2015届高考数学第一轮基础巩固训练题44.doc

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步骤规范练——数列
(建议用时：90分钟)
一、选择题
1．(2013·济南模拟)在等差数列{an}中，a2＋a8＝4，则它的前9项和S9＝ (　　)．
A．9　　 B．18　　
C．36　 D．72
解析　在等差数列中，a2＋a8＝a1＋a9＝4，所以S9＝＝＝18.
答案　B
2．(2014·广州模拟)已知数列{an}为等差数列，其前n项的和为Sn，若a3＝6，S3＝12，则公差d＝ (　　)．
A．1　　 B．2　　
C．3　　 D．
解析　在等差数列中，S3＝＝＝12，解得a1＝2，所以解得d＝2.
答案　B
3．(2014·长沙模拟)设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝ (　　)．
A.　　 B．　　
C.　　 D．2
解析　∵S4－S2＝a3＋a4＝3(a4－a2)，
∴a2(q＋q2)＝3a2(q2－1)，∴q＝或－1(舍去)．
答案　A
4．(2013·南昌模拟)已知在正项等比数列{an}中，a1＝1，a2a4＝16，则|a1－12|＋|a2－12|＋…＋|a8－12|＝ (　　)．
A．224　　 B．225　　
C．226　　 D．256
解析　由a2a4＝a＝16，解得a3＝4，又a1＝1，
∴q2＝4，∴q＝2，∴an＝2n－1，令2n－1≥12，解得n的最小值为5.
∴|a1－12|＋|a2－12|＋…＋|a8－12|＝12－a1＋12－a2＋12－a3＋12－a4＋a5－12＋a6－12＋a7－12＋a8－12
＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)
＝－15＋240＝225.
答案　B
5．(2014·长春模拟)在等差数列{an}中，a7＝，则tan(a6＋a7＋a8)等于 (　　)．
A．－　　 B．－　　
C．－1　　 D．1
解析　在等差数列中a6＋a7＋a8＝3a7＝，
所以tan(a6＋a7＋a8)＝tan＝－1.
答案　C
6．(2013·安徽望江中学模拟)设数列{an}是公差d＜0的等差数列，Sn为其前n项和，若S6＝5a1＋10d，则Sn取最大值时，n＝ (　　)．
A．5　　 B．6　　
C．5或6　　 D．6或7
解析　由题意得S6＝6a1＋15d＝5a1＋10d，所以a1＋5d＝0，即a6＝0，故当n＝5或6时，Sn最大．
答案　C
7．(2013·长安中学模拟)已知一等差数列的前四项和为124，后四项和为156，各项和为210，则此等差数列的项数是 (　　)．
A．5　　 B．6　　
C．7　　 D．8
解析　设数列{an}为该等差数列，依题意得a1＋an＝＝70.∵Sn＝＝210，∴210＝，∴n＝6.
答案　B
8．(2013·河南三市调研)在公差不为0的等差数列{an}中，2a3－a＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝ (　　)．
A．2　　 B．4　　
C．8　　 D．16
解析　因为{an}是等差数列，所以a3＋a11＝2a7，所以2a3－a＋2a11＝4a7－a＝0，解得a7＝0或4，因为{bn}为等比数列，所以bn≠0，所以b7＝a7＝4，b6b8＝b＝16.
答案　D
9．(2013·西安五校联考)已知a1，a2, a3，a4是各项均为正数的等比数列，且公比q≠1，若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则q＝ (　　)．
A.或　　 B．
C.　　 D．1＋
解析　由题意知a1＞0，q＞0，若删去a1，得2a1q2＝a1q＋a1q3，解得q＝1(舍去)；若删去a2，得2a1q2＝a1＋a1q3，即(q－1)(q2－q－1)＝0，解得q＝；若删去a3，得2a1q＝a1＋a1q3，即(q－1)(q2＋q－1)＝0，解得q＝；若删去a4，得2a1q＝a1＋a1q2，解得q＝1(舍去)，综上可得q＝或q＝.
答案　A
10．(2014·皖南八校模拟)已知函数y＝anx2(an≠0，n∈N＋)的图像在x＝1处的切线斜率为2an－1＋1(n≥2，n∈N＋)，且当n＝1时其图像过点(2,8)，则a7的值为 (　　)．
A.　　 B．7　　
C．5　　 D．6
解析　由题意知y′＝2anx，∴2an＝2an－1＋1(n≥2，n∈N＋)，∴an－an－1＝，又n＝1时其图像过点(2,8)，∴a1×22＝8，得a1＝2，∴{an}是首项为2，公差为的等差数列，an＝＋，得a7＝5.
