2016届高考理科数学第一轮知识点达标测试8.doc

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（本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！）

一、选择题
1. (2014·陕西师大附中模拟)＝(　　)
A．－i B．i C．－1 D．1
【解析】　＝＝
＝(－i)2 104＝i2 014＝i4×503＋2＝－1.
【答案】　C
2．若z＝cos θ＋isin θ(i是虚数单位)，则z2＝－1的θ值可能是(　　)
A. B. C. D.
【解析】　∵z2＝(cos θ＋isin θ)2＝cos2θ－sin 2θ＋2isin θcos θ＝cos 2θ＋isin 2θ＝－1，
∴∴θ＝时符合要求，故选D.
【答案】　D

3．(2014·杭州模拟)若复数(a∈R，i是虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为(　　)
A．－2 B．4 C．－6 D．6
【解析】　＝＝＋i，
∵是纯虚数，∴＝0且≠0，∴a＝－6.
【答案】　C
4．(2014·滨州模拟)已知＝b＋i(a，b∈R)，则a－b＝(　　)
A．1 B．2 C．－1 D．－3
【解析】　a－2i＝bi＋i2＝－1＋bi，
∴a＝－1，b＝－2，∴a－b＝1.
【答案】　A
5．设集合M＝{y|y＝|cos2x－sin2x|，x∈R}，N＝，则M∩N为(　　)
A．(0，1) B．(0，1] C．[0，1) D．[0，1]
【解析】　对于集合M，函数y＝|cos 2x|，其值域为[0，1]，所以M＝[0，1]．由于＝|－xi|＝|x|，故－1＜x＜1，所以N＝(－1，1)，则M∩N＝[0，1)．
【答案】　C
6．已知复数z1＝x2＋ i，z2＝(x2＋a)i，对任意x∈R均有|z1|＞|z2|成立，则实数a的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
【解析】　|z1|＝，|z2|＝|x2＋a|，
因为|z1|＞|z2|，所以有＞|x2＋a|，
即(1－2a)x2＋(1－a2)＞0恒成立．
当1－2a＝0，即a＝时，1－＞0恒成立；
当时，－1＜a＜.
所以a的取值范围是.故选D.
【答案】　D
二、填空题
7．已知复数1－2i(其中i为虚数单位)在复平面上对应的点M在直线y＝mx＋n上，其中mn>0，则＋的最大值为________．　
【解析】m＋n＝－2，＋＝－≤－×4＝－2.
【答案】　－2
8．(2013·长沙名校模拟)复数z1＝3＋4i，z2＝0，z3＝c＋(2c－6)i在复平面内对应的点分别为A、B、C，若∠BAC是钝角，则实数c的取值范围为____________．
【解析】　在复平面内三点坐标分别为A(3，4)，B(0，0)，C(c，2c－6)，
由∠BAC是钝角得AB·AC<0，且B、A、C不共线，
即(－3，－4)·(c－3，2c－10)<0，解得c>，
其中当c＝9时，AC＝(6，8)＝－2AB，三点共线，故c≠9.
【答案】　
9．已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝，则的最大值为________．
【解析】　由|z－2|＝可得|z－2|2＝(x－2)2＋y2＝3，
设＝k，即得直线方程kx－y＝0，
∴圆(x－2)2＋y2＝3的圆心(2，0)到直线kx－y＝0的距离
d＝≤，解之得k∈[－，]，
即得的最大值为.
【答案】　
10．已知正实数a、b使得复数(3＋ai)(4＋bi)为纯虚数，则a＋b的最小值是________，且对应的纯虚数是________．
【解析】　∵(3＋ai)(4＋bi)＝12－ab＋(4a＋3b)i为纯虚数，且a>0，b>0，∴ab＝12，∴a＋b≥2＝2＝4，当且仅当a＝b ＝＝2时取得最小值(a＋b)min＝4，此时对应的纯虚数为14i.
【答案】　4　14i
三、解答题
11．已知A(1，2)，B(a，1)，C(2，3)，D(－1，b)(a，b∈R)是复平面上的四点，且向量，对应的复数分别为z1，z2.
(1)若z1＋z2＝1＋i，求＋；
(2)若z1＋z2为纯虚数，z1－z2为实数，求a、b.
【解析】　(1)∵＝(a，1)－(1，2)＝(a－1，－1)，
＝(－1，b)－(2，3)＝(－3，b－3)，
∴z1＝(a－1)－i，z2＝－3＋(b－3)i，
∴z1＋z2＝(a－4)＋(b－4)i，
又z1＋z2＝1＋i，∴∴
∴z1＝4－i，z2＝－3＋2i，
∴＋＝＋＝＋
＝＋＝－＋i.
(2)由(1)得z1＋z2＝(a－4)＋(b－4)i，z1－z2＝(a＋2)＋(2－b)i，
∵z1＋z2为纯虚数，z1－z2为实数，∴∴
12．设复数z满足4z＋2z＝3＋i，ω＝sin θ－icos θ，求z的值和|z－ω|的取值范围．
【解析】　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi.
代入4z＋2z＝3＋i，
得4(a＋bi)＋2(a－bi)＝3＋i，即6a＋2bi＝3＋i.
∴∴z＝＋i.
|z－ω|＝
＝＝.
∵－1≤sin≤1，∴0≤2－2sin≤4.
∴0≤|z－ω|≤2，即|z－ω|的取值范围为.
13．设z表示复数z的共轭复数，i为虚数单位，a为实数．
(1)若使得等式z·z＋2i·z＝3＋ai成立的复数z存在，求实数a的取值范围；
(2)若使得等式z·z＋2i·z＝3＋ai成立的复数z有且仅有一个，求出这一复数z.
【解析】　设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＝x－yi.
(1)∵z·z＋2i·z＝3＋ai，
∴x2＋y2＋2i·(x－yi)＝3＋ai，
∴x2＋y2＋2y＋2xi＝3＋ai，注意到x，y，a全为实数，
∴∴x＝，代入x2＋y2＋2y＝3，
得＝3－y2－2y＝4－(y＋1)2≤4，∴a2≤16，
∴所求实数a的取值范围是[－4，4]．
(2)由(1)知，这样的z有且仅有一个，则方程组有且仅有唯一解，
∴＝3－y2－2y即4y2＋8y＋a2－12＝0有且仅有唯一解，
∴a＝±4，对应的y＝－1，
即当a＝4时，唯一的一个满足条件的复数z＝2－i；
当a＝－4时，唯一的一个满足条件的复数z＝－2－i .

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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