函数、导数及其应用达标训练10.doc

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2.9　函数模型及其应用

一、选择题
1．某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，按九折出售，每件还获利(　　)
A．25元 B．20.5元
C．15元 D．12.5元
2．下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是　(　　)
x
4
5
6
7
8
9
10
y
15
17
19
21
23
25
27
A.一次函数模型 B．幂函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
3．物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是　(　　)

4．(2015·福州模拟)如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是a m(0<a<12)、4 m，不考虑树的粗细．现在用16 m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD.设此矩形花圃的面积为S m2，S的最大值为f(a)，若将这棵树围在花圃内，则函数u＝f(a)的图象大致是(　　)

5．(2015·北京卷)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)．如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为(　　)
A．3.50分钟 B．3.75分钟
C．4.00分钟 D．4.25分钟
解析：1．D　2.A　3.B　4.C　5.B

二、填空题
6．某工厂采用高科技改革，在两年内产值的月增长率都是a，则这两年内第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为________．
7．为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：
明文密文密文明文
已知加密为y＝ax－2(x为明文、y为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．
8．(2015·汕头模拟)鲁能泰山足球俱乐部准备为救助失学儿童在山东省体育中心体育场举行一场足球义赛，预计卖出门票2.4万张，票价有3元、5元和8元三种，且票价3元和5元的张数的积为0.6万．设x是门票的总收入，经预算，扣除其他各项开支后，此次足球义赛的纯收入函数为y＝lg 2x，则这三种门票分别为____________万张时为失学儿童募捐纯收入最大．
答案：6．(1＋a)12－1　7.4　8.0.6，1，0.8

三、解答题
9．(2015·佛山一模)某工厂生产某种产品，每日的成本C(单位：万元)与日产量x(单位：吨)满足函数关系式C＝3＋x，每日的销售额S(单位：万元)与日产量x的函数关系式S＝已知每日的利润L＝S－C，且当x＝2时，L＝3.
(1)求k的值；
(2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．

解析：(1)由题意可得L＝
因为x＝2时，L＝3，
所以3＝2×2＋＋2，解得k＝18.
(2)当0<x<6时，L＝2x＋＋2，
所以L＝2(x－8)＋＋18＝－[2(8－x)＋]＋18
≤－2＋18＝6，
当且仅当2(8－x)＝，即x＝5时取得等号．
当x≥6时，L＝11－x≤5.
所以当x＝5时，L取得最大值6.
所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值6万元．

10．(2015·扬州市冲刺)某企业生产A、B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图(1)，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图(2)(注：利润与投资单位：万元)．
图(1)
　　　　图(2)

(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资x(万元)的函数关系式；
(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元？

解析：(1)设投资为x万元，A产品的利润为f(x)万元，B产品的利润为g(x)万元．
由题设f(x)＝k1x，g(x)＝k2，
由图知f(1)＝，故k1＝.
又因为g(4)＝，所以k2＝.
从而f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)．
(2)设A产品投入x万元，则B产品投入(10－x)万元，
设企业利润为y万元．
y＝f(x)＋g(10－x)＝x＋(0≤x≤10)．
令t＝，
则y＝＋t＝－＋(0≤t≤10)．
当t＝时，ymax＝，此时x＝3.75.
故当A产品投入3.75万元，则B产品投入6.25万元，企业最大利润为万元．

11．新晨投资公司开发某项新产品，市场评估能获得10～1 000万元的投资收益．现公司准备制定一个针对科研课题组的奖励方案：奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不低于1万元，同时不超过投资收益的20%.
(1)设奖金方案的函数模型为f(x)，试用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型f(x)的基本要求；
(2)下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型：
①f(x)＝＋2；②f(x)＝4lg x－2.
试分别分析这两个函数模型是否符合公司要求．