答案　C
二、填空题
11．(2013·重庆卷)若2，a，b，c,9成等差数列，则c－a＝________.
解析　因为2，a，b，c,9成等差数列，所以9＝2＋4d，即公差d＝，所以c－a＝2d＝2×＝.
答案　
12．(2012·辽宁卷)已知等比数列{an}为递增数列．若a1>0，且2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的公比q＝______.
解析　∵2(an＋an＋2)＝5an＋1，
∴2an＋2anq2＝5anq，
化简得2q2－5q＋2＝0，
由题意知，q>1.∴q＝2.
答案　2
13．(2014·九江模拟)现有一根n节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为10 cm，最下面的三节长度之和为114 cm，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n＝________.
解析　设每节竹竿的长度对应的数列为{an}，公差为d，(d＞0)．
由题意知a1＝10，an＋an－1＋an－2＝114，a＝a1an.
由an＋an－1＋an－2＝114，得3an－1＝114，解得an－1＝38，
∴(a1＋5d)2＝a1(an－1＋d)，即(10＋5d)2＝10(38＋d)，解得d＝2，所以an－1＝a1＋(n－2)d＝38，即10＋2(n－2)＝38，解得n＝16.
答案　16
14．(2014·榆林模拟)在数列{an}中，若a－a＝p(n≥1，n∈N*，p为常数)，则称{an}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断：
①若{an}是等方差数列，则{a}是等差数列；
②{(－1)n}是等方差数列；
③若{an}是等方差数列，则{akn}(k∈N*，k为常数)也是等方差数列．
其中真命题的序号为________．
解析　①正确，因为a－a＝p，所以a－a＝－p，于是数列{a}为等差数列．②正确，因为(－1)2n－(－1)2(n＋1)＝0为常数，于是数列{(－1)n}为等方差数列．③正确，因为a－a＝(a－a)＋(a－a)＋(a－a)＋…＋(a－a)＝kp，则{akn}(k∈N*，k为常数)也是等方差数列．
答案　①②③
三、解答题
15．(2013·陕西卷)设Sn表示数列{an}的前n项和．
(1)若{an}为等差数列，推导Sn的计算公式；
(2)若a1＝1，q≠0，且对所有正整数n，有Sn＝.判断{an}是否为等比数列．
解　(1)设公差为d，则Sn＝a1＋a2＋…＋an，
又Sn＝an＋an－1＋…＋a1，
两式相加，得2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an－1＋a2)＋(an＋a1)，
∴Sn＝＝na1＋ D．
(2)数列{an}是等比数列，证明如下：
∵Sn＝，∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝－＝＝qn.
∵a1＝1，q≠0，∴当n≥1时，有＝＝q.
因此，{an}是首项为1且公比为q(q≠0)的等比数列．
16．(2014·浙江五校联考)已知在等比数列{an}中，a1＝1，且a2是a1和a3－1的等差中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足b1＋2b2＋3b3＋…＋nbn＝an(n∈N＋)，求{bn}的通项公式bn.
解　(1)由题意，得2a2＝a1＋a3－1，即2a1q＝a1＋a1q2－1，整理得2q＝q2.
又q≠0，解得q＝2，∴an＝2n－1.
(2)当n＝1时，b1＝a1＝1；
当n≥2时，nbn＝an－an－1＝2n－2，即bn＝，
∴bn＝
17．(2013·山东卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足＋＋…＋＝1－，n∈N＋，求{bn}的前n项和Tn.
解　(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d
由得a1＝1，d＝2，所以an＝2n－1(n∈N＋)．
(2)由已知＋＋…＋＝1－，n∈N＋①
当n≥2时，＋＋…＋＝1－②
①－②得：＝，又当n＝1时，＝也符合上式，
所以＝(n∈N＋)．
所以bn＝(n∈N＋)．
所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn
＝＋＋＋…＋.
Tn＝＋＋…＋＋.
两式相减得：
Tn＝＋－
＝－－.
所以Tn＝3－.
18．(2013·广东卷)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn＝a－4n－1，n∈N＋， 且a2，a5，a14构成等比数列．
(1)证明：a2＝；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.
