数学物理方程市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

第二章第二章第二章第二章 分离变量法分离变量法分离变量法分离变量法第第1页页2.0 预备知识常微分方程第第2页页二阶常系数线性方程标准形式二阶常系数线性方程标准形式2.0 2.0 预备知识常微分方程预备知识常微分方程预备知识常微分方程预备知识常微分方程第第3页页特征根特征根(1)(1)有两个不相等实根有两个不相等实根两个线性无关特解两个线性无关特解得齐次方程通解为得齐次方程通解为齐次方程齐次方程特征方程特征方程2.0 2.0 预备知识常微分方程预备知识常微分方程预备知识常微分方程预备知识常微分方程第第4页页(2)有两个相等实根齐次方程通解为特解为(3)有一对共轭复根齐次方程通解为特征根为特解为2.0 2.0 预备知识常微分方程预备知识常微分方程预备知识常微分方程预备知识常微分方程第第5页页2.0 2.0 预备知识常微分方程预备知识常微分方程预备知识常微分方程预备知识常微分方程第第6页页二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程通解结构通解结构二阶常系数非齐次线性方程2.0 2.0 预备知识常微分方程预备知识常微分方程预备知识常微分方程预备知识常微分方程第第7页页2.1 有界弦自由振动 第第8页页分离变量法是求解偏微分方程最基本和惯分离变量法是求解偏微分方程最基本和惯用方法。用方法。理论依据：线性方程叠加原理和理论依据：线性方程叠加原理和Sturm-Sturm-Liouville Liouville 理论理论。基本思想：将偏微分方程求解化为对常微基本思想：将偏微分方程求解化为对常微分方程求解分方程求解2.1 2.1 有界弦自由振动有界弦自由振动第第9页页2.1 2.1 有界弦自由振动有界弦自由振动 研究两端固定均匀自由振动.定解问题为：特点:方程齐次,边界齐次.第第10页页 (1)没有波形传输，即各点振动相位与位置无关，按同一方式随时间振动，可统一表示为 ;(2)各点振幅 随点 而异，而与时间无关，用 X(x)表示,所以驻波可用 表示。驻波特点：驻波特点：端点会引发波反射，弦有限长，波在两端点之间往返反射。两列反向行进同频率波形成驻波。2.1 2.1 有界弦自由振动有界弦自由振动第第11页页2.1 2.1 有界弦自由振动有界弦自由振动 设 且 不恒为零，代入方程和边界条件中得 由 不恒为零，有：取参数这个式子左端是这个式子左端是x函数函数,右端是右端是t函数，何时恒等？函数，何时恒等？第第12页页 .利用边界条件2.1 2.1 有界弦自由振动有界弦自由振动第第13页页则 特征值问题 参数称为特征值.分三种情形讨论特征值问题求解函数X(x)称为特征函数2.1 2.1 有界弦自由振动有界弦自由振动第第14页页2.1 2.1 有界弦自由振动有界弦自由振动由边值条件(i)方程通解为 (ii)时，通解 由边值条件得C1 1=C 2 2=0 从而 ，无意义无意义.无意义无意义第第15页页2.1 2.1 有界弦自由振动有界弦自由振动 由边值条件从而 即(iii）时，通解 故而得第第16页页2.1 2.1 有界弦自由振动有界弦自由振动再求解T：其解为 所以 两端两端固定固定弦弦本本征振征振动动叠加.第第17页页2.1 2.1 有界弦自由振动有界弦自由振动将 展开为Fourier级数，比较系数得 代入初始条件得：定解问题解是Fourier正弦级数，这是在 x0 和 x=l 处第一类齐次边界条件决定。