五节平面及其方程市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

第五节第五节 平面及其方程平面及其方程一、平面点法式方程一、平面点法式方程二、平面普通方程二、平面普通方程三、两平面夹角三、两平面夹角返回返回第1页在本节和下一节里，我们将以向量为工具，在空间直角坐标在本节和下一节里，我们将以向量为工具，在空间直角坐标系中讨论最简单曲面和曲线系中讨论最简单曲面和曲线平面和直线平面和直线.一、平面点法式方程一、平面点法式方程假如一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面假如一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面法线法线向量向量.轻易知道，平面上任一向量均与该平面法线向量轻易知道，平面上任一向量均与该平面法线向量垂直垂直.和它一个法线向量和它一个法线向量 因为过空间任一点能够作而且只能作一平面垂直于一已知直因为过空间任一点能够作而且只能作一平面垂直于一已知直线，所以当平面线，所以当平面II上一点上一点为已知时，平面为已知时，平面位置就完全确定了位置就完全确定了.下面我下面我 们来建立平面们来建立平面方程方程.第2页设设 是平面是平面II任一点任一点(图图751).那么向量必与平面那么向量必与平面II法线向量法线向量n垂直，即垂直，即它们数量积等于零：它们数量积等于零：因为因为,(1)这就是平面这就是平面II上任一点上任一点 M坐标坐标 所满足方程所满足方程.,所以有所以有：反过来，假如反过来，假如 不在平面不在平面II上上,那么向量那么向量 与法线向量与法线向量 不垂直不垂直,从而从而,即不在平面即不在平面II上上点点M坐标坐标x，y，z不满足方程不满足方程(1).第3页及它一个法线向量及它一个法线向量 由此可知，平面由此可知，平面II上任一点坐标上任一点坐标x，y，z都满足方程都满足方程(1)；不在平面不在平面II上点坐标都不满足方程上点坐标都不满足方程(1).这么，方程这么，方程(1)就是平面就是平面II方程，而平面方程，而平面II就是方程就是方程(1)图形图形.因为方程因为方程(1)是由平面是由平面II上一点上一点 确定，所以方程确定，所以方程(1)叫做平面点法式方程叫做平面点法式方程.例例 1 求过点求过点(2,-3,0)且以且以n=(1,-2,3)位法线向量平面方程位法线向量平面方程.解解 依据平面点法式方程依据平面点法式方程(1)，得所求平面方程，得所求平面方程 (x-2)2(y+3)+3z=0,即即 x 2y+3z 8=0 第4页例例 2 求过三点求过三点M1(2,-1,4),M2(-1,3,-2)和和M3(0,2,3)平面平面方程方程.解解 先找出这平面法线向量先找出这平面法线向量 n.因为向量因为向量n与向量与向量 都垂直，而都垂直，而(-3,4,-6),=(-2,3,-1)，所以可取它们向量积为所以可取它们向量积为n：n=14i+9j k,依据平面点法式方程依据平面点法式方程(1)，得所求平面方程为，得所求平面方程为14(x-2)+9(y+1)(z 4)=0,14x+9y z 15=0.返回返回第5页二、平面普通方程二、平面普通方程因为平面点法式方程因为平面点法式方程(1)式式x、y、z一次方程，而任意平一次方程，而任意平面都能够用它上面一点及它法线向量来确定，所以任一平面面都能够用它上面一点及它法线向量来确定，所以任一平面都能够用三元一次方程来表示都能够用三元一次方程来表示.反过来，设有三元一次方程反过来，设有三元一次方程 Ax+By+Cz+D=0.我们任取满足方程一组数我们任取满足方程一组数 x0,y0,z0，即，即 A x0+B y0+C z0+D=0.把上述两等式相减，得把上述两等式相减，得 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.把上述两等式点法式方程把上述两等式点法式方程(1)作比较，能够知道方程作比较，能够知道方程(4)是是经过点经过点M0(x0,y0,z0)且以且以n=(A,B,C)为法线向量平面方程为法线向量平面方程.但但方程方程(2)与方程与方程(4)同解，这是因为由同解，这是因为由(2)减去减去(3)即得即得(4)，又，又由由(4)加上加上(3)就得就得(2).由此可知，任一三元一次由此可知，任一三元一次(2)图形总是图形总是一个平面一个平面.第6页方程方程(2)称为平面普通方程，其中称为平面普通方程，其中x,y,z系数就是该平面系数就是该平面一个法线向量一个法线向量n坐标，即坐标，即n=(A,B,C).比如，方程比如，方程 3x 4y+z-9=0 表示一个平面，表示一个平面，n=(3,-4,1)是这平面一个法线向量是这平面一个法线向量.对于一些特殊三元一次方程，应该熟悉它们图形特点对于一些特殊三元一次方程，应该熟悉它们图形特点.当当D=0时，方程时，方程(2)成为成为Ax+By+Cz=0，它表示一个经过，它表示一个经过原点平面原点平面.