平面向量的数量积的性质.doc

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平面向量的数量积的性质
【问题导思】　
已知两个非零向量a，b，θ为a与b的夹角.
1.若a·b＝0，则a与b有什么关系？
【提示】　a·b＝0，a≠0，b≠0，∴cos θ＝0，θ＝90°，a⊥b.
2.a·a等于什么？
【提示】　|a|·|a|cos 0°＝|a|2.
(1)如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cos〈a，e〉；
(2)a⊥b⇔a·b＝0；
(3)a·a＝|a|2即|a|＝；
(4)cos〈a，b〉＝(|a||b|≠0)；
(5)|a·b|≤|a||b|.

平面向量数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝b·a；
(2)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c；
(3)数乘向量结合律：对任意实数λ，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb).

向量的数量积运算
　(2013·海淀高一检测)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角为120°，
(1)求a·b；(2)求a在b方向上的射影的数量.
【思路探究】　利用数量积的定义及几何意义求解.
【自主解答】　(1)a·b＝|a||b|cos θ
＝5×4×cos 120°＝5×4×(－)＝－10.
(2)∵|a|cos θ＝5×cos 120°＝－，
∴a在b方向上的射影的数量为－.

1.在书写数量积时，a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，更不能省略不写.
2.求平面向量数量积的方法
(1)若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ.
(2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的射影的数量，可利用数量积的几何意义求a·b.

1.(2013·玉溪高一检测)已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则a在b方向上的射影的数量是(　　)
A.－4　　　　B.4　　　　C.－2　　　　D.2
【解析】　cos<a，b>＝＝＝－，向量a在向量b方向上的射影的数量为|a|cos<a，b>＝6×＝－4，故选A.
【答案】　A
2.已知|a|＝6，e为单位向量，当向量a、e之间的夹角θ分别等于45°，90°，135°时，分别求出a·e及向量a在e方向上的正射影的数量.
【解】　当向量a和e之间的夹角θ分别等于45°，90°，135°时，
|a|·|e|cos 45°＝6×1×＝3；
|a|·|e|cos 90°＝6×1×0＝0；
|a|·|e|cos 135°＝6×1×(－)＝－3.
当向量a和e之间的夹角θ分别等于45°，90°，135°时，a在e方向上的正射影的数量分别为：
|a|cos θ＝6×cos 45°＝3；
|a|cos θ＝6×cos 90°＝0；
|a|cos θ＝6×cos 135°＝－3.

与向量模有关的问题
　已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：(1)|a＋b|；
(2)|(a＋b)·(a－2b)|.
【思路探究】　利用a·a＝a2或|a|＝求解.
【自主解答】　由已知a·b＝|a||b|cos θ＝4×2×cos 120°＝－4，a2＝|a|2＝16，b2＝|b|2＝4.
(1)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－4)＋4＝12，∴|a＋b|＝2.
(2)∵(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12，∴|(a＋b)·(a－2b)|＝12.

1.此类求模问题一般转化为求模平方，与数量积联系.
2.利用a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.

设e1、e2是夹角为45°的两个单位向量，且a＝e1＋2e2，b＝2e1＋e2，试求|a＋b|的值.
【解】　∵a＋b＝(e1＋2e2)＋(2e1＋e2)＝3(e1＋e2)，
∴|a＋b|＝|3(e1＋e2)|＝3|e1＋e2|＝3
＝3＝3.

与向量夹角有关的问题
　(2014·济南高一检测)若向量a，b，c两两所成的角均为120°，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，求向量a＋b与向量a＋c的夹角θ的余弦值.
【思路探究】　先利用已知条件，分别求出(a＋b)·(a＋c)，|a＋b|和|a＋c|的大小，再根据向量的夹角公式求解.
【自主解答】　∵(a＋b)·(a＋c)＝a2＋a·b＋a·c＋b·c
＝1＋1×2×cos 120°＋1×3×cos 120°＋2×3×cos 120°＝－，
|a＋b|＝＝
＝＝，
|a＋c|＝＝，
∴cos θ＝＝＝－，
所以向量a＋b与a＋c的夹角θ的余弦值是－.

1.求向量a，b夹角的流程图
求|a|，|b|→计算a·b→计算cos θ＝→结合0≤θ≤180°，求解θ
2.当题目中涉及向量较多时，可用整体思想代入求值，不必分别求值，以避免复杂的运算.

