六节空间直线及其方程市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

第六节 空间直线及其方程在空间直角坐标系中：在空间直角坐标系中：一个三元一次方程表示一个平面；一个三元一次方程表示一个平面；空间直线空间直线一个三元二次方程表示一个曲面；一个三元二次方程表示一个曲面；两个曲面交线表示一空间曲线；两个曲面交线表示一空间曲线；两个平面交线表示（两个平面交线表示（）。）。第1页第 八节 空间直线及其方程 直线点向式方程 直线普通方程 直线参数方程两直线夹角 直线与平面夹角 例题、练习与思索第2页一一.空间直线普通方程空间直线普通方程 实际上空间直线能够看作两个平面交线：直实际上空间直线能够看作两个平面交线：直线上任一点坐标同时满足两个平面方程线上任一点坐标同时满足两个平面方程,直线外直线外点不可能同时在两个平面上。点不可能同时在两个平面上。LABCL第3页空间直线普通方程表示式空间直线普通方程表示式L比如比如:第4页空间直线普通方程表示式空间直线普通方程表示式 经过空间直线L平面有没有数多个，从中任两个方程联立，均表示空间直线L。LL第5页二二.空间直线对称式方程与参数方程空间直线对称式方程与参数方程直线对称式方程（点向式方程）sM(x,y,z)xzyO第6页1.对称式方程对称式方程(点向式点向式)方向向量方向向量:假如一个非零向量s平行于一条已知直线，这个向量s就叫做该直线方向向量。直线上任一向直线上任一向量都与量都与s s平行平行.Ls对称式方程建立依据：过空间一点能够做且只可做一条直线与已知直线平行，故当已知直线上一点M0与一个方向向量s，则直线位置完全能够确定下来。sM(x,y,z)第7页对称式方程对称式方程对称式方程建立已知直线已知直线L L上一点上一点 与一个方向向量与一个方向向量s=m,n,ps=m,n,p，M(x,y,z)M(x,y,z)是是直线上任一点直线上任一点,则则（1）向量向量 与方向向量与方向向量 s=m,n,p s=m,n,p平行；平行；（2 2）两个向量坐标对应成百分比；即）两个向量坐标对应成百分比；即有有称之为直线对称式方程.第8页方向数与方向余弦方向数与方向余弦方向数：直线任一方向向量坐标，即 设直线方向向量 s=m,n,p,则m,n,p为该直线一组方向数。向量s方向余弦叫作该直线方向余弦。即第9页三三.直线参数方程直线参数方程 由直线对称式方程能够导出直线参数方程。只须设则有这就是直线这就是直线L L参数方程参数方程.这里这里t t为参数为参数.第10页例例1 求过点M0 (4,-1,3)且平行于直线L1直线方程.解解 设已知直线设已知直线L1方向向量方向向量s1=2,1,-5=2,1,-5所求直线所求直线L L方向向量为方向向量为s s，因为因为s s平行平行s1可取可取s=2,1,-5;s=2,1,-5;又因为直线又因为直线L过点过点M0 (4,-1,3)，故，所求直线方程故，所求直线方程L为：为：s1L1sM0第11页例例2求以下直线对称式方程解解 （1）求求s,s,已知相交于已知相交于 直线两个平面法向量分别为直线两个平面法向量分别为n1=3,2,4,=3,2,4,n2=2,1,-3,=2,1,-3,则则有有 即即 s=-10,17,-1.(2)求点求点M0,令方程组中令方程组中z=0,则由则由点确定方法不唯一.也可以令y=1等等得得M0=(-9,19,0).故所故所求直线方程求直线方程L为：为：第12页四四.两直线夹角两直线夹角两直线夹角定义：两直线方向向量之间夹角（锐角）叫作两直线夹角.s1=m1,n1,p1s2=m2,n2,p2L1L2第13页设直线设直线 L1方向向量方向向量s1=m=m1 1,n,n1 1,p,p1 1,设直线设直线 L2方向向量方向向量s2=m=m2 2,n,n2 2,p,p2 2,则直线则直线 L1与直线与直线L2夹角余弦公式为夹角余弦公式为：两直线夹角余弦公式两直线夹角余弦公式第14页 两个结论：两个结论：1.若直线 L1与直线 L2平行，则有两直线平行图示两直线平行图示第15页两直线垂直图示两直线垂直图示2.若直线 L1与直线 L2 垂直，则有图示第16页例题例题已知直线解解 由所给方程知由所给方程知 s1=1，-4，1,s2=2，-2，-1，代入夹角公式可得代入夹角公式可得求两直线夹角.第17页四四.