆算子，有；
（7）。
证明：（1）任取有

因此有。性质（1）得证。
（2）证明留给读者证明。
（3）任取有，因此有。于是
由定义4.8得知。性质（3）得证。
（4）由定理4.11的证明已知。因此也有，即。于是必。任取，因

则得。
另一方面，任取，且，有

则得

即有。
综上所证就得到。性质（4）得证。
（5）由假设知。任取，因

于是有。性质（5）得证。
（6）设存在有界线性逆算子，则，其中 分别是及上单位（恒等）算子。因明显有，则利用性质（5）可得

因此知是的逆算子，即成立。反之，设存在有界线性逆算子，于是由前证有存在有界线性逆算子。性质（6）得证。定理证毕。
（7）设，则，于是由性质（6），存在有界线性逆算子，而，可见，故。
同理可证

即

所以
而分别是，的余集，因此

习题4,4
1设是空间，是内积空间，若，有，求证。
2设是空间，求证是自反空间。
3证明，其中分别是空间上单位算子和零算子。
4 试求作用于上的算子的共轭算子：
（1）
（2）。
5试求作用于上的算子的共轭算子：
（1），其中，是实常数；
（2），其中。
6 设是复空间，。求证：若，则对任意，有。
7设是空间，且，求证：。
8设，是空间，。记的零空间与值域分别为，。
（1） 任，若，求证；
（2） 若（1）中，，都是闭线性子空间，若，求证；
（3） 求证；
。
9 设是复空间，是的闭线性子空间，求证：若是是某个非零有界线性泛函的零空间，则是的一维空间。
4.5自共轭算子
在4.4节中我们引进了空间上共轭算子的概念，如果，那么。当是实空间且是有穷维时，算子就可看成实方阵，而就是的转置。若=，那么矩阵就是对称矩阵。通过线性代数我们知道，对称矩阵有很多好的性质。在这里我们将对称矩阵的概念一般化，引入一类重要的算子。
【定义4.9】 若=，则称为自共轭算子（或自伴算子）。
【定理4.13】 设是空间，则下面的结论成立：
（1） 若，则为自共轭算子当且仅当对是实数。
（2） 若且为自共轭算子，则对任何实数是自共轭算子。
（3） 若且为自共轭算子，则是自共轭算子的充要条件是。
证明：（1）设对任何，是实数，来证。由于

所以，令，那么。又
及
于是得
及
故，对，可见，即是零算子。于是。
反之，若，则

那么是实数。
（2）由性质（1）之证，由于是实数，所以是自共轭算子。
（3）首先设，那么由共轭算子的性质知

即自共轭，反之

注：从定理4.13的性质（2）可以看出，自共轭算子组成的一个实线性子空间，而且从下面的定理近一步得知，这个子空间在算子的一致收敛和强收敛下均是闭子空间。
【定理4.14】设是一列自共轭算子，。若对每个，有，则是自共轭算子。
证明：对，由及内积的连续性得

故
【推论4.3】设是一列自共轭算子，，且，则也是共轭的。
证明：由算子的一致收敛可推出算子的强收敛，再由定理4.14可证得此推论成立。
【定理4.15】自共轭算子的每个谱点都是实数。
证明：设，来证，则。对每个是实数，于是

可见算子是一对一的，下面证的值域是闭的。
设，于是有。
由式得

因此是列，而完备，故存在，使。根据的连续性，有，即。这样由投影定理得知，为证，仅需证。若不然，设，但。因为，那么

亦即。注意到是自共轭算子，等式左边是实数，而等式右边是复数，矛盾。故，这说明是上一对一满设。因此由逆算子定理，即。
从定理4.15可见自共轭算子的谱集是实数轴上的一个有界闭集，下面的定理4.16进一步说明谱集的范围。
【定理4.16】 对于自共轭算子，令

则：
（1）；
（2）且。
证明：记，对于，有，于是，即。
另一方面，对任何可直接验证下面等式成立：

于是得

设特别取，则
，即
故，因此。

仿定理4.15之证，得。同理，若可得。这样下面来证（类似可证，）。
注意到

得
可取列使得，且。又

故不存在有界线性逆算子，若不然，则由

得出矛盾。
就一般而言，自共轭算子未必有特征值，但当算子是紧自共轭时，特征值一定存在。
【定理4.17】设是紧自共轭算子，那么有特征值。
证明：如果是零算子，则结论显然。现设（零算子）。不失一般性，设，则，由之定义，此时。取且，使。因是紧算子，那么有收敛子序列。设，因为

则
所以，即。因，则，所以是的特征值。
结合第3章关于紧算子的理论，如果是自共轭算子，那么的谱集将十分简单，即存在一组互不相同的非零实数（有穷或可列），每个是的特征值，使
。记，即为算子对应特征值的特征子空间的维数，为该子空间的规范正交基，则若可以展成

