2015届高考数学第一轮基础巩固训练题31.doc

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第2讲　空间图形的基本关系与公理

基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2013·江西七校联考)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a α，a β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是(　　)．
A．相交或平行　 B．相交或异面
C．平行或异面　 D．相交、平行或异面
解析　依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面，选D.
答案　D
2．在正方体AC1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是 (　　)．
A．相交　 B．异面　
C．平行　 D．垂直

解析　如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．
答案　A
3．设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是 (　　)．
①P∈a，P∈α⇒aα；②a∩b＝P，bβ⇒aβ；③a∥b，aα，P∈b，P∈α⇒bα；④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b.
A．①②　 B．②③　　
C．①④　 D．③④

解析　当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⃘α，①错；a∩β＝P时，②错；
如图，∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，
又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，
∴β与α重合，
∴bα，故③正确；
两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．
答案　D
4．(2013·陕西五校联考)已知l，m，n是空间中的三条直线，命题p：若m⊥l，n⊥l，则m∥n；命题q：若直线l，m，n两两相交，则直线l，m，n共面，则下列命题为真命题的是 (　　)．
A．p且q　 B．p或q
C．p或(綈q)　 D．(綈p)且q
解析　命题p中，m，n可能平行、还可能相交或异面，所以命题p为假命题；命题q中，当三条直线交于三个不同的点时，三条直线一定共面，当三条直线交于一点时，三条直线不一定共面，所以命题q也为假命题．所以綈p和綈q都为真命题，故p或(綈q)为真命题．选C.
答案　C
5. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，过顶点A1与正方体其他顶点的连线与直线BC1成60°角的条数为 (　　)．
A．1　　　　　　　 B．2　　
C．3　　　　　　　 D．4
解析　有2条：A1B和A1C1.
答案　B
二、填空题
6．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线________对．
解析　

如图所示，与AB异面的直线有B1C1，CC1，A1D1，DD1四条，因为各棱具有不同的位置，且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线＝24(对)．
答案　24
7. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号都填上)．
解析　A，M，C1三点共面，且在平面AD1C1B中，但C∉平面AD1C1B，因此直线AM与CC1是异面直线，同理AM与BN也是异面直线，AM与DD1也是异面直线，①②错，④正确；M，B，B1三点共面，且在平面MBB1中，但N∉平面MBB1，因此直线BN与MB1是异面直线，③正确．
答案　③④
8．(2013·江西卷)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．

解析　取CD的中点为G，由题意知平面EFG与正方体的左、右侧面所在平面重合或平行，从而EF与正方体的左、右侧面所在的平面平行或EF在平面内．所以直线EF与正方体的前、后侧面及上、下底面所在平面相交．故直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4.
答案　4
三、解答题
9. 如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊AD，BE綊FA，G，H分别为FA，FD的中点．
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？
(1)证明　由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH綊AD.又BC綊AD，∴GH綊BC，
∴四边形BCHG为平行四边形．
(2)解　由BE綊AF，G为FA中点知，BE綊FG，
∴四边形BEFG为平行四边形，
∴EF∥BG.
由(1)知BG綊CH，∴EF∥CH，
∴EF与CH共面．
又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．
10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，求证：点C1，O，M共线．

证明　如图所示，∵A1A∥C1C，
∴A1A，C1C确定平面A1C.
∵A1C平面A1C，O∈A1C，
∴O∈平面A1C，而O＝平面BDC1∩线A1C，
∴O∈平面BDC1，
∴O在平面BDC1与平面A1C的交线上．
∵AC∩BD＝M，
∴M∈平面BDC1，且M∈平面A1C，
∴平面BDC1∩平面A1C＝C1M，
∴O∈C1M，即C1，O，M三点共线．
能力提升题组
(建议用时：25分钟)
一、选择题
1．(2014·长春一模)一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中 (　　)．

A．AB∥CD　　
B．AB与CD相交
C．AB⊥CD　　
D．AB与CD所成的角为60°
解析　如图，把展开图中的各正方形按图1所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图2所示的直观图，可见选项A，B，C不正确．∴正确选项为D.图2中，BE∥CD，∠ABE为AB与CD所成的角， △ABE为等边三角形，∴∠ABE＝60°.

答案　D
2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1， CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线 (　　)．
A．不存在　 B．有且只有两条
C．有且只有三条　 D．有无数条
解析　法一　

图1
在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面(如图1)，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点．如图所示．故选D.
法二　在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面α(如图2)，因CD与平面α不平行，

图2
所以它们相交，设它们交于点Q，连接PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线．由点P的任意性，知有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交．
答案　D
二、填空题
3.(2013·安徽卷)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．

①当0＜CQ＜时，S为四边形；②当CQ＝时，S为等腰梯形；③当CQ＝时，S与C1D1的交点R满足C1R＝；④当＜CQ＜1时， S为六边形；⑤当CQ＝1时，S的面积为.
解析　如图1，当CQ＝时，平面APQ与平面ADD1A1的交线AD1必平行于PQ，且D1Q＝AP＝，
∴S为等腰梯形，∴②正确；
同理，当0＜CQ＜时，S为四边形，∴①正确；

图1

图2
如图2，当CQ＝时，将正方体ABCD－A1B1C1D1补成底面不变，高为1.5的长方体ABCD－A2B2C2D2.Q为CC2的中点，连接AD2交A1D1于点E，易知PQ∥AD2，作ER∥AP，交C1D1于R，连接RQ，则五边形APQRE为截面S.延长RQ，交DC的延长线于F，同时与AP的延长线也
交于F，由P为BC的中点，PC∥AD，知CF＝DF＝1，
由题意知△RC1Q∽△FCQ，∴＝，
∴C1R＝，∴③正确；由图2知当＜CQ＜1时，S为五边形，∴④错误；当CQ＝1时，点Q与点C1重合，截面S为边长为的菱形，对角线AQ＝，另一条对角线为，∴S＝，⑤正确．
答案　①②③⑤
三、解答题
4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)求A1C1与B1C所成角的大小；
(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．

解　(1)如图，连接AC，AB1，
由ABCD－A1B1C1D1是正方体，
知AA1C1C为平行四边形，

所以AC∥A1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角．由 △AB1C中，由AB1＝AC＝B1C可知∠B1CA＝60°，即A1C1与B1C所成角为60°.
(2)如图，连接BD，由(1)知AC∥A1C1.
∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角．
∵EF是△ABD的中位线，∴EF∥BD.
又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，即所求角为90°.
∴EF⊥A1C1.即A1C1与EF所成的角为90°.

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