直线与平面夹角直线与平面夹角定义直线与平面夹角设直线 L方向向量 s=m,n,p设平面法线向量 n=A,B,C则定义s 与n 夹角为直线 L与平面夹角.记作.第18页 Ax+By+Cz+D=0n=A,B,Cs=m,n,pL直线与平面夹角（图示）直线与平面夹角（图示）这是平面与直线L交角这是直线L与其在平面上投影交角第19页四四.直线与平面夹角直线与平面夹角夹角公式：夹角公式：已知直线L方向向量为（m,n,p）平面法向量为（A，B，C），则有n=A,B,Cs=m,n,p第20页 两个结论：两个结论：1.若直线 L与平面平行，则nsns，于是n=A,B,Cs=m,n,pL/图示L：s=m,n,p Ax+By+Cz+D=0第21页2.若直线 L与平面 垂直，则则ns，于是n=A,B,Cs=m,n,pL：Ax+By+Cz+D=0第22页 平行平行练习练习 思索思索 讨论讨论确定下面直线与平面位置关系确定下面直线与平面位置关系：（1）.4x-2y-2z=3,与与（2）.3x-2y+7z=8,与与（3）.x+y+z=3,与与直线在平面上垂直垂直第23页求直线与平面交点求直线与平面交点n=A,B,C：Ax+By+Cz+D=0L：s=m,n,pM(x,y,z)图示图示怎样才能求出交点M？第24页例题例题 已知平面 2x+y+z-6=0及直线 L解解 令直线方程 求其交点.得 x=2+t y=3+t z=4+2t （1）代入平面方程，得 2 2（2+2+t t）+(3+t)+(4+2t)-6=0+(3+t)+(4+2t)-6=0整理得5t=-5,即t=-1将t=-1代回方程组（1）有x=1,y=2,z=2.即点（1，2，2）为该直线与已知平面交点解法2，将直线方程化为普通式与已知平面联立解得.第25页L五五.综合例题综合例题解（方法一）(1)过点P作平面垂直于直线L，则平面法向量 n平行于直线方向向量s，即nPQsn=2,0,-1,P(0,-1,1),得平面方程 2x-z+1=0.(2)求直线与平面交点，解方程组y+2=0 x+2z-7=02x-z+1=0 即得 Q（1，-2，3）(3)即为所求.x=1,y=-2,z=3.图示图示1.求点求点P(0,-1,1)到直线到直线 y+2=0 x+2z-7=0距离距离.第26页L五五.例题例题解（方法二）以|PQ|为高作一个平行四边形如图。则d=|PQ|=平行四边形高。PQs(1)在L上求出一点M0，不妨令已知方程组 z=0 可得 M0(7,-2,0).(2)由上面知 s=2,0.-1,另作向量 于是有M01.求点求点P(0,-1,1)到直线到直线L距离距离.图示图示第27页续上续上(3)即为所求.d 即为所求平行四边形高PQ.LPQsM01.求点求点P(0,-1,1)到直线到直线y+2=0 x+2z-7=0 距离距离.图示图示由向量积几何意义知：平行四边形面积第28页五五.综合例题综合例题（直线方程形式互化直线方程形式互化）1.将直线化为参数方程和对称式方程.解解 （1）求参数方程，求参数方程，令令？此即所要求参数方程此即所要求参数方程.第29页2.将直线对称式方程L化为普通方程.解解 （2）求普通方程，求普通方程，由由？即为所要求普通方程即为所要求普通方程.第30页3.将直线普通方程L化为标准方程（即对称式方程）.解解 先求点Mo，不妨令y=0,则有 x=1,z=-2，即 Mo(1,0,-2);带回标准方程，得结果如左.再求 s,由第31页练习练习.思索思索.讨论讨论1.求过点求过点A（3，-2，1）且垂直于直线）且垂直于直线 平面方程平面方程.2.用参数方程与对称式方程表示直线：用参数方程与对称式方程表示直线：第32页3.验证两条直线 L1,L2是否共面.其中答：共面.能够由前三个平面方程联立解得：x=4,y=5,z=-7,代入第四个平面方程检验，满足该方程。提醒提醒任取三个平面方任取三个平面方程联立，解出交程联立，解出交点后代入并满足点后代入并满足第四个平面方程，第四个平面方程，则两直线共面则两直线共面第33页4.证实两条直线 L1,L2相互垂直.其中证实：由已知证实：由已知 先求出两条先求出两条直线方向向量，直线方向向量，再由两个方向向再由两个方向向量数量积为零证量数量积为零证得得.提醒提醒第34页小结小结空间直线方程：空间直线方程：（用三元一次方程表示）（用三元一次方程表示）向量式向量式普通式普通式点向式点向式参数式参数式第35页