则。
习题4.5
1在中举例说明线性算子满足，但不是自共轭算子。
2设是空间上的自共轭算子，证明：对任何偶自然数都有。
3设（二维酉空间），定义算子为
求，并证明。
4设是空间，称为正规算子，是指。证明：如果 是自共轭算子，则是正规算子，请举例说明是正规算子，但却不是自共轭算子。
5设是空间，，证明：为正规算子的充要条件是存在两个自共轭算子，且，使。
6设是空间上一列正规算子，，若，证明：为正规算子。
7若是空间上一个正规算子，证明：。
4.6 投影算子 正算子和酉算子
利用投影定理我们引进投影算子的概念，投影算子也是一类非常重要的自共轭算子。
【定义4.10】 设是空间的一个给定的闭子空间，则对，
由投影定理，存在惟一的垂直分解其中。定义算子 为，并称为由到上的投影算子。
注：根据投影算子的定义，对每个投影算子，惟一对应一个闭子空间，使，为清楚起见，有时记为。
【定理4.18】
（1）投影算子是有界线性算子。
（2）当时，。
（3）。
（4）即是幂等算子。
证明：对任意及任意元素，有

由于，都是线性子空间，那么

故。因此
即是线性算子。另一方面，由，得，即，说明是有界的。
因，取，由的定义有，于是等价于

因此，，得。
定理4.18之性质（3），性质（4）由的定义显然成立。
【定理4.19】为投影算子的充要条件是：（1）是自共轭算子；（2）是幂等，即。
证明：设是投影算子，则条件（2）自然成立，仅需证明是自共轭算子，对任意，记

于是

故，因此。
反之，设条件（1），设条件（2）成立，来证明是某一闭子空间上的投影算子。记（算子的值域），显然是的子空间。我们来证是闭的。
设，取使，根据条件（2），再由的连续性，得。故。对，来证。事实上由条件（1）和条件（2），对任何，有

可见，特别且，即是的投影算子。
读者利用定理4.19很容易证明投影算子的如下性质：
（1）设是两个投影算子，则为投影算子的充要条件是，此时是的投影算子。
（2）设是两个投影算子，则为投影算子的充要条件是，此时是的投影算子。
现在引进另一类特殊的自共轭算子正算子。
【定义4.11】设是空间，是上自共轭算子，若对，有。则称为正算子。记为。
注：（1）通过正算子的概念，我们可对自共轭算子类引进一种序，设，是自共轭算子，若，则记（注意 ，不必是正算子）。
（2）对上的任何有界线性算子，及都是正算子，这是因为
，
（3）若是正算子，是两个非负实数，则也是正算子。
（4）若是正算子，则成立广义不等式即

证明可参见不等式的证明过程，利用展开，把他留作习题。
【定理4.20】 设为自共轭算子，若，且有常数，使，则存在自共轭算子，满足强收敛于，即，有

证明：对每个来证数列收敛，事实上，对，有

且
所以是单调上升的有界数列，于是存在。
接下来证明是中列。从前面注中的关于正算子的广义不等式应用于得

因此

又从前面证得存在，在上式中令，则

故是列，由完备性知存在，定义为。显然是线性算子，且，说明是有界算子，再注意到是实数，因此也是实数，所以是共轭算子。
注：定理4.20对单调减算子结论依然成立，即条件改为。
【定义4.12】 设为正算子，
【定理4.21】设是空间上的正算子，则必惟一存在平方根算子。
证明：因正算子满足

于是
所以
可见，不失一般性，设，记，则是正算子，构造迭代

通过数学归纳法来证明是单调上升的自共轭算子，且。当时， 且，因此均是正算子的非负系数多项式，假定结论对成立，即均是正算子的非负系数多项式，且因为，因此由归纳假设也是正算子的非负系数多项式，且，故。这样是单调上升的自共轭算子（事实上也是正算子）。于是由定理4.20，存在自共轭算子，使，由于对每个，因此。于是有

故，即。在两边取极限得

再令及，得。这便证明了平方根的存在性。下面证惟一性。设另有正算子，使，显然，因此与可交换，根据前面的证明知道，与亦可交换（与所有与可交换的算子可换）。
对，令，则

因此，，又都是正算子，由前面证存在算子，使，于是

即,则.同理.
.
从而
故
注：从前面的证明中可见,的平方根算子与所有与可交换的算子可换.
[推论4.4]若是正算子且与可换,则也是正算子.
证明：

下面介绍空间上的一类等距同构算子——酉算子.
[定义4.13]设是空间,是满线性算子,如果,则称是酉算子.
[定理4.22]为酉算子的充要条件是

证明：必要性.设为酉算子,由得
于是由极化恒等式有

因此这说明.又是一对一满射,由逆算子定理存在,故,从而.
充分性.由知是满射.又得,即
注：当时,酉算子的范数.
设是一列酉算子,且,则也是酉算子.(这两个基本结论留为习题,由同学自己推导.)
下面举一个上的正.逆变换的例子,来说明酉算子的重要性.
例4.9 表示定义在上取复数值的平方可积函数空间,赋予内积

构成一个空间,如果,那么

[这是因为因此

和

都有意义.]
通过第1章的知识可以验证且
,,即都是酉算子,通常把称为正变换,称为逆变换.

习题4.6

1.设是空间,是的两个闭子空间,及是两个投影算子.证明：
是投影算子的充要条件是；
若是投影算子,那么；
是投影算子的充要条件是且；
为零算子的充要条件是；
若,那么也是投影算子,且.
2.若是空间上的正算子.证明：对任何自然数也是正算子.
3.若是空间上的正算子,证明如下的广义不等式：

4.设是空间,且,若是上的酉算子,证明.
5.设是空间,是一列酉算子,,若证明：也是酉算子.
6.表示在上取复值的平方可积函数空间,证明：如下的正变换算子及逆变换算子均为酉算子,这里

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