高二数学下册课时调研检测试题12.doc

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课时作业(二十四)　[第24讲　平面向量的数量积及应用]

[时间：45分钟　分值：100分]

1．已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b与a垂直，则λ＝________.
2．若向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________.
3．已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________．
4．在△ABC中，若＝a，＝b，＝c且a·b＝b·c＝c·a, 则△ABC的形状是____________．

5．a＝(2,3)，b＝(－1，－1)，则a·b＝________.
6．[2011·惠州三模] 已知向量|a|＝10，|b|＝12，且a·b＝－60，则向量a与b的夹角为________．
7．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为________．
8．[2011·苏北四市一调] 设a，b，c是单位向量，且a＝b＋c，则向量a，b的夹角等于________．
9．[2011·镇江统考] 已知Rt△ABC中，斜边BC长为2，O是平面ABC内一点，点P满足＝＋(＋)，则||＝________.
10．平面向量a＝(x，y)，b＝(x2，y2)，c＝(1,1)，d＝(2,2)，若a·c＝b·d＝1，则这样的向量a有________个．
11．在△ABC中，C＝，AC＝1，BC＝2，则f(λ)＝|2λ＋(1－λ)|的最小值是________．
12．[2011·南通一模] 在平面直角坐标系xOy中，已知A(0，－1)，B(－3，－4)两点．若点C在∠AOB的平分线上，且||＝，则点C的坐标是________．
13．(8分)[2011·南通一模] 已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，|a－b|＝2.
(1)求a·b的值；
(2)求|a＋b|的值．

14．(8分)已知|a|＝，|b|＝3，a与b夹角为45°，求使向量a＋λb与λa＋b的夹角为钝角时，λ的取值范围．

15．(12分)在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)、B(2,3)、C(－2，－1)．
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．

16．(12分)已知向量m＝(sin，1)，n＝cos，cos2.
(1)若m·n＝1，求cos的值；
(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C成等差数列，求函数f(A)的取值范围．

课时作业(二十四)
【基础热身】
1．－1　[解析] λa＋b＝(λ＋4，－3λ－2)，因为λa＋b与a垂直，所以λ＋4＋9λ＋6＝0，故λ＝－1.
2．7　[解析] |5a－b|＝＝＝＝7.
3．[0,1]　[解析] ∵b·(a－b)＝0，∴a·b＝b2，即|a||b|·cosθ＝|b|2，当b≠0时，∴|b|＝|a|cosθ＝cosθ∈(0,1]．所以|b|∈[0,1]．
4．等边三角形　[解析] 由a·b＝b·c＝c·a，a＋b＋c＝0，得AB＝BC＝CA，所以△ABC为等边三角形．
【能力提升】
5．－5　[解析] a·b＝2×(－1)＋3×(－1)＝－5.
6．120°　[解析] 由a·b＝|a||b|cosθ＝－60⇒cosθ＝－，故θ＝120°.
7.　[解析] ∵cosθ＝＝＝，
∴a在b方向上的投影|a|cosθ＝×＝.
8.　[解析] 由a，b，c是单位向量，模都为1，a＝b＋c⇒a－b＝c⇒(a－b)2＝c2⇒a2＋b2－2a·b＝c2⇒a·b＝⇒|a||b|cosθ＝⇒cosθ＝⇒θ＝.
9．1　[解析] 由＝＋(＋)⇒－＝(＋)⇒＝(＋)⇒||＝|(＋)|＝.
⊥⇒·＝0，2＋2＝2，BC＝2.
故||＝1.
10．1　[解析] 依题意得其中x2＋y2＝表示以原点O为圆心，为半径的圆，由点到直线的距离公式可得圆心到直线x＋y＝1的距离d＝＝，故直线与圆相切，只有一个交点，故满足条件的a只有一个解．
11.　[解析] 如图，以C为原点，CA，CB所在直线为y轴，x轴建立直角坐标系，所以＝(0,1)，＝(2,0)，
故2λ＋(1－λ)＝(0,2λ)＋(2－2λ，0)＝(2－2λ，2λ)，所以f(λ)＝2＝2，故最小值为，在λ＝时取得．

12．(－1，－3)　[解析] 法一：设点C的坐标是(x，y)，且x<0，y<0，直线OB方程为y＝x，因点C在∠AOB的平分线上，所以点C到直线OB与y轴的距离相等，从而＝|x|.又x2＋y2＝10，解之得所以点C的坐标是(－1，－3)．
法二：设点C的坐标是(x，y)，且x<0，y<0，则因点C在∠AOB的平分线上，所以由
cos〈，〉＝cos〈，〉得＝.又x2＋y2＝10，解之得所以点C的坐标是(－1，－3)．
13．[解答] (1)由|a－b|＝2，得|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝4＋1－2a·b＝4，
∴a·b＝.
(2)|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝4＋2×＋1＝6，
∴|a＋b|＝.
14．[解答] 由条件知，cos45°＝，∴a·b＝3，
设a＋λb与λa＋b的夹角为θ，则θ为钝角，
∴cosθ＝<0，
∴(a＋λb)·(λa＋b)<0.
λa2＋λb2＋(1＋λ2)a·b<0，
∴2λ＋9λ＋3(1＋λ2)<0，∴3λ2＋11λ＋3<0，
∴<λ<.
若θ＝180°时，a＋λb与λa＋b共线且方向相反，
∴存在k<0，使a＋λb＝k(λa＋b)，
∵a，b不共线，∴
∴k＝λ＝－1，
∴<λ<且λ≠－1.
15．[解答] (1)方法一：由题设知＝(3,5)，＝(－1,1)，则＋＝(2,6)，－＝(4,4)．
所以|＋|＝2，|－|＝4.
故所求的两条对角线的长分别为4、2.
方法二：设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则E为B、C的中点，则E(0,1)，
又E(0,1)为A、D的中点，所以D(1,4)．
故所求的两条对角线的长分别为||＝4，||＝2；
(2)由题设知：＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t,5＋t)．
由(－t)·＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，
从而5t＝－11，所以t＝－.
16．[解答] (1)m·n＝sin·cos＋cos2＝sin＋cos＋＝sin＋.
∵m·n＝1，∴sin＝.
∴cos＝1－2sin2＝，
cos＝－cos＝－.
(2)∵角A，B，C成等差数列，∴B＝.
∴0<A<，∴<＋<，sin∈.
又∵f(x)＝sin＋，
∴f(A)＝sin＋，
故函数f(A)的取值范围是.

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