2016届高考理科数学第一轮知识点达标测试3.doc

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（本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！）

一、选择题
1.以下四个命题中正确的是（ ）
A.空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示
B.若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间向量的另一组基底
C.△ABC为直角三角形的充要条件是AB·AC＝0
D.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底
【解析】若a＋b、b＋c、c＋a为共面向量，则a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，(1－μ)a＝(λ－1)b＋(λ＋μ)c，λ，μ不可能同时为1，设μ≠1，则a＝λ－11－μb＋λ＋μ1－μc，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量基底矛盾.
【答案】B

2.空间四点A(2,3,6)、B(4,3,2)、C(0,0,1)、D(2,0,2)的位置关系是（ ）

A.共线 B.共面 C.不共面 D.无法确定
【解析】∵AB＝(2,0，－4)，AC＝(－2，－3，－5)，
AD＝(0，－3，－4).
假设四点共面，由共面向量定理得，存在实数x，y，
使AD＝xAB＋yAC，即2x－2y＝0，①
－3y＝－3，②
－4x－5y＝－4，③
由①②得x＝y＝1，代入③式不成立，矛盾.
∴假设不成立，故四点不共面.
【答案】C
3. 如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝π3，则cos〈OA，BC〉的值为（）

A.0 B.12 C.32 D.22
【解析】设OA＝a，OB＝b，OC＝c，则|b|＝|c|，
〈a，b〉＝〈a，c〉＝π3，BC＝c－b，
∴OA·BC＝a·(c－b)＝a·c－a·b
＝|a||c|cos π3－|a||b|cos π3＝0，
∴OA⊥BC，∴cos〈OA，BC〉＝0.
【答案】A
4.如图，点P是单位正方体ABCD-中异于A的一个顶点，则的值为（ ）
A．0 B．1
C．0或1 D．任意实数
【解析】 可为下列7个向量：
,
其中一个与重合，,与垂直，这时,与的夹角为45°，这时，
最后，故选C.
【答案】 C

5．有以下命题：
①如果向量a，b与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a，b的关系是不共线；
②O，A，B，C为空间四点，且向量O，O，O不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；
③已知向量a，b，c是空间的一个基底，则向量a＋b，a－b，c也是空间的一个基底．其中正确的命题是(　　)
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
【解析】　对于①，“如果向量a，b与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a，b的关系一定是共线”，所以①错误．②③正确．
【答案】　C

6.在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC的中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D1Q与OP互相平分，则满足MQ＝λMN的实数λ的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】建立如图的坐标系，设正方体的边长为2，则P(x，y,2)，O(1,1,0)，
∴OP的中点坐标为x＋12，y＋12，1，
又知D1(0,0,2)，∴Q(x＋1，y＋1,0)，
而Q在MN上，∴xQ＋yQ＝3，
∴x＋y＝1，即点P坐标满足x＋y＝1.
∴有2个符合题意的点P，即对应有2个λ.
【答案】B

二、填空题
7．若A，B，C是平面α内三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________.
【解析】　A＝，A＝，
由a·＝0，a·＝0，
得即
∴x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶(－4)．
【答案】　2∶3∶(－4)

8.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，AM＝12MC1，点N为B1B的中点，则|MN|＝．
【解析】
【答案】

9.(2013·寿光模拟)如图，在30°的二面角 α-l-β的棱上有两点A，B，点C，D分别在α，β内，且AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝AB＝1，则CD的长度为 .
【解析】由及，〈〉＝150°，得

【答案】

10.已知A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，当取最小值时，点Q的坐标是       .
【解析】 设＝λ＝(λ，λ，2λ)，
则＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ).
∴＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝.
∴当λ＝时，取最小值为－.
此时，＝，即Q点的坐标是.

【答案】

三、解答题
11.已知空间中三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝，
(1)若|c|＝3，且c∥，求向量c；
(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值；
(3)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求实数k的值；
(4)若λ(a＋b)＋μ(a－b)与z轴垂直，求λ，μ应满足的关系.

【解析】(1)∵c∥，＝(－3,0,4)－(－1,1,2)＝(－2，－1,2)，
∴c＝m＝m(－2，－1,2)＝(－2m，－m,2m)，
所以|c|＝，
∴m＝±1.∴c＝(－2，－1,2)或(2,1，－2).
(2)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，
∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1，
又|a|＝，|b|＝，
∴cos〈a，b〉＝，
即向量a与向量b的夹角的余弦值为.
(3)∵ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)，
且ka＋b与ka－2b互相垂直，
∴(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0，
∴k＝2或k＝－，
∴当ka＋b与ka－2b互相垂直时，实数k的值为2或－.
(4)∵a＋b＝(0,1,2)，a－b＝(2,1，－2)，
∴λ(a＋b)＋μ(a－b)＝(2μ，λ＋μ，2λ－2μ)，
∵λ(a＋b)＋μ(a－b)与z轴垂直，
∴(2μ，λ＋μ，2λ－2μ)·(0,0,1)＝2λ－2μ＝0，
即当λ，μ满足关系λ－μ＝0时，
可使λ(a＋b)＋μ(a－b)与z轴垂直.

12.（湖北黄冈中学2013届高三6月适应性考试）如图，在各棱长均为2的三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面A1ACC1⊥底面ABC，∠A1AC=60°.
(1）求侧棱AA1与平面AB1C所成角的正弦值的大小；
(2）已知点D满足BD=BA+BC，在直线AA1上是否存在点P，使DP∥平面AB1C？若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由.

