高一数学下册巩固与练习题12.doc

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1．已知(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则a的取值范围是(　　)
A．a<1或a>24 B．a＝7或a＝24
C．－7<a<24 D．－24<a<7
解析：选C.将点代入直线中，只要异号即可．
2．(2009年高考福建卷)在平面直角坐标系中，若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为(　　)
A．－5 B．1
C．2 D．3
解析：选D.由得A(1，a＋1)，
由得B(1,0)，
由得C(0,1)．
∵△ABC的面积为2，且a>－1，
∴S△ABC＝|a＋1|＝2，∴a＝3.
3.已知实数x，y满足，如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m等于(　　)
A．7 B．5
C．4 D．3
解析：选B.将直线y＝x＋1与y＝2x－1联立解得A(2,3)，据题意即为最优解，又点A必在直线x＋y＝m上，代入求得m＝5.
4．(2009年高考上海卷)已知实数x、y满足则目标函数z＝x－2y的最小值是________．

解析：如图作出阴影部分为可行域，由得即A(3,6)，经过分析可知直线z＝x－2y经过A点时取最小值为－9.
答案：－9
5．不等式组所确定的平面区域记为D.点(x，y)是区域D上的点，若圆O：x2＋y2＝r2上的所有点都在区域D上，则圆O的面积的最大值是________．
解析：画出不等式组所表示的平面区域(略)，其中离原点最近的距离为，故r的最大值为，所以圆O的面积的最大值是.
答案：
6．如图，△ABC中，A(0,1)，B(－2，2)，C(2,6)，写出△ABC区域所表示的二元一次不等式组．
解：由两点式得直线AB、BC、CA的方程并化简为：
直线AB：x＋2y－2＝0，直线BC：x－y＋4＝0，直线CA：5x－2y＋2＝0.
∴原点(0,0)不在各直线上，将原点坐标代入到各直线方程左端，结合式子的符号可得不等式组为.

练习

1．双曲线x2－y2＝4的两条渐近线和直线x＝2围成一个三角形区域(含边界)，则该区域可表示为(　　)
A. B.
C. D.

解析：选B.由双曲线方程得其渐近线方程为y＝±x，其与直线x＝2围成的三角形区域对应的约束条件为

2．(2008年高考海南、宁夏卷)点P(x，y)在直线4x＋3y＝0上，且x，y满足－14≤x－y≤7，则点P到坐标原点距离的取值范围是(　　)
A．[0,5] B．[0,10]
C．[5,10] D．[5,15]
解析：选B.因x，y满足－14≤x－y≤7，
则点P(x，y)在
所确定的区域内，且原点也在这个区域内．
又点P(x，y)在直线4x＋3y＝0上，
，解得A(－6,8)．
，解得B(3，－4)．
P到坐标原点的距离的最小值为0，
又|AO|＝10，|BO|＝5，
故最大值为10.
∴其取值范围是[0,10]．
3．(2009年高考宁夏卷)设x，y满足则z＝x＋y(　　)
A．有最小值2，最大值3
B．有最小值2，无最大值
C．有最大值3，无最小值
D．既无最小值，也无最大值

解析：选B.如右图作出不等式组表示的可行域，由于z＝x＋y的斜率大于2x＋y＝4的斜率，因此当z＝x＋y过点(2,0)时，z有最小值，但z没有最大值．
4.(2009年高考安徽卷)若不等式组，所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A.不等式组表示的平面区域如图所示．
由于直线y＝kx＋过定点(0，)．
因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx＋能平分平面区域．
因为A(1,1)，B(0,4)，
所以AB中点M(，)．
当y＝kx＋过点(，)时，＝＋，
所以k＝.
5．如果点P在平面区域上，点Q在曲线x2＋(y＋2)2＝1上，那么|PQ|的最小值为(　　)
A.－1 B.－1
C．2－1 D.－1

解析：选A.由图可知不等式组确定的区域为阴影部分包括边界，点P到Q的距离最小为到(0，－2)的最小值减去圆的半径1，由图可知
|PQ|min＝－1
＝－1，故选A.
6．(2009年高考山东卷)某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元．
解析：设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台，
则
目标函数为z＝200x＋300y.
作出其可行域，易知当x＝4，y＝5时，z＝200x＋300y有最小值2300元．
答案：2300
7．满足条件的可行域中共有整点的个数为________．

解析：画出可行域，由可行域知有4个整点，分别是(0,0)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－2)．
答案：4
8．若线性目标函数z＝x＋y在线性约束条件下取得最大值时的最优解只有一个，则实数a的取值范围是________．
解析：作出可行域如图：

由图可知直线y＝－x与y＝－x＋3平行，若最大值只有一个，则直线y＝a必须在直线y＝2x与y＝－x＋3的交点(1,2)的下方，故a≤2.
答案：a≤2
9．设不等式组所表示的平面区域为S，则S的面积为________；若A、B为S内的两个点，则|AB|的最大值为________．

解析：原不等式组可以化为
画出对应的平面区域图形如图所示的阴影部分．它是一个直角梯形，且坐标依次为E(2,0)，F(2,3)，C(－2,3)，D(－2，－2)．
故梯形面积为×4×(3＋5)＝16；显然在平面区域内，D、F两点距离最大为，即|AB|的最大值为.
答案：16　
10．求由约束条件确定的平面区域的面积S和周长C.

解：由约束条件作出其所确定的平面区域(阴影部分)，其四个顶点为O(0,0)，B(3,0)，A(0,5)，P(1,4)．过P点作y轴的垂线，垂足为C.
则AC＝|5－4|＝1，PC＝|1－0|＝1，
OC＝4，OB＝3，AP＝，
PB＝＝2.
得S△ACP＝AC·PC＝，
S梯形COBP＝(CP＋OB)·OC＝8.
所以S＝S△ACP＋S梯形COBP＝，
C＝OA＋AP＋PB＋OB＝8＋＋2.
11．如果由约束条件所确定的平面区域的面积为S＝f(t)，试求f(t)的表达式．
解：由约束条件所确定的平面区域是五边形ABCEP，如图所示，其面积S＝f(t)＝S△OPD－S△AOB－S△ECD，
而S△OPD＝×1×2＝1，
S△OAB＝t2，S△ECD＝(1－t)2，
所以S＝f(t)＝1－t2－(1－t)2＝－t2＋t＋.
12．已知求：
(1)z＝x＋2y－4的最大值；
(2)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值．
解：作出可行域如图，并求出顶点的坐标A(1,3)、B(3,1)、C(7,9)．
(1)易知可行域内各点均在直线x＋2y－4＝0的上方，故x＋2y－4>0，将C(7,9)代入z得最大值为21.
(2)z＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到定点M(0,5)的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，
故z的最小值是|MN|2＝.

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