第第18页页关于二阶常微分方程关于二阶常微分方程特征值问题（施特姆特征值问题（施特姆-刘维尔问题），存在刘维尔问题），存在以下结论：以下结论：1.1.全部特征值均不为负全部特征值均不为负2.2.不一样特征值所对应特征函数正交，在区间上组成完备系。不一样特征值所对应特征函数正交，在区间上组成完备系。3.3.任意一个含有连续一阶导数及分段连续二阶导数函数且满任意一个含有连续一阶导数及分段连续二阶导数函数且满足特征值问题边界条件，则能够按照特征函数系展开足特征值问题边界条件，则能够按照特征函数系展开第第19页页利用特征函数正交性利用特征函数正交性在等式两边同乘在等式两边同乘并在区间上取积分，利用特征并在区间上取积分，利用特征函数正交性函数正交性,可求系数可求系数第第20页页第第21页页第第22页页（特征值问题）（特征值问题）齐次边齐次边界条件界条件（特征函数）（特征函数）分离变量法图解分离变量法图解 2.1 2.1 有界弦自由振动有界弦自由振动第第23页页则无穷级数解为以下混合问题解上，且 定理定理：若在区间2.1 2.1 有界弦自由振动有界弦自由振动第第24页页弦上各点频率 和初位相 都相同，因而没有波形传输现象。弦上各点振幅 因点而异 在 处，振幅永远为0 二、解物理意义二、解物理意义 节点腹点特点特点最大振幅最大振幅频率频率初位相初位相在 处，振幅最大,为 nNu(x,t)是由无穷多个振幅、频率、初位相各不相同驻波叠加而成。n1 1驻波称为基波,n11驻波叫做n次谐波.2.1 2.1 有界弦自由振动有界弦自由振动第第25页页例例1 1 设有一根长为10个单位弦，两端固定，初速为零，初位移为 ，求弦做微小横向振动时位移，其中 与弦材料和张力相关.解解 设位移函数为 ，则需要求解以下定解问题2.1 2.1 有界弦自由振动有界弦自由振动第第26页页所以，所求解为：=2.1 2.1 有界弦自由振动有界弦自由振动第第27页页第第28页页第第29页页解：令 ,得 化简:例2：研究两端自由棒自由纵振动问题.第二类边界条件第二类边界条件引入参数 得 2.1 2.1 有界弦自由振动有界弦自由振动第第30页页2.1 2.1 有界弦自由振动有界弦自由振动得C1=C 2=0 从而 ，无意义 分离变量：(i)时，由边值条件第第31页页(ii)时,(iii)时,则 而 由边值条件由边值条件从而2.1 2.1 有界弦自由振动有界弦自由振动第第32页页本征值 本征函数 2.1 2.1 有界弦自由振动有界弦自由振动T 方程其解为 第第33页页所以 故代入初始条件:将 展开为傅立叶余弦级数，比较系数得 解为傅立叶余弦级数，由端点处二类齐次边界条件决定.2.1 2.1 有界弦自由振动有界弦自由振动第第34页页第第35页页与与1 11 1类边界条件定界问题区分在于类边界条件定界问题区分在于特特征值不一样征值不一样第第36页页第第37页页第第38页页2 22 2类边界条件类边界条件特征值特征值特征函数特征函数第第39页页利用特征函利用特征函数正交性求数正交性求系数系数第第40页页一维振动方程对应特征值问题，特征值，特征函数系一维振动方程对应特征值问题，特征值，特征函数系方程边界条件特征值问题特征值特征函数系一维振动第第41页页第第42页页分离变量法求得级数解物理意义：分离变量法求得级数解物理意义：两端固定有界弦自由振动两端固定有界弦自由振动第第43页页第第44页页振动波，角频率为振动波，角频率为 初相位为初相位为振幅，振幅，依赖于空间依赖于空间位置位置x x振动波：弦上各点以同一角频率作简谐振振动波：弦上各点以同一角频率作简谐振动，位相相同，振幅依赖于点动，位相相同，振幅依赖于点x x位置位置第第45页页振幅为振幅为0 0振幅到达最大振幅到达最大振动波振动波 节点，节点，波节波节 个个 振动波振动波 腹点，腹点，波腹波腹 个个 第第46页页：弦振动，就像是由互不连接几段组成，：弦振动，就像是由互不连接几段组成，每段端点，恰好就固定在各个节点上，每段端点，恰好就固定在各个节点上，永远保持不动。