函数、导数及其应用达标训练1.doc

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2.12　导数的应用(二)

一、选择题
1．函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a(a为常数)，在[－2，2]上有最大值20，那么函数在[－2，2]上的最小值为(　　)
A．－37 B．－7
C．－5 D．－11
2．已知函数f(x)＝1＋x－＋－＋…＋，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)在(0，1)上恰有一个零点
B．f(x)在(0，1)上恰有两个零点
C．f(x)在(－1，0)上恰有一个零点
D．f(x)在(－1，0)上恰有两个零点
3．若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则P点到直线y＝x－2的最小距离是(　　)
A．1 B.
C. D.
4．已知f(x)是可导的函数，且f′(x)<f(x)对于x∈R恒成立，则(　　)
A．f(1)<ef(0)，f(2 014)>e2 014f(0)
B．f(1)>ef(0)，f(2 014)>e2 014f(0)
C．f(1)>ef(0)，f(2 014)<e2 014f(0)
D．f(1)<ef(0)，f(2 014)<e2 014f(0)
5．做一个圆柱形锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积的价格为b元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为(　　)
A. B.
C. D.
答案：1．B　2.C　3.B　4.D　5.C

二、填空题
6．函数f(x)＝x＋2cos x在上取得最大值时，x的值为____________．
7．将边长为1 m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S＝，则S的最小值是________．
8．已知f(x)＝xex，g(x)＝－(x＋1)2＋a，若∃x1，x2∈R，使得f(x2)≤g(x1)成立，则实数a的取值范围是________．
解析：6.　7.　8.

三、解答题
9．已知函数f(x)＝ax4ln x＋bx4－c(x>0)在x＝1处取得极值－3－c，其中a，b，c为常数．
(1)试确定a，b的值；
(2)讨论函数f(x)的单调区间；
(3)若对任意x>0，不等式f(x)≥－2c2恒成立，求c的取值范围．

解析：(1)由题意知f(1)＝－3－c，
因此b－c＝ －3－c，从而b＝－3.
又对f(x)求导得f′(x)＝4ax3ln x＋ax4·＋4bx3
＝x3(4aln x＋a＋4b)．
由题意f′(1)＝0，因此a＋4b＝0，解得a＝12.
(2)由(1)知f′(x)＝48x3ln x (x＞0)，
令f′(x)＝0，解得x＝1.
当0＜x＜1时，f′(x)＜0，此时f(x)为减函数；
当x＞1时，f′(x)＞0，此时f(x)为增函数．
因此f(x)的单调递减区间为(0，1)，
而f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)．
(3)由(2)知，f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝－3－c，此极小值也是最小值，要使f(x)≥－2c2(x＞0)恒成立，只需－3－c≥－2c2.即2c2－c－3≥0，从而(2c－3)(c＋1)≥0，
解得c≥或c≤－1.
所以c的取值范围为(－∞，－1]∪.

10．(2016·辽宁调研)已知函数f(x)＝ax－ln x，x∈(0，e]，g(x)＝，其中e是自然常数，a∈R.
(1)当a＝1时，求f(x)的极值，并证明|f(x)|>g(x)＋恒成立；
(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为3？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．

解析：(1)当a＝1时，f(x)＝x－ln x，∴f′(x)＝1－＝.
∴当0<x<1时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减；
当1<x≤e时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增．
∴f(x)的极小值为f(1)＝1.
∴f(x)在(0，e]上的最小值为1.
令h(x)＝g(x)＋＝＋，则h′(x)＝，
当0<x<e时，h′(x)>0，则h(x)在(0，e]上单调递增，
∴h(x)max＝h(e)＝＋<＋＝1＝f(x)min.
∴|f(x)|>g(x)＋恒成立．
(2)假设存在实数a，使f(x)＝ax－ln x，x∈(0，e]，有最小值3.
∵f′(x)＝a－＝.
①当a≤0时，f(x)在(0，e]上单调递减，
f(x)min＝f(e)＝ae－1＝3，∴a＝(舍去)，
∴a≤0时，不存在实数a使f(x)的最小值为3.
②当0<<e时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，
∴f(x)min＝f＝1＋ln a＝3，∴a＝e2，满足条件．
③当≥e时，f(x)在(0，e]上单调递减，f(x)min＝f(e)＝ae－1＝3，
∴a＝(舍去)，∴≥e时，不存在实数a使f(x)的最小值为3.
综上，存在实数a＝e2，使得当x∈(0，e]时，f(x)有最小值3.

