空间直线及其方程市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

78 空间直线及其方程空间直线及其方程一、空间直线普通方程一、空间直线普通方程二、空间直线对称式方程与参数方程二、空间直线对称式方程与参数方程三、两直线夹角三、两直线夹角四、直线与平面夹角四、直线与平面夹角五、杂例五、杂例方向向量、直线对称式方程、直线参数方程两直线夹角及夹角余弦、两直线平行与垂直条件直线与平面夹角、夹角正弦直线与平面平行与垂直条件平面束第1页一、空间直线普通方程一、空间直线普通方程 空间直线L能够看作是两个平面 1和 2交线 假如两个相交平面 1和 2方程分别为A 1xB 1yC 1zD 10和A 2xB 2yC 2zD 20，那么直线L上任一点坐标应满足方程组 反过来，假如点M不在直线 L 上，那么它不可能满足上述方程组所以，直线L能够用上述方程组来表示 上述方程组叫做空间直线普通方程xyzO 1 2L第2页二、空间直线对称式方程与参数方程二、空间直线对称式方程与参数方程方向向量：假如一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量就叫做这条直线方向向量xyzOs第3页二、空间直线对称式方程与参数方程二、空间直线对称式方程与参数方程方向向量：假如一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量就叫做这条直线方向向量为已知时，直线L位置就完全确定了确定直线条件：当直线L上一点M0(x0，y0，x0)sm，n，p和 它 一 方 向 向 量xyzOM0s第4页方向向量：假如一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量就叫做这条直线方向向量为已知时，直线L位置就完全确定了确定直线条件：当直线L上一点M0(x0，y0，x0)和 它 一 方 向 向 量xyzOM0sm，n，ps二、空间直线对称式方程与参数方程二、空间直线对称式方程与参数方程第5页直线对称式方程：设直线L上一点M0(x0,y0,x0)和它一方向向量 s m,n,p为已知，再设点M(x,y,z)为直线L上任一点，与L方向向量 s 平行从而有所以两向量对应坐标成百分比，因为sm，n，p，此方程组就是直线 L 方程，叫做直线对称式方程或点向式方程xyzOM0Ms那么向量xx 0，yy 0，zz 0，第6页 直线任一方向向量坐标m、n、p叫做这直线一组方向数，而向量方向余弦叫做该直线方向余弦方向数：t，直线参数方程：设这个方程组就是直线参数方程那么第7页 例1 用对称式方程及参数方程表示直线 解 令x1，有所求直线方向向量可取为解此方程组，得y0，z2，于是得直线上一点(1，0，2)平面x+y+z+1=0和2x y+3z+4=0法线向量分别为n11，1，n22，1，3sn1 n24ij3k第8页得所给直线参数方程为 令 所给直线对称式方程为 例1 用对称式方程及参数方程表示直线 解 令x1，有所求直线方向向量可取为解此方程组，得y0，z2，于是得直线上一点(1，0，2)平面x+y+z+1=0和2x y+3z+4=0法线向量分别为n11，1，n22，1，3sn1 n2 4ij3k第9页 两直线方向向量夹角(通常指锐角)叫做两直线夹角 设直线L1和L2方向向量分别为s1m1，n1，p1和n2m2，n2，p2，那么L1和L2夹角j 就是(s1,s2)和(s1,s2)p(s1,s2)二者中锐角，所以cos j|cos(s1,s2)|三、两直线夹角三、两直线夹角来确定直线L 1和L 2夹角j可由cos j第10页 两直线L 1、L 2相互平行或重合相当于 从两向量垂直、平行充分必要条件马上推得以下结论：两直线L 1、L 2相互垂直相当于m 1m 2n 1n 2p 1p 20；第11页 设两直线夹角为j，则 解两直线方向向量分别为cos j s11，4，1和s22，2，1 例2第12页四、直线与平面夹角四、直线与平面夹角 当直线与平面不垂直时，直线和它在平面上投影直线夹当直线与平面垂直时，)j角j(0 j )称为直线与平面夹角，要求直线与平面夹角为 第13页所以sin j sin j|cos(s,n)|按两向量夹角余弦坐标表示式，有 设直线方向向量和平面法线向量分别为sm，n，p，nA，B，C，直线与平面夹角为j，那么j|(s,n)|，第14页 因为直线与平面垂直相当于直线方向向量与平面法线向量平行，所以，直线与平面垂直相当于 因为直线与平面平行或直线在平面上相当于直线方向向量与平面法线向量垂直，所以，直线与平面平行或直线在平面上相当于A mB nC p0第15页由此可得所求直线方程为 例3 求过点(1，2，4)且与平面2x3yz40垂直直线方程 解 平面法线向量2，3，1能够作为所求直线方向向量第16页五、杂例五、杂例于是所求直线方程为 例4 求与两平面 x4z3 和 2xy5z1 交线平行且过点(3，2，5)直线方程 解 平面x4z3和2xy5z1法线向量分别为两平面交线方向向量为此向量可作为所求直线方向向，n11，0，4，n22，1，5，(4i3jk)，sn1 n2第17页x1，y2，z2 解 所给直线参数方程为x2t，y3t，z42t，代入平面方程中，得2(2t)(3t)(42t)60解上列方程，得t1 将t1代入直线参数方程，得所求交点坐标为 例5 第18页L 例6 求过点(2，1，3)且与直线垂直相交直线方程PM第19页 例6 求过点(2，1，3)且与直线垂直相交直线方程 解 先作一个过已知点且与已知直线垂直平面，这个平面方程为3(x2)2(y1)(z3)0再求所作平面与已知直线交点，令 t得参数方程 x13t，y12t，zt 得将参数方程代入平面方程，得 将 代入参数方程，第20页所求直线方程为 例6 求过点(2，1，3)且与直线垂直相交直线方程 解 先作一个过已知点且与已知直线垂直平面，这个平面方程为3(x2)2(y1)(z3)0再求所作平面与已知直线交点，第21页 考虑三元一次方程：A 1xB 1yC 1zD 1l(A 2xB 2yC 2zD 2)0，即 A 1lA 2)x(B 1lB 2)y(C 1lC 1)zD 1lD 20，设直线L普通方程为平面束：其次，任何经过直线L平面也一定包含在上述经过L平对于任何一个l值，上述方程都表示一个平面，而且这些平面都也就是说，这个方程表示经过直线L一族平面经过直线L 经过定直线全部平面全体称为平面束面族中 方程 A 1xB 1yC 1zD 1l(A 2xB 2yC 2zD 2)0就是经过直线L 平面束方程第22页A 1xB 1yC 1zD 1l(A 2xB 2yC 2zD 2)0L第23页 例7 求直线在平面xyz0上投影直线方程L垂直于 平面投影直线第24页 例7 求直线在平面xyz0上投影直线(xyz1)l(xyz1)0，解 设过已知直线平面束方程为即 (1l)x(1l)y(1l)z(1l)0，其中l为待定常数这平面与平面xyz0垂直条件是(1l)1(1l)1(1l)10，2y2z20，将l1代入平面束方程得投影平面方程为即l1所以投影直线方程为即 yz10方程第25页