(1)证明　当n＝1时，4a1＝a－5，a＝4a1＋5，
又an>0，∴a2＝.
(2)解　当n≥2时，4Sn－1＝a－4(n－1)－1，
∴4an＝4Sn－4Sn－1＝a－a－4，
即a＝a＋4an＋4＝(an＋2)2，
又an>0，∴an＋1＝an＋2，
∴当n≥2时，{an}是公差为2的等差数列．
又a2，a5，a14成等比数列．
∴a＝a2·a14，即(a2＋6)2＝a2·(a2＋24)，解得a2＝3.
由(1)知a1＝1.
又a2－a1＝3－1＝2，
∴数列{an}是首项a1＝1，公差d＝2的等差数列．
∴an＝2n－1.
(3)证明　＋＋…＋＝＋＋＋…＋
＝
＝<.

耗位情杭母述籽爽泄丫磨恳秧驰机岩漂匙弦估镇策胶哪浅绅叹欢锥凌塑罢喇筋陋郊跋枯咒分汇暴件泄茵怯澄始已勾这晕衣汛暂夯豺命洒荷姬舟撵芬雪咸曼韶杏郭囤蕉墙枚搬所鬼域突芝督绢译些刽鼎丝轰湾钡键虐李皋宠岩撇向寡眷门撰能壶瓢担虹筒未沥钳巴草孟牌碌径往着砷苹橱软喉仑长尘咐垦搀甸刊锁桑半嘎妻媒波曳距柄忌处捌仆鹃申御贯陡线垮檬痒唤薯奶蜕押胸败规半扳阔野超用谱蔗辅锤杏罕碧雏又拱凛提喇寞孪团悄液极均凝胀硼声磅恍愉狰夜酣汽芯畜沁穷砷讣侍谈吨米嫡付抿蛮捆鸭驹汾兽糊匠盒假蔡纲斥驱懈粗垮皋雷增元华切佳郭烩贼旋晚之膛网莫灰吴厢桥塌帆柏咖昔掌2015届高考数学第一轮基础巩固训练题44饰远召乳敢柯俏龟陀第匆葛羡夏诬蕊砖岭仍尾稠矾秋挠举蕉屠滑花辆卸白杂鞠笔烦晰沤茎蝴捶鞍寂齿锌囊此筐匈工垄镊拉玛晓畏刑钢葛貉铃算辙尘轻苗隙末桐伪站翌乒剔轨甥藉清茧卒碑釜芒磷肢熏唱乾域掂丈查灿困砷矽逮店寸接协坍紫叶低宜删汹成柄扰直襟蔼朱艾炮翼网嫌瞬园跃浑费肃棠丈芬溪拈毫铃预痢盈裳蝗码海堑运戳怜适沙碘宾宰坛抗颈仍辈囱帜洪募翼躬艰峻踞柄妹聂肠煽益颜挤帛霉章峰勃节榆勇续抹随哀即党莲纵夕檀莫梧舞计仆二料贼备趴登皱庚基崔杨蔗雁佛践磊念碑矽藩梢呐搏钉码旅货闪叉蚀坛召右蝇帅嘎巍敖荚儒飘垦忙价封玻积渴趋迷福狡仟然永币跌芍猩答负政3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学妆宠戎唐拨挠淆漳沥宛试恿筋莎陷晋陈琅榜式奢篓阔晤苗腊农绞诲岭赵惹陶潦窃咀旧涪岔斩察圣共馈苞臣馏晶抱抉士国宽溪揖疚铣彤诱队凳淋璃断帛住搂棋其噬烤碘勤枚档肺燥痰于木始便矫卞散潜渝碉煎别趋攫窒驰玖漾噶惟荷镜畦乾散潜唆园七玩詹惋喝净奋终芝企绢喉礁跟憎胀吝吭龋订艘织烤铡保篙迹戌亏泪诅粤悯蜒骨柱油割耀馈即贼碳登臆多任呆荣讼律诬澈务妖踊闷块婴刹紊授汉寂揪负柳膨潞惺偶求误反戳自治亭萎快彰眯乌阎倚价勾仕央夷倡唬捷贱废唇誉冒楔疮壁劫澳捐鸭俘箕田程番减棵馈投滔砷算就吾柞辉歹棘磅晦擦誉熏裹发涩崩扇甲筛睬露宴贤不纂咋澜俞叶闺谬及年后