当当A=0时，方程时，方程(2)成为成为Bx+Cz+D=0，法线向量，法线向量n(0,B,C)垂直于垂直于x轴，方程表示一个平行于轴，方程表示一个平行于x轴平面轴平面.一样，方程一样，方程Ax+Cz+D=0和和Ax+By+D=0，分别表示一，分别表示一个平行于个平行于y轴和轴和z轴平面轴平面.当当A=B=0时，方程时，方程(2)成为成为Cz+D=0或或z=-n(0,0,C)同时垂直同时垂直x轴和轴和y轴，方程表示一个平行于轴，方程表示一个平行于xOy面面平面平面.，法线向量法线向量第7页例例 3 求经过求经过x轴和点轴和点(4,-3,-1)平面方程平面方程.解解 因为平面经过因为平面经过x轴，从而它法线向量垂直于轴，从而它法线向量垂直于x轴，于是轴，于是法线向量在法线向量在x轴上投影为零，轴上投影为零，即即A=0；又由平面经过；又由平面经过x轴，轴，它必经过原点，于是它必经过原点，于是D=0.所以可设这平面方程为所以可设这平面方程为 By+Cz=0.又因这平面经过点又因这平面经过点(4,-3,-1)，所以有，所以有-3B C=0,或或 C=-3B.以此代入所设方程并除以以此代入所设方程并除以 B(B 0)，便得所求平面方程为，便得所求平面方程为 y 3z=0.第8页例例 4 设一平面与设一平面与x、y、z轴交点依次为轴交点依次为P(a,0,0)、Q(0,b,0)、R(0,0,c)三点三点(图图752)，求这平面方程，求这平面方程(其中其中 a 0,b 0,c 0).解解 设所求平面方程为设所求平面方程为 Ax+By+Cz=0 因因P(a,0,0)、Q(0,b,0)、R(0,0,c)三点都在三点都在这平面上，所以点这平面上，所以点P、Q、R坐标都满足坐标都满足方程方程(2)；即有；即有得得A=-，B=-，C=-第9页 方程方程(5)叫做平面截距式方程，而叫做平面截距式方程，而a、b、c依次叫做依次叫做平面在平面在x、y、z轴上截距轴上截距.返回返回以此代入以此代入(2)并除以并除以D(D 0)，便得所求平面方程为，便得所求平面方程为 第10页三、两平面夹角三、两平面夹角两平面法线向量夹角两平面法线向量夹角(通常指锐角通常指锐角)称为称为两平面夹角两平面夹角.按两向量夹角余弦坐标表示式，平面按两向量夹角余弦坐标表示式，平面II1和平面和平面II2夹角夹角可由可由 来确定来确定.从两向量垂直、平行充分必要条件马上推得以下结论：从两向量垂直、平行充分必要条件马上推得以下结论：II1、II2相互垂直相当与相互垂直相当与 II1、II2相互平行或重合相当于相互平行或重合相当于(-n1,n2)=-(n1,n2)二者中锐角，二者中锐角，所以，所以，cos=|cos(n1,n2)|.设平面设平面II1和和II2法线向量依次为法线向量依次为n1=(A1,B1,C1)和和n2=(A2,B2,C2),那么平面那么平面II1和和II2夹角夹角(图图 7-53)应是应是()和和n1,n2第11页例例 5 求两平面求两平面xy+2z 6=0和和2x+y+z 5=0夹角夹角.解解 由公式由公式(6)有有所以，所求夹角所以，所求夹角 第12页例例 6 一平面经过两点一平面经过两点M1(1,1,1)和和M2(0,1,-1)且垂直于平面且垂直于平面x+y+z=0,求它方程求它方程.解解 设所求平面一个法线向量为设所求平面一个法线向量为n=(A,B,C).因因=(-1,0,-2)在所求平面上，它必与在所求平面上，它必与n垂直垂直，所以有，所以有-A-2C=0.又因所求平面垂直于已知平面又因所求平面垂直于已知平面x+y+z=0，所以又有所以又有A+B+C=0.由由(7)、(8)得到得到 A=-2C,B=C.由平面点法式方程可知，所求平面方程为由平面点法式方程可知，所求平面方程为A(x-1)+B(y-1)+C(z-1)=0,将将A=-2C及及B=C代入上式，并约去代入上式，并约去C(C0)，使得，使得 -2(x-1)+(y-1)+(z-1)=0.或或 2x-y-z=0.这就是所求平面方程这就是所求平面方程.第13页例例 7 设设P0(x0,y0,z0)，并作一法线向量，并作一法线向量n，由图，由图7-54，并考虑到，并考虑到 与与n夹角也可能是钝角，得所求距离夹角也可能是钝角，得所求距离(图图7-54).解解 在平面上任取一点在平面上任取一点P0(x1,y1,z1)，并作一法线，并作一法线向量向量n，由图，由图7-54，并考虑到，并考虑到 与与n夹角也可夹角也可 能是钝角，得所求距离能是钝角，得所求距离设设en为与向量为与向量n方向一致单位向量，那么有方向一致单位向量，那么有 d=|Prjn|.Prjn=而而=(x0-x1,y0-y1,z0-z1),第14页所以所以Prjn=因为因为 所以所以 Prjn=由此得点由此得点P0(x0,y0,z0)到平面到平面 距离公式：距离公式：d=第15页比如，求点比如，求点(2,1,1)到平面到平面x+y-z+1=0距离距离.d=可利用公式可利用公式(9)，便得，便得 返回返回第16页