2015届高考数学第一轮基础巩固训练题14.doc

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第4讲　随机事件的概率
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f(n)，则随着n的逐渐增加，有 (　　)．
A．f(n)与某个常数相等
B．f(n)与某个常数的差逐渐减小
C．f(n)与某个常数差的绝对值逐渐减小
D．f(n)在某个常数附近摆动并趋于稳定
解析　随着n的增大，频率f(n)会在概率附近摆动并趋于稳定，这也是频率与概率的关系．
答案　D
2．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是 (　　)．
A．至少有一个红球与都是红球
B．至少有一个红球与都是白球
C．至少有一个红球与至少有一个白球
D．恰有一个红球与恰有二个红球
解析　对于A中的两个事件不互斥，对于B中两个事件互斥且对立，对于C中两个事件不互斥，对于D中的两个互斥而不对立．
答案　D
3．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为 (　　)．
A．0.2 B．0.3　　
C．0.7 D．0.8
解析　由题意知该同学的身高超过175 cm的概率为1－0.2－0.5＝0.3，故选B.
答案　B
4．(2014·沈阳模拟)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是 (　　)．
A. B．　　
C. D．
解析　从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球通过列举知共有10个基本事件；所取的3个球中至少有1个白球的反面为“3个球均为红色”，有1个基本事件，所以所取的3个球中至少有1个白球的概率是1－＝.
答案　D
5．(2013·陕西卷)对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是 (　　)．

A．0.09 B．0.20　　
C．0.25 D．0.45
解析　由频率分布直方图可知，一等品的频率为0.06×5＝0.3，三等品的频率为0.02×5＋0.03×5＝0.25，所以二等品的频率为1－(0.3＋0.25)＝0.45.用频率估计概率可得其为二等品的概率为0.45.
答案　D
二、填空题
6．(2014·郑州模拟)抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数点，事件B为出现2点，已知P(A)＝，P(B)＝，则出现奇数点或2点的概率为________．
解析　因为事件A与事件B是互斥事件，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
答案　
7．从一副混合后的扑克牌(52张)中，随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则概率P(A＋B)＝________(结果用最简分数表示)．
解析　∵P(A)＝，P(B)＝，
∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝＝.
答案　
8．(2014·南昌模拟)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品．若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为________．
解析　记“生产中出现甲级品、乙级品、丙级品”分别为事件A，B，C.则A，B，C彼此互斥，由题意可得P(B)＝0.03，P(C)＝0.01，所以P(A)＝1－P(B＋C)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.03－0.01＝0.96.
答案　0.96
三、解答题
9．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，黑球或黄球的概率是，绿球或黄球的概率也是，求从中任取一球，得到黑球、黄球和绿球的概率分别是多少？
解　从袋中任取一球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A、B、C、D，则事件A、B、C、D彼此互斥，所以有
P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝，
P(D＋C)＝P(D)＋P(C)＝，P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－＝，解得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.
故从中任取一球，得到黑球、黄球和绿球的概率分别是，，.
10．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
A配方的频数分布表
指标值分组
[90,94)
[94,98)
[98,102)
[102,106)
[106,110]
频数
8
20
42
22
8
B配方的频数分布表
指标值分组
[90,94)
[94,98)
[98,102)
[102,106)
[106,110]
频数
4
12
42
32
10
(1)分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
(2)已知用B配方生产的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为y＝估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润．
解　(1)由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为＝0.3，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.
由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为＝0.42，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42.
(2)由条件知，用B配方生产的一件产品的利润大于0，当且仅当其质量指标值t≥94，由试验结果知，质量指标值t≥94的频率为0.96.所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96.用B配方生产的产品平均一件的利润为×[4×(－2)＋54×2＋42×4]＝2.68(元)．
能力提升题组
(建议用时：25分钟)

一、选择题
1．(2014·九江模拟)某城市2013年的空气质量状况如下表：
污染指数T
30
60
100
110
130
140
概率P

其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良；100＜T≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2013年空气质量达到良或优的概率为 (　　)．
A. B．　　
C. D．
解析　由题意可知2013年空气质量达到良或优的概率为P＝＋＋＝.
答案　A
2．(2014·镇安中学模拟)在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是
(　　)．
A．至多有一张移动卡 B．恰有一张移动卡
C．都不是移动卡 D．至少有一张移动卡
解析　至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件．
答案　A
二、填空题
3．某中学部分学生参加全国高中数学竞赛取得了优异成绩，指导老师统计了所有参赛同学的成绩(成绩都为整数，试题满分120分)，并且绘制了条形统计图(如下图所示)，则该中学参加本次数学竞赛的人数为________，如果90分以上(含90分)获奖，那么获奖的概率大约是________．

解析　由题图可知，参加本次竞赛的人数为4＋6＋8＋7＋5＋2＝32；90分以上的人数为7＋5＋2＝14，所以获奖的频率为＝0.437 5，即本次竞赛获奖的概率大约是0.437 5.
答案　32　0.437 5
三、解答题
4．如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：

所用时间/分钟
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1的人数
6
12
18
12
12
选择L2的人数
0
4
16
16
4
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
解　(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，
∴用频率估计相应的概率为0.44.
(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为：
所用时间/分钟
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
L1的频率
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
L2的频率
0
0.1
0.4
0.4
0.1
(3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．
由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，
P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(A1)＞P(A2)，∴甲应选择L1；
同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，
P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，
P(B2)＞P(B1)，∴乙应选择L2.

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