(1)(2014·辽宁师大附中高一检测)若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－b，则a与c的夹角为(　　)
A.0 B. C. D.
(2)(2014·贵州省四校高一联考)若|a|＝2，|b|＝4且(a＋b)⊥a，则a与b的夹角是(　　)
A. B. C. D.－
【解析】　(1)∵a·c＝a·＝a·a－a·b＝a2－a2＝0，又a≠0，c≠0，∴a⊥c，a与c的夹角为，故选D.
(2)因为(a＋b)⊥a，所以(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，即a·b＝－a2＝－4，所以cos<a，b>＝＝＝－，又因<a，b>∈[0，π]，所以a与b的夹角是 ，故选A.
【答案】　(1)D　(2)A

混淆两向量夹角为钝角与两向
量数量积为负之间关系致误
　设两向量e1，e2满足：|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°.若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.
【错解】　由已知得e1·e2＝2×1×＝1，于是
(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2te＋(2t2＋7)e1·e2＋7te＝2t2＋15t＋7.
因为2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，
所以2t2＋15t＋7<0，解得－7<t<－.
【错因分析】　当两向量反向共线时，其数量积为负，但夹角不是钝角而是平角.
【防范措施】　若两向量的夹角为钝角，则这两向量的数量积为负；反之不成立，因为两向量反向共线时，夹角为平角，即180°，其数量积也为负.
【正解】　由已知得e1·e2＝2×1×＝1，于是
(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2te＋(2t2＋7)e1·e2＋7te＝2t2＋15t＋7.
因为2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，
所以2t2＋15t＋7<0，解得－7<t<－.
但是，当2te1＋7e2与e1＋te2异向共线时，它们的夹角为180°，
也有2t2＋15t＋7<0，这是不符合题意的.
此时存在实数λ，使得
2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，即2t＝λ且7＝λt，解得t＝±.
故所求实数t的取值范围是－7，－∪.

1.两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时).
2.数量积对结合律一般不成立，因为(a·b)·c＝|a||b|cos〈a，b〉·c是一个与c共线的向量，而(a·c)·b＝|a||c|cos〈a，c〉·b是一个与b共线的向量，两者一般不同.
3.a在b方向上的射影与b在a方向上的射影是不同的，应结合图形加以区分.

1.对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中正确的是(　　)
A.若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B.若λa＝0，则a＝0或λ＝0
C.若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D.若a·b＝a·c，则b＝c
【解析】　由向量数量积的运算性质知A、C、D错误.
【答案】　B
2.(2013·安徽高考)若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________.
【解析】　由|a|＝|a＋2b|，两边平方，得|a|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b，所以a·b＝－|b|2.又|a|＝3|b|，所以cos〈a，b〉＝＝＝－.
【答案】　－
3.已知|a|＝4，|b|＝6，a与b的夹角为60°，则向量a在向量b方向上的射影是________.
【解析】　向量a在向量b方向上的射影是|a|cos 60°＝4×＝2.
【答案】　2
4.已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积.
【解】　(1)当a∥b时，若a与b同向，则θ＝0°，
∴a·b＝|a||b|cos 0°＝4×5＝20；
若a与b反向，则θ＝180°，
∴a·b＝|a||b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20.
(2)当a⊥b时，<a，b>＝.
∴a·b＝|a||b|cos＝4×5×0＝0.
(3)当a与b的夹角为30°时，
a·b＝|a||b|cos 30°＝4×5×＝10.

