六节多元函数的极值市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

第六节第六节 多元函数极值多元函数极值一、多元函数极值一、多元函数极值二、多元函数最大值与二、多元函数最大值与最小值最小值三、条件极值三、条件极值第1页一、多元函数极值定义10.7 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)某一邻域内有定义，假如在该邻域内任何点(x,y)函数值恒有f(x,y)f(x0,y0)(或f(x,y)f(x0,y0)，则称点(x0,y0)为函数极大值点(或极小值点).f(x0,y0)为极大值(或极小值)，极大值和极小值统称为极值.极大值点和极小值点统称为极值点.第2页例1 函数 ，在原点(0,0)处取得极小值1.因为，对于任何点(x,y)(0,0)，都有f(x,y)f(0,0)=1,这个极小值也是最小值.该函数图形是椭圆抛物面.在曲面上点(0,0,1)z坐标小于曲面上其它点z坐标.第3页例2 函数 ，在原点(0,0)处取得极大值1.因为对于任何(x,y)(0,0)，都有f(x,y)f(0,0)=1这个函数图形是椭圆抛物面.在曲面上点(0,0,1)z坐标大于曲面上其它点z坐标.第4页定理10.6(极值存在必要条件)设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)取得极值，且在该点偏导数存在，则必有证 因为z=f(x,y)在点(x0,y0)取得极值，所以当y保持常量y0时，对一元函数z=f(x,y0)在点x0点也必有极值，依据一元函数极值存在必要条件，得同理可证使 同时成立点(x0,y0),称为函数f(x,y)驻点.第5页轻易看出驻点(0,0)不是函数极值点.注意：驻点不一定是函数极值点.比如，函数z=x2y2，在点(0,0)处两个偏导数同时为零，即 还要注意：极值点也可能不是驻点，因为偏导数不存在点也可能是极值点，如锥面 顶点(0,0,1)，偏导数不存在，但顶点是极值点.第6页定理10.7(极值充分条件)设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)某一邻域内有连续一阶与二阶偏导数，且(x0,y0)是函数一个驻点，即 ,记 ，则(1)当B2AC0，且A0时,(x0,y0)为极大值点，f(x0,y0)为极大值；当B2AC0时，(x0,y0)为极小值点，f(x0,y0)为极小值.(2)当B2AC0时，f(x0,y0)不是极值.(3)当B2AC=0时，f(x0,y0)可能为极值，也可能不是极值，此法失效.第7页 综合定理10.6，定理10.7，对于含有二阶连续偏导数函数z=f(x,y)求其极值步骤以下：2.求出二阶偏导数 ，并对每一驻点，求出二阶偏导数值A，B，C.1.求方程组一切实数解，得到全部驻点.3.对每一驻点(x0,y0)，定出B2AC符号，按照定理10.7结论判定f(x0,y0)是否为极值，是极大值还是极小值.第8页例3 求函数 极值.一切实数解，得驻点(1,0).在(1,0)点处，有A=2，B=1，C=2.B2AC=30，由极值充分条件，得f(1,0)=1为极小值.解 求方程组求函数二阶偏导数第9页例4 求函数 极值.一切实数解，得驻点(0,0)，(4,2).解 求方程组求函数f二阶偏导数，第10页由极值充分条件知，知(0,0)不是极值点，f(0,0)=0不是函数极值.在(4,2)点处，有而A0第11页怎样求函数z=f(x,y)在区域D上最大值、最小值呢？假如f(x,y)在D上可微，可先求出函数在该区域内一切驻点处函数值及函数在区域边界上最大值与最小值.在这些函数值中最大就是函数在D上最大值，最小就是函数在D上最小值.二、多元函数最大值与最小值第12页例5 要用铁板做一个体积为常数a有盖长方体水箱，问水箱各边尺寸多大时，用材料最省.解 设水箱长、宽、高分别为x，y，z，于是体积a=xyz，表面积A为 A=2(xy+xz+yz).将 代入A表示式中，得第13页由第一个方程，得 ，将其代入第二个方程，得求函数A(x,y)驻点.第14页依据实际问题能够断定，A(x,y)在D内一定有最小值，而在D内只有唯一驻点 ，则该驻点就是A(x,y)最小值点，即当 时，面积A取得最小值.此时高 ，即水箱为正立方体，每边长为 时，所用材料最省.第15页三、条件极值从上述例5我们看到，求水箱用料最省这一实际问题转化为数学问题就是求二元函数在x0，y0时最小值问题.不过，从函数A(x,y)建立过程也能够看成是求三元函数 A=2(xy+xz+yz)在约束条件 xyz=a下最小值，这就是条件极值问题，其普通提法是：第16页求函数z=f(x,y)，在约束条件 下极值，称这种类型极值问题为条件极值问题.相对于条件极值，我们把函数(1)极值问题称为无条件极值问题.第17页拉格朗日乘数法 求函数z=f(x,y)在条件 下极值，按以下方法进行：结构辅助函数 ，其中 称为拉格朗日乘数.求 偏导数，并建立方程组解该方程组，得x，y及，则(x,y)是可能极值点坐标.这种求条件极值方法称为拉格朗日乘数法.第18页例6 设周长为2p矩形，绕它一边旋转组成圆柱体，求矩形边长各为多少时，圆柱体体积最大.解 设矩形边长分别为x和y，且绕边长为y边旋转，得到旋转圆柱体体积为其中矩形边长x，y满足约束条件是2x+2y=2p，即x+y=p.现在求函数 在条件x+yp=0下最大值.第19页结构辅助函数：求F(x,y)偏导数，并建立方程组由方程组中第一、二两个方程消去，得2y=x，代入第三个方程，得第20页依据实际问题，最大值一定存在，且只求得唯一可能极值点，所以函数最大点必在 处取到.即，当矩形边长 时，绕y边旋转所得圆柱体体积最大，.第21页例7 某企业两个工厂生产一样产品,但所需成本不一样,第一个工厂生产x个产品和第二个工厂生产y个产品时总成本为z=x2+2y2+5xy+700,若企业生产任务是500个产品,问每个工厂生产多少产品才能使总成本最小?解 由题意知成本函数为 z=x2+2y2+5xy+700 约束条件为 x+y=500结构辅助函数 F(x,y,)=x2+2y2+5xy+700+(x+y500)可得第22页得 x=125,y=375依据题意,最小值一定存在,且只求得唯一可能极值.所以函数最小值必在x=125,y=375处取得,即当第一个工厂生产125个产品,第二个工厂生产375个产品时,所需总成本最小.第23页