2016届高考理科数学第一轮知识点达标测试9.doc

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（本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！）

一、选择题
1.（2014·烟台高三模拟）用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从n＝k到n＝k＋1，左边需增添的代数式是( )

A.2k＋2 B.2k＋3
C.2k＋1 D.(2k＋2)＋(2k＋3)
【解析】当n＝k时，左边是共有2k＋1个连续自然数相加，
即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，
所以当n＝k＋1时，左边是共有2k＋3个连续自然数相加，
即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)，故选D.
【答案】D

2.（2012·安庆模拟）由数学归纳法证明不等式+…+（n≥2,n∈N）的过程，由n=k到n=k+1时，左边增加了（　　）
A.1项　　　　　B.k项　　　　　C.2k-1项　　　　　D.2k项
【解析】　当n=k，左边=，
当n=k+1时，左边=，
故增加了项．选C.
【答案】　C

3．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是()
A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立
B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立
C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)>k2成立
D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立
【解析】对于A，f(3)≥9，加上题设可推出当k≥3时，均有f(k)≥k2成立，故A错误．
对于B，要求逆推到比5小的正整数，与题设不符，故B错误．
对于C，没有奠基部分，即没有f(8)≥82，故C错误．
对于D，f(4)＝25≥42，由题设的递推关系，可知结论成立，故选D.
【答案】D

4．一个正方形被分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖去，如图(1)；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个挖去，得图(2)；如此继续下去…则第n个图共挖去小正方形 ( )

A．(8n－1)个 B．(8n＋1)个
C.(8n－1)个 D. (8n＋1)个
【解析】第1个图挖去1个，第2个图挖去1＋8个，第3个图挖去1＋8＋82个…第n个图挖去1＋8＋82＋…＋8n－1＝个．
【答案】C

5.下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是 （  ）
A.6+6·7k B.2+7k-1
C.2（2+7k+1) D.3（2+7k）
【解析】 （1）当k=1时，显然只有3（2+7k）能被9整除.
(2)假设当k=n(n∈N*)时,命题成立,即3(2+7n)能被9整除,那么3(2+7n+1)=21(2+7n)-36.36能被9整除.
这就是说,k=n+1时命题也成立.
由(1)(2)可知,命题对任何k∈N*都成立.
【答案】　D
6.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N*都成立,则a、b、c的值为 （  ）
A.a=,b=c= B.a=b=c=
C.a=0,b=c= D.不存在这样的a、b、c
【解析】 ∵等式对一切n∈N*均成立,
∴n=1，2，3时等式成立，
即
整理得
解得a=12,b=c=.
【答案】　A

二、填空题
7.已知f(n)=1+++…+(n∈N*)，用数学归纳法证明f(2n)＞时，f(2k+1)-f(2k)=     .
【解析】 ∵f(2k+1)=1++++…+++…++++…+，
f（2k）=1++++…+++…+，
∴f(2k+1)-f(2k)=++…+.
【答案】　++…+

8．如图，一条螺旋线是用以下方法画成的：△ABC是边长为1的正三角形，曲线CA1、A1A2，A2A3是分别以A、B、C为圆心，AC、BA1、CA2为半径画的圆弧，曲线CA1A2A3称为螺旋线旋转一圈．然后又以A为圆心，AA3为半径画圆弧…这样画到第n圈，则所得螺旋线的长度ln为.

【解析】由条件知CA1，A1A2，A2A3，…，An－1An对应的中心角都是，且半径依次为1,2,3,4，…，故弧长依次为，×2，×3…，据题意，第一圈长度为 (1＋2＋3)，第二圈长度为 (4＋5＋6)，第n圈长度为［(3n－2)＋(3n－1)＋3n］，故ln＝ (1＋2＋3＋…＋3n)＝·＝(3n2＋n)π.
【答案】(3n2＋n)π
9.在各项为正数的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn=,则a3=    ,猜想数列{an}的通项公式为      .
【解析】 由Sn=可计算出a1=1,a2=-1,a3=-.由a1,a2,a3可归纳猜想出an=-.
【答案】　- -

10.已知当n=1时，有（a-b）（a+b）=a2-b2,当n=2时，有（a-b）（a2+ab+b2）=
a3-b3，当n=3时，有（a-b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4-b4 ，当n∈N*时，你能得到的结论是  .
【答案】　(a-b)(an+an-1b+…+abn-1+bn)=an+1－bn+1

三、解答题
11.考察：
1=1
1-4=-(1+2)
1-4+9=1+2+3
1-4+9-16=-(1+2+3+4)
……
猜想第n个等式并用数学归纳法给出证明．
【解析】 由已知各等式知：第n个等式是：
.
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，左边=1，右边=1，左边=右边，故等式成立；
（2）假设当n=k时等式成立，即有：
.
则当n=k+1时，

故当n=k+1时，等式也成立．
由（1）（2）知：对于任意的n∈N*等式都成立，即猜想正确．

12．(2013·扬州模拟)已知在正项数列{an}中，对于一切的n∈N*均有≤an－an+1成立．
(1)证明：数列{an}中的任意一项都小于1；
(2)探究an与的大小，并证明你的结论．
【解析】(1)证明:由≤an－an＋1，得an＋1≤an－.
因为在数列{an}中，an＞0，
所以an＋1＞0.所以an－＞0.所以0＜an＜1.
故数列{an}中的任意一项都小于1.
(2)由(1)知0＜an＜1＝，即a1<.
那么a2≤a1－＝－，
由此猜想：an＜，下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，显然成立；
②当n＝k时(k≥2，k∈N)时，假设猜想正确，即ak＜，
那么ak＋1≤ak－＝
-
故当n＝k＋1时，猜想也正确．
综上所述，对于一切n∈N*，都有an＜.

13.数列{an}各项均为正数，Sn为其前n项的和，对于n∈N*，总有an，Sn，a2n成等差数列.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列的前n项的和为Tn，数列{Tn}的前n项的和为Rn，求证：当n≥2时，Rn-1=n(Tn-1).
（3）设An为数列的前n项积，是否存在实数a，使得不等式An<a对一切n∈N*都成立？若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由.
【解析】 （1）由已知有2Sn=an+a2n.
当n≥2时，2Sn-1=an-1+a2n-1,∴2Sn=an+a2n,
两式想减有：2an=an-an-1+a2n-a2n-1,
即an-an-1=1.
又当n=1时，2a1=a1+a21a1=1,所以an=n.
(2)由（1）得Tn=1+++…+，
Rn=T1+T2+T3+…+Tn.
当n=2时，Rn-1=R1=T1=1，2（T2-1）=1，
故当n=2时命题成立.假设n=k时成立，
即Rk-1=k（Tk-1），则当n=k+1时，
Rk=Rk-1+Tk=k(Tk-1)+Tk=(k+1)Tk-k
=(k+1) =(k+1)
=(k+1)(Tk+1-1),
说明当n=k+1时命题也成立.
(3)据已知An=…，
则g(n)=An=…,
==＜1.
故g(n)单调递减，于是［g(n)］max=g(1)= .
要使不等式An＜a对一切n∈N*都成立只需a＞即可.

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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