1、第四节第四节 多元复合函数求导法则多元复合函数求导法则一、一、链锁法则链锁法则二、二、全微分形式不变性全微分形式不变性第1页一、链锁法则引入:复合函数怎样求它偏导数?问:若上面三个函数都是详细函数,那么,它们复合函数也是详细函数,当然,我们会求它偏导数。不过,若上面三个函数中最少有一个是抽象函数,那么,它们复合函数也是抽象函数,它偏导数又怎么求?第2页这是一个新问题,要求出这么一个函数偏导数,还需要新公式。这就是下面要研究多元函数求导法则(或链锁法则)。第3页定理1 设函数 及 都在点t可导,函数z=f(u,v)在对应点(u,v)含有连续偏导数,则复合函数 在点t可导,且有1、复合函数中间变量
2、均为一元函数情形 按照多元复合函数不一样复合情形,分两种情形来讨论:第4页将上式两边同时除以 ,得证:这时对应增量为取得增量由第三节定理2 证实过程,我们可得到由此,函数z=f(u,v)对应地其中,第5页令取极限,得,即即第6页=第7页 假如函数 都在点 t 可导,函数z=f(u,v,w)在对应点(u,v,w)含有连续偏导数,则复合函数 在点 t 导数存在,且有注第8页2、复合函数中间变量均为多元函数情形定理2 假如函数 及 在点(x,y)含有对x及对y偏导数,函数z=f(u,v)在对应点(u,v)含有连续偏导数,则复合函数 在点(x,y)两个偏导数存在,且有第9页已知对y偏导数,在点(x,y
3、)含有对x及函数 z=f(u,v)在对应点(u,v)含有连续偏导数,现在,将 y 取定为常数,则由定理1得+得复合函数对 x 偏导数存在,且有同理,将 x 取定为常数,则可得(4)式.此即(3)式.第10页 为了掌握复合函数求导法则,可画复合函数结构示意图,由示意图可清楚地看出哪些是中间变量,哪些是自变量,以及中间变量和自变量个数,公式(3)、(4)示意图以下:zuvxy第11页在点(x,y)两个偏导数都存在,且可用以下公式计算:设 都在点(x,y)含有对x及对y偏导数,函数z=f(u,v,w)在对应点(u,v,w)有连续偏导数,则复合函数注第12页(1)求以下函数复合函数导数或偏导数(3)(
4、2)第13页解(1)+=+=+第14页(2)+=+第15页+=(3)+相同,但所表示意思不一样!必须加以区分!对自变量 x偏导数对中间变量 x偏导数第16页为了防止混同,普通地,将对中间变量偏导数记为将对自变量偏导数记为第17页比如上面(3)可写为:+=+=+第18页注意:这里 与 是不一样,是把复合函数 中y看作常数而对x导数,是把 f(u,x,y)中 u 及y看作常数而对x导数.与 也有类似区分.第19页由复合函数求导法则得解:=+=+第20页例2解:+=+=+=+=第21页例3解:+=+第22页解:+=+第23页解注第24页例6 设 ,f 含有二阶连续偏导数,求这里下标1表示对第一个中间
5、变量u求偏导数,下标2表示对第二个中间变量v求偏导数.解同理有第25页因所给函数由w=f(u,v)及u=x+y+z,v=xyz复合而成,所以依据复合函数求导法则,有=+依据复合函数求导法则,有+=+=+仍是 x,y,z复合函数,第26页+=+()+=+第27页例7 设u=f(x,y)全部二阶偏导数连续,把以下表示式转换为极坐标系中形式.解=由(1)式得这么,可看作由复合而成.得第28页两式平方后相加,得依据复合函数求导法则,得第29页=+=第30页再求二阶偏导数,得=+第31页=第32页=+第33页同理可得两式相加,得第34页二、全微分形式不变性:设函数 含有连续偏导数,则有全微分若u、v又是x、y函数,,且这两个函数也含有连续偏导数,则复合函数全微分为第35页所谓全微分形式不变性是指:不论z是自变量 u、v函数或中间变量 u、v函数,它全微分形式是一样,这个性质叫做全微分形式不变性.=+证=+第36页例8 用全微分形式不变性解下题:解:将du、dv代入,得第37页即第38页作作 业业P822,4,6,8,9,11,12(1),13.第39页