一、选择题
1.|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b且c⊥a，则a与b的夹角为(　　)
A.30°　　　　 B.60°
C.120° D.150°
【解析】　c⊥a，设a与b的夹角为θ，则(a＋b)·a＝0，所以a2＋a·b＝0，所以a2＋|a||b|cos θ＝0，
则1＋2cos θ＝0，所以cos θ＝－，所以θ＝120°.故选C.
【答案】　C
2.若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a的模为(　　)
A.2　　　　B.4 C.6　　　　D.12
【解析】　∵(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2
＝|a|2－|a|·|b|cos 60°－6|b|2
＝|a|2－2|a|－96＝－72，
∴|a|2－2|a|－24＝0，
∴|a|＝6.
【答案】　C
3.△ABC中，·＜0，则△ABC是(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
【解析】　∵·＝||||cos A＜0，
∴cos A＜0.∴A是钝角.∴△ABC是钝角三角形.
【答案】　C
4.(2014·怀远高一检测)已知i与j为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是(　　)
A.(－∞，－2)∪
B.
C.∪
D.
【解析】　∵a·b＝(i－2j)·(i＋λj)＝1－2λ＞0，
∴λ＜，又a、b同向共线时，a·b＞0，设此时a＝kb(k＞0)，则i－2j＝k(i＋λj)，
∴∴λ＝－2，∴a、b夹角为锐角时，λ的取值范围是(－∞，－2)∪，故选A.
【答案】　A
5.(2014·皖南八校高一检测)在△OAB中，已知OA＝4，OB＝2，点P是AB的垂直平分线l上的任一点，则·＝(　　)
A.6　　　　B.－6 C.12　　　　D.－12
【解析】　设AB的中点为M，则·＝(＋)·＝·＝(＋)·(O－)＝(2－2)＝－6.故选B.
【答案】　B
二、填空题
6.(2014·北大附中高一检测)向量a与b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________.
【解析】　因为a·b＝|a||b|cos 120°＝－，所以|5a－b|2＝25a2－10a·b＋b2＝25－10×＋9＝49，所以|5a－b|＝7.
【答案】　7
7.已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于________.
【解析】　∵(3a＋2b)⊥(λa－b)
∴(λa－b)·(3a＋2b)＝0，
∴3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝0.
又∵|a|＝2，|b|＝3，a⊥b，
∴12λ＋(2λ－3)×2×3×cos 90°－18＝0，
∴12λ－18＝0，∴λ＝.
【答案】　
8.(2014·温州高一检测)已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________.
【解析】　设a，b的夹角为θ，由b·(a－b)＝0，得|b|·|a|cos θ－|b|2＝0.解得|b|＝0或|b|＝|a|cos θ＝cos θ≤1，所以|b|的取值范围是[0,1].
【答案】　[0,1]
三、解答题
9.已知向量a、b的长度|a|＝4，|b|＝2.
(1)若a、b的夹角为120°，求|3a－4b|；
(2)若|a＋b|＝2，求a与b的夹角θ.
【解】　(1)a·b＝|a||b|cos 120°
＝4×2×＝－4.
又|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2
＝9×42－24×(－4)＋16×22＝304，
∴|3a－4b|＝4.
(2)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
＝42＋2a·b＋22＝(2)2，
∴a·b＝－4，∴cos θ＝＝＝－.
又 θ∈[0，π]，∴θ＝.
10.已知a⊥b，且|a|＝2，|b|＝1，若有两个不同时为零的实数k，t，使得a＋(t－3)b与－ka＋tb垂直，试求k的最小值.
【解】　∵a⊥b，∴a·b＝0，
又由已知得[a＋(t－3)b]·(－ka＋tb)＝0，
∴－ka2＋t(t－3)b2＝0.
∵|a|＝2，|b|＝1，∴－4k＋t(t－3)＝0.
∴k＝(t2－3t)＝(t－)2－(t≠0).
故当t＝时，k取最小值－.
11.(2014·淄博高一检测)设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且|3a－2b|＝.
(1)求a与b夹角的大小；
(2)求a＋b与b夹角的大小；
(3)求的值.
【解】　(1)设a与b的夹角为θ，(3a－2b)2＝9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7，
又|a|＝|b|＝1，∴a·b＝，
∴|a||b|cos θ＝，
即cos θ＝.
又θ∈[0，π]，∴a与b的夹角为.
(2)设a＋b与b的夹角为α，∵(a＋b)·b＝b2＋a·b＝1＋＝，
|a＋b|＝＝，|b|＝1，
∴cos α＝＝＝，
又α∈[0，π]，∴a＋b与b的夹角为.
(3)(3a＋b)2＝9|a|2＋6a·b＋|b|2＝9＋3＋1＝13，
(3a－b)2＝9|a|2－6a·b＋|b|2＝9－3＋1＝7，
∴＝＝.
(教师用书独具)

已知向量a、b不共线，且|2a＋b|＝|a＋2b|，求证：(a＋b)⊥(a－b).
【思路探究】　证明a＋b与a－b垂直，转化为证明a＋b与a－b的数量积为零.
【自主解答】　∵|2a＋b|＝|a＋2b|，
∴(2a＋b)2＝(a＋2b)2，
∴4a2＋4a·b＋b2＝a2＋4a·b＋4b2，
∴a2＝b2，∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0.
又a与b不共线，∴a＋b≠0，a－b≠0，
∴(a＋b)⊥(a－b).

1.解本题的关键是找出a与b的关系，由已知条件建立方程组不难找出a与b的关系.
2.非零向量a·b＝0⇔a⊥b是非常重要的性质，它对于解决平面几何图形中的有关垂直问题十分有效，应熟练掌握.

已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b，求当m为何值时，c与d垂直？
【解】　由已知得a·b＝3×2×cos 60°＝3.
由c⊥d，得c·d＝0，
∴c·d＝(3a＋5b)·(ma－3b)
＝3ma2＋(5m－9)a·b－15b2
＝27m＋3(5m－9)－60＝42m－87.
∴42m－87＝0，∴m＝，
即m＝时，c与d垂直.
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