1、第四节第四节 空间曲线及其方程空间曲线及其方程一、空间曲线普通方程一、空间曲线普通方程二、二、空间曲线参数方程空间曲线参数方程 三、空间曲线在坐标面上投影三、空间曲线在坐标面上投影返回返回第1页空间曲线空间曲线能够看作两个曲面交线能够看作两个曲面交线.设设 一、空间曲线普通方程一、空间曲线普通方程和和 是两个曲面方程是两个曲面方程,它们交线为它们交线为C(图图7-44).(1)因为曲线因为曲线C上任何点坐标应同时上任何点坐标应同时满足这两个曲面方程满足这两个曲面方程,所以应满足方程组所以应满足方程组图图7-44第2页例例1 方方程组程组 表示怎样曲线表示怎样曲线?解解 方程组中第一个方程表示母
2、线平行于方程组中第一个方程表示母线平行于z轴圆柱面轴圆柱面,其准其准线是线是xOy面上圆面上圆,圆心在原点圆心在原点O,半径为半径为1.反过来反过来,假如点假如点M不在曲线不在曲线C上上,那么它不可能同时在两个曲那么它不可能同时在两个曲面上面上,所以它坐标不满足方程组所以它坐标不满足方程组(1).所以所以,曲线曲线C能够用方能够用方程组程组(1)来表示来表示.方程组方程组(1)叫做叫做空间曲线空间曲线C普通方程普通方程.方程组中第二个方程表示一个母线平行于方程组中第二个方程表示一个母线平行于y轴柱面轴柱面,因为因为它准线是它准线是zOx面上直线面上直线,所以它是一个平面所以它是一个平面.第3页
3、方程组就表示上述平面与圆柱面交线方程组就表示上述平面与圆柱面交线,如图如图7-45 所表示所表示.图图7-45 xyzO第4页例例2 方程组方程组 表示怎样曲线表示怎样曲线?解解 方程组中第一个方程表示球心在坐标原点方程组中第一个方程表示球心在坐标原点O,半径为半径为a上半球面上半球面.,半径为半径为 第二个方程表示母线平行于第二个方程表示母线平行于z轴圆柱面轴圆柱面,它准线是它准线是xOy面上圆面上圆,这圆圆心在点这圆圆心在点 返回返回第5页二、空间曲线参数方程二、空间曲线参数方程 空间曲线空间曲线C方程除了普通方程之外方程除了普通方程之外,也能够用参数形式表示也能够用参数形式表示,只要将只
4、要将C上动点坐标上动点坐标x，y，z表示为参数表示为参数t函数函数:(2)当给定当给定 时时,就得到就得到C上一个点上一个点 伴随伴随t变动便可得曲线变动便可得曲线C上全部点上全部点.方程组方程组(2)叫做叫做空间曲线参数方程空间曲线参数方程.第6页都是常数都是常数),那么点那么点M组成图形叫做组成图形叫做螺旋线螺旋线.试建立试建立例例3 假如空间一点假如空间一点M在圆柱面在圆柱面 上以角速度上以角速度 绕绕z轴旋转轴旋转,同时又以线速度同时又以线速度v沿平行于沿平行于z轴正方向上升轴正方向上升(其其中中 其参数方程其参数方程.解解 取时间取时间t为参数为参数.设当设当 时时,处处.经过时间经
5、过时间t,动点由动点由A运动到运动到(图图7-47).动点位于动点位于x轴上一点轴上一点 图图7-47h第7页记记M在在xOy面上投影为面上投影为,坐标为坐标为 因为动点在圆柱面上以角速度因为动点在圆柱面上以角速度 绕绕z轴旋转轴旋转,所以经过时间所以经过时间t,从而从而 因为动点同时以线速度因为动点同时以线速度v沿平行于沿平行于z轴正方向上升轴正方向上升,所以所以第8页所以螺旋线参数方程为所以螺旋线参数方程为也能够用其它变量作参数也能够用其它变量作参数;比如令比如令 ,则螺旋线参数则螺旋线参数方程可写为方程可写为 这里这里,而参数为而参数为 第9页螺旋线是实践中常用曲线.例如,平头螺丝钉外缘
6、曲线就是螺旋线.当我们拧紧平头螺丝钉时,它外缘曲线上任一点M,一方面绕螺丝钉轴旋转,其次又沿平行于轴线方向前进,点M就走出一段螺旋线.螺旋线有一个主要性质螺旋线有一个主要性质:当当 从从 变到变到 时时,z由由 变到变到 尤其是当尤其是当转过一周转过一周,即即 时时,M点就上升固定点就上升固定高度高度.这个高度这个高度 在工程技术上叫做在工程技术上叫做螺距螺距.这说明当这说明当 转过角转过角 时时,M点沿螺旋线点沿螺旋线上升了高度上升了高度 即上升高度与即上升高度与 转过角度成正比转过角度成正比.,第10页*曲面参数方程曲面参数方程 下面顺便介绍一下曲面参数方程下面顺便介绍一下曲面参数方程.曲