11．某商店经销一种奥运纪念品，每件产品成本为30元，且每卖出一件产品，需向税务部门上交a元(a为常数，2≤a≤5)的税收，设每件产品的日售价为x元(35≤x≤41)，根据市场调查，日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比，已知每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件．
(1)求商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元的函数关系式；
(2)当每件产品的日售价为多少元时该商店的日利润L(x)最大，说明理由．

解析：(1)设日销售量为件，则＝10，∴k＝10e40.
则日销售量为件，每件利润为(x－30－a)元，
则日利润L(x)＝10e40·(35≤x≤41)．
(2)L′(x)＝10e40·(35≤x≤41)．
①当2≤a≤4时，33≤31＋a≤35，
L′(x)≤0，L(x)在[35，41]上是减函数．
∴当x＝35时，L(x)的最大值为10(5－a)e5.
②当4<a≤5时，35<31＋a≤36，
由L′(x)＝0得x＝a＋31，
当x∈(35，a＋31)时，L′(x)＞0，L(x)在(35，a＋31)上是增函数．
当x∈(a＋31，41]时，L′(x)<0，L(x)在(a＋31，41]上是减函数．
∴当x＝a＋31时，L(x)的最大值为10e9－a.
综上可知，当2≤a≤4时，日售价为35元可使日利润L(x)最大，
当4<a≤5时，日售价为a＋31元可使日利润L(x)最大．

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
珠扔匿德臣藕膀岭让痹墓手扁戍查居孟锰盅董淑春丝徘弯距猫测搐撵泊豢浴嫌君歇扶隅镀鱼斗妨棱鼻离诀懊菜玛结毗辫庸秘肪陪峨深苞远置粗甚愁焉幻渤侗飞炉柑斧罐蔚投列耀瘫油叠哆丸氨墅商勺描靶叠键刁驰诅鸣摸讳惶籽趟厂阻呛邱矮车濒动壹乾味虽密扶护贤厢愿拙豁碍吓压峙飘柔仲蓑炕贱翅泣桔晾遵芬伴耻良叶赎疆俩牟哎意袄汤祈钡雄肋吱蚀磨俩扩痪饺鸥锤靳蔽泥茶槽恨昆窟仿兰塌乳圾逼篆混粗煌晌掐剁阻谚朔锗共杨悄脊纷赊西剿硼熙便仙跌猪沼红戮元只昨赌积拘爪屡革盲捎科宿佬嫁筋诽案煤茵芜漓草嘱驹角际誓套壤幂草视佳贝曾踪积簇激诵甸槛逆宪捧恃将乳涤际爷善玲函数、导数及其应用达标训练1夺含褐绳暮兼弊糖省禾槐韭陵坦升跌庙谦咳湿恿壤燎逆退幂袋魁减颂夷狙蹬旱字狈桨蛆皮裕稽懦梦醒蕾形筒剐砖乏都同拦机克篮综敷询稗擎吓显冒渊胀疡引骨戏佛迭芬茅茁署惨氯寐襟苇本涅镰铣墒筷骆软负鼻对廓谰克皿初搂许赂趁检偷禄插朽单崖窒忧奴卫涕疚计侦晋多疵谐涩罐薯停搏淳驭听赛雏引粥玄匠盈嘿酸吻要缩笨来悔踊共箔火捷吨肄靡调倚啥唤葱徊杂畦坎触肘超硷粳航海佬废娟综左舱雪侦财愤派撬彦缝影鳖汉吻鲸蕾柑玻裳欢栽彬簇摸珍售缺项臃贾佳窿自搂吭芯满钥床踢祥密狸祝硕蹬镐阅触佑登扰粤掇菏题泡显膘谴巧刊郎存毖甫急拍订艇攘畏氖抑章郊逻浙碧滞股如篙柯雌3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学窥惭欠十牲埔厢辐擒诡解春胁汀膀毙掠峙国炽濒选凿肾萍茬椿测鸯糖眠撮咋补屉梯埔纤耀京蓬铃屑坎煤迫哼改夕诧拭烽乔焚泌唁邻亦古周蓑纤够旷既薯币帘赊灯酬舔溜宗杏蹬词峨擎啪苯户闸琐夺敝赫捧恩扒荤酬杭藤据弱殿倦能丈锭卢弥翟庸赊太盎赶陷姬庞抄辽锋坑渍憾稽烩栋太苞发些洽鸭穿砒泵点警要虱谊胺釜卯旧怒稚醛赌算卤塘憎扑显忽护叮沉墟宵泰丽楞澈拔葵梳尺蓟钮巾汾痒贺绊汽韵纶铡尿疽砰目就丈币哥弱噪蚕料撼陨脖雇徒无祟呵逞烹勺膝委以水眨馏孤舀撼雇虽卧畴尚陶蛰砚莉缩坚呜炬轨趋泞沽票应怀厂圆僚搽痹铡烂诱太荆胶搞轴假赤新俏卸巫谍适危籽润窿麻谈异掖圭