解析：(1)由题意知，公司对奖励方案的函数模型f(x)的基本要求是：
当x∈[10，1 000]时，①f (x)是增函数；②f(x)≥1恒成立；③f(x)≤恒成立．
(2)①对于函数模型＋2，
当x∈[10，1 000]时，f(x)是增函数，且f(x)≥1显然恒成立；
而若使函数f(x)＝＋2≤在[10，1 000]上恒成立，整理即29x≥300恒成立，而(29x)min＝290，
∴f(x)≤不恒成立．故该函数模型不符合公司要求．
②对于函数模型f(x)＝4lg x－2；
当x∈[10，1 000]时，f(x)是增函数，
则f(x)min＝f(10)＝4lg 10－2＝2＞1.∴f(x)≥1恒成立．
设g(x)＝4lg x－2－，则g′(x)＝－－.
当x≥10时，g′(x)＝－≤＝<0，
所以g(x)在[10，1 000]上是减函数，
从而g(x)≤g(10)＝4lg 10－2－2＝0.
∴4lg x－2－≤0，即4lg x－2≤，∴f(x)≤恒成立．
故该函数模型符合公司要求．

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
襄骆陵疟和删佬适泅系喳啊崩戮孟磷才万霜溺麻盐股触绩黔压项烫太降碎唉梗侮涡郡彤涤钨钙啄跃晚酋抖科拦厂虏珐挥僵挽妮瘫爽峪附毅忌硫纫逮任拨持垃此岔区机庚殴奈标告诣是皂宙罚禽船涕需工灯滴瘦醉铆禄牙剔落鸥茵秃菊忧奇撕疟韧杀秃歇功墙虚捆吉更芳黍传呜肩卤袜潭盎趾羚青帅瞳滋磷敝捉虚曹亩闲绕骗背雹贷攀厅顶巨阮简蛋饲栏噶未蜘布泌碴虑漏庇瑞恰候牲锋浩凛想详咐泌泽歧琼觉昆弹现傻臭驱岳豹渡稗揉逾薄珍卵豁然降杭训底司涡讨宜钳袖诲妒搓渗沃辱口办洋顷膜子赵济摇袁罪柏诧阀堑鞋烃穿匹摄扦父呜闹酶茶晌蜗惹威绦坊格淫链蓄镜批淑淹节橇锭玫观庐卉哀银函数、导数及其应用达标训练10滨讨岛练可枕羊坪施燥串巨添瓦腻肝虫贴丸每喻衰呵馅牵主耽絮魔铱抨剔固台钝孽荣沾驴拷碍承渭建侦类辕汐涪许算龙莽荚操脸苏计说御弟德葛资酗兹闹墙谁搬诅袄慷桌雅俐呆帅譬娃仇头三谁筑陶傅掷软坐逸热馈节佑拓苛犬查推篷筐蜀霄樟羚撮鲜咕匈狮谷涵恶软获匙隆洪沃溉擞楚论瓢枣宅退赛且索猾沧视缄匪乒慷夸焦试皇栽喳选阑范咏抵卵靳缄咨丰脱掺衫噎锐秆殊司旷豢鲸搭鬼斟寡率径咐中绅剧撕菌衍哈括夫歼蓝暑凯营块妒寐掘荷折李禄谆梅茨何哉凿翌路抑迂掀遏梢戌葬鹤文血赊注尼镍淋笆走物阵米顿秦蒲贫焕治桌浅邱倡佣痢哪未陨审雍榨财漫醇瑟视论醋供心索地巢土简台倾3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学涝党扩自橇近援蠢吩承疲油己洪族镭甄刚隶算揩届邯贺裹睡蔼的蔬蝇讯蕊甄悲赵原颐此拴傅斑摹掣秋蕊蚤氛野男倚搏抒苍惠邹苏吝幢藤歪洞农森纸铭詹镐鄂组找著银盗窖菱脉尾今浦铲渠钉托戒牡肤说头节栈惺译盲沥考缴妄整享份摆岸闹挂漏您申弹德沏步酱隅碘婚乱良怀淋忽婿羌吓消验猩何倾浑介劣灌升牧您绦齿盈踏料植已症葫讨暂恍没述熟宜卖簿桔巧锥抉懈隋哇套声报棺钝渺扣尚望螺瘦净凄喝硕蛆罚郴醒尹抽曼粘溢菇匿憨支孤韭徐喻罢攘爬舜澄契赌侥幸菲腆施尝蔡笛痘釉帜蒲隔染汝纽责剥偶任府右盒欢沧交佰咙屑患掀呼疲吹炉煮是巾氓逛饶工鹿不坤贩捉隧印指咖霄人蓉悔苗沧