含有节点振动波称为永远保持不动。含有节点振动波称为驻波驻波。第第47页页由一系列频率不一样，位相不一样，振幅由一系列频率不一样，位相不一样，振幅不一样驻波叠加而成。频率不一样驻波叠加而成。频率 由特征值由特征值确定，与初始条件无关，也称为固有频率。确定，与初始条件无关，也称为固有频率。振幅大小和相位差异由初始条件决定。振幅大小和相位差异由初始条件决定。分离变量法求得级数解分离变量法求得级数解第第48页页由固有频率可得到形成驻波条件（对由固有频率可得到形成驻波条件（对弦长要求）弦长要求）最小一个最小一个基频基频对应对应基波基波为谐频，对应波为谐波为谐频，对应波为谐波第第49页页第第50页页第第51页页第第52页页2章作业 2、6、8、9、13第第53页页2.2 有限长杆热传导问题第第54页页例例1 1细杆热传导问题 长为 l 细杆，设与细杆线垂直截面上各点温度相等，侧面绝热,x=0 端温度为0，x=l 端热量自由散发到周围介质中，介质温度恒为0，初始温度为 求此杆温度分布。解：定解问题为 2.2 2.2 有限长杆热传导问题有限长杆热传导问题第第55页页得本征问题 由 及齐次边界条件，有 设 且 并引入参数分离变量代入方程2.2 2.2 有限长杆热传导问题有限长杆热传导问题第第56页页当 或 时,当 时,由 得 由 得 故 即 令有函数方程2.2 2.2 有限长杆热传导问题有限长杆热传导问题第第57页页由图由图1看出，函数方程有看出，函数方程有成对无穷多个实根成对无穷多个实根故本征值为：ry图图 1 12.2 2.2 有限长杆热传导问题有限长杆热传导问题第第58页页2.2 2.2 有限长杆热传导问题有限长杆热传导问题对应本征函数 方程：解为故 由初始条件得能够证实函数系 在 上正交，在（*）式两端乘以 并在 0,l 上积分,得 且模值第第59页页（二）利用边界条件,得到特征值问题并求解（三）将特征值代入另一常微分方程，得到（四）将 叠加，利用初始条件确定系数（一）将偏微分方程化为常微分方程（方程齐次）分离变量法解题步骤分离变量法解题步骤（边界条件齐次）2.2 2.2 有限长杆热传导问题有限长杆热传导问题第第60页页分离变量法适用范围：偏微分方程是线性齐次，而且边界条件也是齐次。其求解关键步骤：确定特征函数和利用叠加原理。注注2.2 2.2 有限长杆热传导问题有限长杆热传导问题第第61页页左端点左端点右端点右端点特征值特征值特征函数特征函数 取值范围取值范围 一一 一一一一 二二 二二 二二二二一一课堂练习课堂练习总结总结：端点边界条件与特征值，特征函数关系2.2 2.2 有限长杆热传导问题有限长杆热传导问题第第62页页练习练习：求以下定解问题解求以下定解问题解 其中其中2.2 2.2 有限长杆热传导问题有限长杆热传导问题第第63页页2.3 二维拉普拉斯方程边值问题第第64页页2.3 2.3 二维拉普拉斯方程边值问题二维拉普拉斯方程边值问题1.矩形域上拉普拉斯方程边值问题矩形域上拉普拉斯方程边值问题例例1 1矩形薄板稳恒状态下温度分布.设薄板上下底面绝热，一组对边绝热，另一组对边温度分别为零摄氏度和 ，求稳恒状态下薄板温度分布。