控制系统数学描述省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

电气信息学院控制系统数学描述数字仿真技术第1页 电气信息学院电气信息学院 数字仿真技术数字仿真技术控制系统的数学描述控制系统的数学描述 主要内容1.控制系统数学描述2.控制系统建模实例3.实现问题4.常微分方程数值解法5.数值算法中病态问题第2页 电气信息学院电气信息学院 数字仿真技术数字仿真技术控制系统的数学描述控制系统的数学描述 Outline1.控制系统数学描述1.1 控制系统数学模型表示形式1.2 数学模型转换1.3 线性时不变系统对象数据类型描述2.控制系统建模实例3.实现问题4.常微分方程数值解法5.数值算法中病态问题1.4 控制系统建模方法第3页 电气信息学院电气信息学院 数字仿真技术数字仿真技术控制系统的数学描述控制系统的数学描述 1.1 控制系统数学模型表示形式依据系统数学描述方法不一样，可建立不一样形式数学模型1 微分方程形式设线性定常系统输入、输出量是单变量，分别为u(t),y(t)模型参数形式为：输出系统向量 ，n+1维输入系统向量 ，m+1维(2-1)第4页 电气信息学院电气信息学院 数字仿真技术数字仿真技术控制系统的数学描述控制系统的数学描述 1.1 控制系统数学模型表示形式1 微分方程形式依据牛顿定律，写出其动力学方程则该系统微分方程形式：输出系统向量 A=m f k输入系统向量 B=1第5页 电气信息学院电气信息学院 数字仿真技术数字仿真技术控制系统的数学描述控制系统的数学描述 2 状态方程形式当控制系统输入、输出为多变量时，可用向量分别表示为U(t),Y(t),系统内部状态变量为X(t).模型参数形式为：系统系数矩阵A，系统输入矩阵B系统输出矩阵C，直接传输矩阵D简记为(A,B,C,D)形式。(2-2)1.1 控制系统数学模型表示形式第6页 电气信息学院电气信息学院 数字仿真技术数字仿真技术控制系统的数学描述控制系统的数学描述 1.1 控制系统数学模型表示形式2 状态方程形式依据牛顿定律，写出其动力学方程取系统状态变量为v,x：则状态方程形式可写作：第7页 电气信息学院电气信息学院 数字仿真技术数字仿真技术控制系统的数学描述控制系统的数学描述 3 传递函数形式在零初始条件下，将(2-1)方程两边进行拉氏变换，则有(2-4)模型参数可表示为传递函数分母系数向量传递函数分子系数向量用num=B,den=A分别表示分子，分母参数向量，则可简练表示为(num,den)，称为传递函数二对组模型参数1.1 控制系统数学模型表示形式第8页 电气信息学院电气信息学院 数字仿真技术数字仿真技术控制系统的数学描述控制系统的数学描述 1.1 控制系统数学模型表示形式3 传递函数形式依据得到微分方程对上式进行拉氏变换：经整理变得到传递函数：第9页 电气信息学院电气信息学院 数字仿真技术数字仿真技术控制系统的数学描述控制系统的数学描述 4 零极点增益形式将(2-4)中分子，分母分解为因式连乘形式，则有(2-6)模型参数可表示为系统零点向量：系统极点向量：简记为(Z,P,K)形式，称为零极点增益三对组模型参数。1.1 控制系统数学模型表示形式第10页 电气信息学院电气信息学院 数字仿真技术数字仿真技术控制系统的数学描述控制系统的数学描述 5 部分分式形式将传递函数表示为以下形式(2-7)模型参数可表示为极点留数向量：系统极点向量：余式系数向量：简记为(R,P,Q),称为极点留数模型参数。1.1 控制系统数学模型表示形式第11页 电气信息学院电气信息学院 数字仿真技术数字仿真技术控制系统的数学描述控制系统的数学描述 1.2 数学模型转换1 微分方程与传递函数形式二者模型参数向量完全一样。2传递函数与零极点增益形式Matlab函数tf2zp()和zp2tf()用来完成两种形式之间转换如 z,p,k=tf2zp(num,den);num,den=zp2tf(z,p,k)第12页 电气信息学院电气信息学院 数字仿真技术数字仿真技术控制系统的数学描述控制系统的数学描述 1.2 数学模型转换3 状态方程与传递函数或零极点增益形式ss2tf()和tf2ss用来状态方程与传递函数间转换如 num,den=ss2tf(A,B,C,D);A,B,C,D=tf2ss(num,den)同一传递函数状态方程不是唯一，上述转换函数只能实现可控标准型状态方程第13页 电气信息学院电气信息学院 数字仿真技术数字仿真技术控制系统的数学描述控制系统的数学描述 4 部分分式与传递函数或零极点增益形式ss2zp()和zp2ss用来状态方程与零极点增益形式间转换如 z,p,k=ss2tf(A,B,C,D);A,B,C,D=tf2ss(z,p,k)传递函数转化为部分分式形式关键在于求取极点留数可经过residue()函数来完成。