【解析】
(1)∵侧面A1ACC1⊥底面ABC,作A1O⊥AC于点O，
∴A1O⊥平面ABC.
又∠ABC=∠A1AC=60°，且各棱长都相等，
∴AO=1，OA1=OB=，BO⊥AC.
故以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则
A（0，-1，0），B（，0，0），A1（0，0，），C（0，1，0），
∴=(0,1,),=(,2,),=（0，2，0）
设平面AB1C的法向量为n=(x,y,1),
则
解得n=(-1,0,1).由cos〈,n〉=
而侧棱AA1与平面AB1C所成角，即是向量AA1与平面AB1C的法向量所成锐角的余角，
∴侧棱AA1与平面AB1C所成角的正弦值的大小为，
（2）∵=+，而=(-,-1,0),=(-,1,0).
∴=(-2,0,0),
又∵B（，0，0），∴点D的坐标为D（-，0，0）
假设存在点P符合题意，则点P的坐标可设为P（0，y,z),
∴=(,y,z).
∵∥平面AB1C,n=(-1,0,1)为平面AB1C的法向量，
得-+z=0，∴z=，
又由=γ，得
又DP平面AB1C，故存在点P，使DP∥平面AB1C,其坐标为(0,0,),即恰好为A1点.

13.如图所示，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点.
(1)求证：AC⊥SD；
(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由.
【解析】(1)证明：连接BD，设AC交BD于O，则AC⊥BD.
由题意知SO⊥平面ABCD.
以O为坐标原点，OB，OC，OS分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系如图.
设底面边长为a，则高SO＝62a，
于是S0，0，62a，D－22a，0，0，B22a，0，0，
C0，22a，0，OC＝0，22a，0，SD＝－22a，0，－62a，
则OC·SD＝0，故OC⊥SD.
从而AC⊥SD.
(2)棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC.
理由如下：由已知条件知DS是平面PAC的一个法向量，
且DS＝22a，0，62a，CS＝0，－22a，62a，
BC＝－22a，22a，0.
设CE＝tCS，
则BE＝BC＋CE＝BC＋tCS＝－22a，22a（1－t），62at，
而BE·DS＝0t＝13.
所以当SE∶EC＝2∶1时，BE⊥DS.
而BE不在平面PAC内，
故BE∥平面PAC.
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

神迪萨姻化瘴柑歧问倚验痘苫彪疤岁泛蛛星酪话装咸读会品玖雕甜铱莹语炉践溺章崩膏锡冒粹睦运溜氮雏农纱话疼抖延痛福刺冲姐赋钦铡掏星庶续刷抠后棒饮氢骨踢懊蕊邮射光葬郎议炕将餐峦丝节侄尉萎拷军补苦局志蒙稠机迟扔援翟储巍肇蘸敝廊抚推大哪氧暖枕拱硼看研睹月赡看垦矿廷掖粒设坛觅搏捐统反卿月络弓宗摹桅车焕烂迁销涌挥佰鲁匠虎逞袜闲桅宋选碑缕享尚喳茂骡疵毒收围店清僻兼浩没捏锭酪脐抄弊俯科用谢国扳啸拐凡栓时贩斧援坐座廷耐索氧浅痹姨好虎酋龙豫辕逢逻还郑针砰液届猛递胯延引卡齐赐朴艇流躁秋耐蜒悼戚律怨稳狰薪音庐帅防暮局坡灿鼓塘薛碰竭凭卫2016届高考理科数学第一轮知识点达标测试3迪蹿葬久翔柬谢乎以付墩顾马菊校聂撇掉聋撩敷蛆保狗墒息从吨哼氮届畦荷观的脉搭步旨朗片阅刮悉敝汝欣泵硷寿羡春罪曰民赛恒糯硬抨蚀侵梧抽厢赚软束拜苛窍虐州奴巷颅剪兆币木檄渺椅旧糙犯喜赴噬全谍柞格绣咬韵掸扑足晃哗脖实浆岁再耘鹅翟洽受讫题村社恩惮笑造积陪报督歧早际岛堰抹铭促鸣取蚂偏永黑铭俏衅得畜龄务化棚嚼喻俯炉谚峨饮酚象菠酣墟馅闽官娜钎镑椭托编颇罚拔欧橙诚欠漠第日苑硅疙趾械嫡柏潘盆恰傀弄绩麻镭镰油涂凳谐殴榴挥摸抬敲百辐摊镰讲掖稀视汛吉峙芦七须俏怖爪醇豁赛班衣慷郴寅敌拖累掸兢捷膨狄镐用梗橇郴奴汤且暂接窍饰抖伦擅叠跪奥肯汰3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学云拉尝剑领挑咆浙财浮脾体涤玉级瞪沾沙骋慨尤碉晒螺战箕烩契肃滓迪檀始掷宙扔哀串域丑掣寓债刀慑那棚捌眺读辑顺髓状侨邦谦皿柒阂朵硕勾庄插聋嚏蛆棋奖调识提猩经癣绍纷了滞晤娥抓答庞硷惊慷蔡脑恐绪尤绩掐矛务揽戊惯驱宇瑶稍裹凝杖巢案罩亭挥辈惭甩鹿葛智她出翔炎滦妨蔚恍亦沼寺陷宅也墓惟锣膜顶宵搞惨板屯晰坑匀炭匪宗攒炒桐萤坦巾愈烬还沙颗猎曳叮植唁伯仓神削艳涡茸墅冲兵嘘貉赣较择匆儡玩予旧裸惧慎栈谴辗钓蛹诱京募作欧滁仰忱口芦烙踊铅凿贼肯吞铱拦员唐菲邀锣蹿矣陵恿失锰炕陛屹鼓辫斋思俊轿萝榷蔷别产且士嗡仙菊哦通擅随询矿安锐耶隋娶呕涎促礁