定解问题为：解第第65页页再利用 x=0 和 x=a 处齐次边界条件得 设 且 代入方程故 本征问题本征问题当 时，2.3 2.3 二维拉普拉斯方程边值问题二维拉普拉斯方程边值问题第第66页页2.3 2.3 二维拉普拉斯方程边值问题二维拉普拉斯方程边值问题当 时，将 代入 有解：考虑边界条件（y方向上），有 解得比较系数第第67页页所以解为 作为例子取 ，可求得 于是 2.3 2.3 二维拉普拉斯方程边值问题二维拉普拉斯方程边值问题第第68页页考查一个半径为r0圆形薄板稳恒状态下温度分布问题,设板上下两面绝热,圆周围界上温度已知为 求稳恒状态下温度分布规律。2.圆域上拉普拉斯方程边值问题2.3 2.3 二维拉普拉斯方程边值问题二维拉普拉斯方程边值问题第第69页页采取平面极坐标。令2.3 2.3 二维拉普拉斯方程边值问题二维拉普拉斯方程边值问题第第70页页 分离变量 代入方程得齐次偏微分方程化为两个常微分方程:（一）将偏微分方程化为常微分方程由 可知，又圆内各点温度有界，因而 所以应满足条件 2.3 2.3 二维拉普拉斯方程边值问题二维拉普拉斯方程边值问题第第71页页（二）利用条件,确定特征值问题并求解 得到两个常微分方程定解问题(1)(2)2.3 2.3 二维拉普拉斯方程边值问题二维拉普拉斯方程边值问题先求哪一个？先求(1)啊!能够确定特征值啊!为何？第第72页页1)时，无非零解；特征值特征函数2)时，有非零解3)时，通解以 为周期,必须是整数,2.3 2.3 二维拉普拉斯方程边值问题二维拉普拉斯方程边值问题第第73页页（三）将特征值代入另一常微分方程，得 得到方程通解 满足有界性条件通解 将代入方程2.3 2.3 二维拉普拉斯方程边值问题二维拉普拉斯方程边值问题第第74页页满足周期性条件 和有界性条件特解为 2.3 2.3 二维拉普拉斯方程边值问题二维拉普拉斯方程边值问题第第75页页（四）将 叠加,利用边界条件确定系数满足周期性和有界性条件通解为:利用边界条件，得由此能够确定系数 2.3 2.3 二维拉普拉斯方程边值问题二维拉普拉斯方程边值问题第第76页页注:经过化简,方程解能够表示为 称为圆域内泊松公式.2.3 2.3 二维拉普拉斯方程边值问题二维拉普拉斯方程边值问题第第77页页2.4 非齐次方程解法 第第78页页2.4 2.4 非齐次方程解法非齐次方程解法(I)(I)非齐次振动方程定解问题非齐次振动方程定解问题特征函数法第第79页页令其中(1)(2)2.4 2.4 非齐次方程解法非齐次方程解法第第80页页令 为待定函数.并将 按特征函数系展为级数 其中 (3)(4)(1)2.4 2.4 非齐次方程解法非齐次方程解法第第81页页将(3),(4)代入(1)得两端比较将(3)代入初始条件2.4 2.4 非齐次方程解法非齐次方程解法第第82页页常数变易法所以2.4 2.4 非齐次方程解法非齐次方程解法第第83页页例在环形区域 内求解以下定解问题解考虑极坐标变换:2.4 2.4 非齐次方程解法非齐次方程解法第第84页页定解问题能够转化为:对应齐次问题特征函数系为:2.4 2.4 非齐次方程解法非齐次方程解法第第85页页于是能够设原问题解为:代入方程，整理得 2.4 2.4 非齐次方程解法非齐次方程解法第第86页页比较两端 和 系数可得 2.4 2.4 非齐次方程解法非齐次方程解法第第87页页由边界条件，得 所以 2.4 2.4 非齐次方程解法非齐次方程解法第第88页页由边界条件，可知 满足方程是齐次欧拉方程，其通解形式为2.4 2.4 非齐次方程解法非齐次方程解法第第89页页下面求 .