如R,P,H=residue(num,den)num,den=residue(R,P,H)1.2 数学模型转换第14页 电气信息学院电气信息学院 数字仿真技术数字仿真技术控制系统的数学描述控制系统的数学描述 1.3 线性时不变系统对象数据类型描述新版Matlab语言中，添加了“对象数据类型”,能够用各种系统模型来建立。在工具箱中定义了线性时不变模型对象，即LTI对象。G=tf(num,den)能够用各种形式 G=zpk(Z,P,K)建立LTI对象模型 G=ss(A,B,C,D)也能够经过以下函数取得模型参数向量num,den=tfdata(G)A,B,C,D=ssdata(G)Z,P,K=zpkdata(G)第15页 电气信息学院电气信息学院 数字仿真技术数字仿真技术控制系统的数学描述控制系统的数学描述 1.4 控制系统建模基本方法1 机理模型法 采取由普通到特殊推理演绎方法，对已知结构，参数物理系统利用对应物理定律或定理，经过合理分析简化而建立起来描述系统各物理量动、静态改变性能数学模型。例：位置伺服闭环控制系统第16页 电气信息学院电气信息学院 数字仿真技术数字仿真技术控制系统的数学描述控制系统的数学描述 (1)同时误差检测器(2)放大器(3)直流电动机(4)测速发电机(5)负载输出1.4 控制系统建模基本方法第17页 电气信息学院电气信息学院 数字仿真技术数字仿真技术控制系统的数学描述控制系统的数学描述 该系统总传递函数GB(s)将各步骤连接起来组成系统总结构图1.4 控制系统建模基本方法第18页 电气信息学院电气信息学院 数字仿真技术数字仿真技术控制系统的数学描述控制系统的数学描述 2 统计模型法 采取由特殊到普通逻辑、归纳方法，依据一定数量在系统运行过程中实测、观察物理数据，利用统计规律、系统辨识等理论合理预计出反应实际系统各物理量相互制约关系数学模型。例：经过试验方法测得某系统开环频率响应，来建立该系统开环传递函数模型1.4 控制系统建模基本方法第19页 电气信息学院电气信息学院 数字仿真技术数字仿真技术控制系统的数学描述控制系统的数学描述 (1)由已知数据绘制该系统开环频率响应bode图(2)用20dB/dec及其倍数折线迫近幅频特征，得到两个转折频率对应惯性步骤时间常数为(3)由低频幅频特征可知1.4 控制系统建模基本方法第20页 电气信息学院电气信息学院 数字仿真技术数字仿真技术控制系统的数学描述控制系统的数学描述 (4)由高频段相频特征知，该系统存在纯滞后步骤，为非最小相位系统，系统开环传递函数应为以下形式(5)确定纯滞后时间值再查图中(6)最终求得该系统开环传递函数模型G(s)为1.4 控制系统建模基本方法第21页 电气信息学院电气信息学院 数字仿真技术数字仿真技术控制系统的数学描述控制系统的数学描述 3 混合模型法当对控制内部结构和特征有部分了解，但又难以完全用机理模型方法表述出来，这是需要结合一定试验方法确定另外一部分不甚了解结构特征，或是经过实际测定来求取模型参数。这种方法是机理模型法和统计模型法结合，故称为混合模型法。总之 不论采取何种建模方法，其实质就是设法获取相关系统尽可能多信息并经过恰当信息处理而得到对系统准确合理描述。上述三种建模方法只是信息处理过程不一样而已，在实际建模过程中应灵活掌握应用。1.4 控制系统建模基本方法第22页 电气信息学院电气信息学院 数字仿真技术数字仿真技术控制系统的数学描述控制系统的数学描述 Outline1.控制系统数学描述2.1 独轮自行车实物仿真问题2.2 龙门起重机运动控制问题2.3 水箱液位控制问题2.控制系统建模实例3.实现问题4.常微分方程数值解法5.数值算法中病态问题2.4 燃煤热水锅炉控制问题第23页 电气信息学院电气信息学院 数字仿真技术数字仿真技术控制系统的数学描述控制系统的数学描述 2.1 独轮自行车实物仿真问题单一刚性铰链，两自由度动力学问题问题提出：独轮自行车，机器人行走过程中平衡控制，火箭发射中垂直度控制，卫星飞行中姿态控制，海上钻井平台稳定控制，飞机安全着陆控制。