7、面参数方程通常是含两曲面参数方程通常是含两个参数方程个参数方程,形如形如 比如空间曲线比如空间曲线 第11页绕绕z轴旋转轴旋转,所得旋转曲面方程为所得旋转曲面方程为（4）这是因为这是因为,固定一个固定一个t,得得 上一点上一点,点点 绕绕z轴旋转轴旋转,得空间一个圆得空间一个圆,该圆在平面该圆在平面 上上,其半其半径为点径为点 到到z轴距离轴距离,所以所以,固定固定t方方程程(4)就是该圆参数方程就是该圆参数方程.再令再令t在在 内变动内变动,方程方程(4)便是旋转曲面方程便是旋转曲面方程.第12页 比如直线比如直线 绕绕z轴旋转所得旋转曲面轴旋转所得旋转曲面(图图7-48)方程为方程为(上式
8、消去上式消去t和和,得曲面直角坐标方程为得曲面直角坐标方程为)图图7-48 yzxo第13页又如球面又如球面 可看成可看成zOx面上半圆周面上半圆周 绕绕z轴旋转所得轴旋转所得(图图7-49),故球面方程为故球面方程为图图7-49 xyzO返回返回第14页三、空间曲线在坐标面上投影三、空间曲线在坐标面上投影设空间曲线设空间曲线C普通方程为普通方程为 (5)现在我们来研究由方程组现在我们来研究由方程组(5)消去变量消去变量z后所得方程后所得方程(6)因为方程因为方程(6)是由方程组是由方程组(5)消去消去z后所得结果后所得结果,所以当所以当x，y和和z满足方程组满足方程组(5)时时,前两个数前两
9、个数x，y必定满足方程必定满足方程(6),这说明这说明曲线曲线C上全部点都在由方程上全部点都在由方程(6)所表示曲面上所表示曲面上.第15页由上节知道由上节知道,方程方程(6)表示一个母线平行于表示一个母线平行于z轴柱面轴柱面.所表示曲线必定包含空间曲线所表示曲线必定包含空间曲线C在在xOy面上投影面上投影.同理同理,消去方程组消去方程组(5)中变量中变量x或变量或变量y,再分别和再分别和x=0或或y=0联联立立,我们就可得到包含曲线我们就可得到包含曲线C在在yOz面或面或xOz面上投影曲线面上投影曲线方程方程:或或 由上面讨论可知由上面讨论可知,这柱面必定包含曲线这柱面必定包含曲线C.以曲线
10、以曲线C为准线为准线,母线平行于母线平行于z轴轴(即垂直于即垂直于xOy面面)柱面叫做曲线柱面叫做曲线C关于关于xOy面面投影柱面投影柱面,投影柱面与投影柱面与xOy面交线叫做空间曲线面交线叫做空间曲线C在在xOy面面上上投影曲线投影曲线,或简称或简称投影投影.所以所以,方程方程(6)所表示柱面必定包所表示柱面必定包含投影柱面含投影柱面,而方程而方程第16页例例4 已知两球面方程为已知两球面方程为(7)和和(8)求它们交线求它们交线C在在xOy面上投影方程面上投影方程.解解 先求包含交线先求包含交线C而母线平行于而母线平行于z轴柱面方程轴柱面方程.所以要由所以要由方程方程(7),(8)消去消去
11、z,为此可先从为此可先从(7)式减去式减去(8)式并化简式并化简,得到得到再以再以z=1-y代入方程代入方程(7)或或(8)即得所求柱面方程为即得所求柱面方程为轻易看出轻易看出,这就是交线这就是交线C关于关于xOy面投影柱面方程面投影柱面方程,于是两球于是两球面交线在面交线在xOy面上投影方程是面上投影方程是第17页在重积分和曲面积分计算中在重积分和曲面积分计算中,往往需要确定一个立体或曲往往需要确定一个立体或曲面在坐标面上投影面在坐标面上投影,这时要利用投影柱面和投影曲线这时要利用投影柱面和投影曲线.例例5 设一个立体由上半球面设一个立体由上半球面 和锥面和锥面 所围成所围成(图图7-50),求它在求它在xOy面上投影面上投影.解解 半球面和锥面交线为半球面和锥面交线为 由上列方程组消去由上列方程组消去z,得到得到 图图7-50 xyzo第18页这是这是xOy面上一个圆面上一个圆,于是所求立体在于是所求立体在xOy面上投影面上投影,就是该圆在就是该圆在xOy面上所围部分面上所围部分:.这是一个母线平行于这是一个母线平行于z轴圆柱面轴圆柱面,轻易看出轻易看出,这恰好是交线这恰好是交线C关于关于xOy面投影柱面面投影柱面,所以交线所以交线C在在xOy面上投影曲线为面上投影曲线为返回返回第19页
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