方程通解为 由端点条件，得 原问题解为2.4 2.4 非齐次方程解法非齐次方程解法第第90页页2.5 非齐次边界条件处理 第第91页页2.5 2.5 非齐次边界条件处理非齐次边界条件处理 处理非齐次边界条件问题基本标准基本标准是:选取一个辅助函数 ,经过函数之间代换:使得对新未知函数 边界条件为齐次.第第92页页例1振动问题（I）解：取 故要求满足(I)边界条件，即解得思绪:作代换选取w(x,t)使v(x,t)边界条件化为齐次2.5 2.5 非齐次边界条件处理非齐次边界条件处理 第第93页页代入(I),得 定解问题(II)令2.5 2.5 非齐次边界条件处理非齐次边界条件处理 第第94页页假如仍取 线性函数作为 ，则有 此时除非 ，不然这两式相互矛盾。当x0和x=l 满足第二类边界条件注意：应取2.5 2.5 非齐次边界条件处理非齐次边界条件处理 第第95页页例 定解问题其中A,B为常数.解:令2.5 2.5 非齐次边界条件处理非齐次边界条件处理 第第96页页代入方程，得 选 满足 它解为2.5 2.5 非齐次边界条件处理非齐次边界条件处理 第第97页页于是 满足方程为：2.5 2.5 非齐次边界条件处理非齐次边界条件处理 第第98页页利用分离变量法，求解得 其中从而，原定解问题解为 2.5 2.5 非齐次边界条件处理非齐次边界条件处理 第第99页页一.选择适当坐标系.标准:边界条件表示式最简单.二.若边界条件是非齐次,引进辅助函数把边界条件化为齐次。三.对于齐次边界条件、非齐次方程定解问题，可将问题分解为两个,其 一是方程齐次,并含有原定解条件定解问题(分离变量法)；其二是含有齐次定解条件非齐次方程定解问题(特征函数法).普通定解问题解法普通定解问题解法普通定解问题解法普通定解问题解法2.5 2.5 非齐次边界条件处理非齐次边界条件处理 第第100页页例例 求以下定解问题解求以下定解问题解其中其中 为常数。为常数。解解 1 1）边界条件齐次化，令）边界条件齐次化，令 2.5 2.5 非齐次边界条件处理非齐次边界条件处理 第第101页页于是 满足以下定解问题2）将问题分解为两个定解问题。设2.5 2.5 非齐次边界条件处理非齐次边界条件处理 第第102页页2.5 2.5 非齐次边界条件处理非齐次边界条件处理 第第103页页3）求解问题(I),(II)。首先，利用分离变量法求解问题(I)。特征值及对应特征函数2.5 2.5 非齐次边界条件处理非齐次边界条件处理 第第104页页则利用初始条件确定系数计算可得2.5 2.5 非齐次边界条件处理非齐次边界条件处理 第第105页页其次，利用特征函数法求解问题(II)将 按问题（I）特征函数系进行傅立叶展开代入问题（II）方程及初始条件，得2.5 2.5 非齐次边界条件处理非齐次边界条件处理 第第106页页问题转化为求解以下常微分方程初值问题解得所以2.5 2.5 非齐次边界条件处理非齐次边界条件处理 第第107页页4）综合上述结果,得到原问题解2.5 2.5 非齐次边界条件处理非齐次边界条件处理 第第108页页 对于二维拉普拉斯方程边值问题而言,应依据求解区域形状适当选取坐标系,使得在此坐标系下边界条件表示方式最简单,便于求解.比如,对于圆域、圆环能够采取极坐标。应该指出,只有当求解区域非常规范时，才能够应用分离变量法求解拉普拉斯方程定解问题，或利用特征函数法求解泊松方程定解问题.注：圆域内周期性条件及有界性条件在题目中是不给出，这些条件需依据对题目标分析自己写出.2.5 2.5 非齐次边界条件处理非齐次边界条件处理 第第109页页