第24页 电气信息学院电气信息学院 数字仿真技术数字仿真技术控制系统的数学描述控制系统的数学描述 1)摆杆绕其中心转动方程为2)摆杆重心水平运动可能描述为3)摆杆中心在垂直方向上运动可描述为4)小车水平方向运动可描述为2.1 独轮自行车实物仿真问题第25页 电气信息学院电气信息学院 数字仿真技术数字仿真技术控制系统的数学描述控制系统的数学描述 准确模型：在平衡点附近线性化：平衡点附近=02.1 独轮自行车实物仿真问题第26页 电气信息学院电气信息学院 数字仿真技术数字仿真技术控制系统的数学描述控制系统的数学描述 线性化后模型可写为：2.1 独轮自行车实物仿真问题给定直线摆参数后可得到模型：第27页 电气信息学院电气信息学院 数字仿真技术数字仿真技术控制系统的数学描述控制系统的数学描述 对上述微分方程模型经过上一节变换能够得到一阶直线倒立摆系统微分方程，传递函数和状态方程三种形式。2.1 独轮自行车实物仿真问题F(s)(s)X(s)系统动态结构图可表示为第28页 电气信息学院电气信息学院 数字仿真技术数字仿真技术控制系统的数学描述控制系统的数学描述 2.2 龙门起重机运动控制问题起重机系统物理抽象模型 起重机广泛用于当代工厂，安装工地和集装箱货场以及室内外仓库装卸与运输作业。不过因为吊车采取柔性体代替刚体工作，带来负载摆动负面影响，故需要研究吊车防摆控制。第29页 电气信息学院电气信息学院 数字仿真技术数字仿真技术控制系统的数学描述控制系统的数学描述 拉格朗日分析力学小车和重物位置小车和重物速度分量2.2 龙门起重机运动控制问题第30页 电气信息学院电气信息学院 数字仿真技术数字仿真技术控制系统的数学描述控制系统的数学描述 系统拉格朗日方程为：系统动能：2.2 龙门起重机运动控制问题第31页 电气信息学院电气信息学院 数字仿真技术数字仿真技术控制系统的数学描述控制系统的数学描述 吊车系统运动方程：不考虑绳长改变，系统退化为两自由度，上述模型变为：2.2 龙门起重机运动控制问题第32页 电气信息学院电气信息学院 数字仿真技术数字仿真技术控制系统的数学描述控制系统的数学描述 考虑实际运行中摆角改变较小，平衡位置=0，所以可将上述模型在平衡位置点进行线性化简化：2.2 龙门起重机运动控制问题化简并进行拉氏变换可得：第33页 电气信息学院电气信息学院 数字仿真技术数字仿真技术控制系统的数学描述控制系统的数学描述 2.2 龙门起重机运动控制问题系统动态结构图可表示为对前微分方程组进行变换得：第34页 电气信息学院电气信息学院 数字仿真技术数字仿真技术控制系统的数学描述控制系统的数学描述 2.2 龙门起重机运动控制问题取 为系统状态变量X，为系统输出Y则系统状态空间描述方程可写为：第35页 电气信息学院电气信息学院 数字仿真技术数字仿真技术控制系统的数学描述控制系统的数学描述 2.3 水箱液位控制问题1.问题提出：工业过程控制领域中，诸如电站锅炉气泡水位控制，化学反应釜液位控制，化工配料系统液位控制等问题，均可等效为水箱液位控制问题。第36页 电气信息学院电气信息学院 数字仿真技术数字仿真技术控制系统的数学描述控制系统的数学描述 2.建模机理：(1)雷诺系数(2)紊流(3)层流 当液体雷诺系数Re，流体流态称为紊流。紊流表征了流体在传递中有能量损失，质点运动紊乱(有横向分量)当液体雷诺系数Re04.3 关于数值积分法几点讨论第67页 电气信息学院电气信息学院 数字仿真技术数字仿真技术控制系统的数学描述控制系统的数学描述 4.数值算法选取Matlab工具箱提过了以下惯用数值算法-Euler法-2/3阶Runge-Kutta法-4/5阶Runge-Kutta法-Adams预报-校正法-Gear预报-校正法选取标准：1）精度：截断误差，舍入误差，累计误差2）计算速度3）稳定性4.3 关于数值积分法几点讨论第68页 电气信息学院电气信息学院 数字仿真技术数字仿真技术控制系统的数学描述控制系统的数学描述 Outline1.控制系统数学描述5.2 控制系统仿真中“病态”问题5.3 “病态”系统仿真方法2.控制系统建模实例3.实现问题4.常微分方程数值解法5.数值算法中病态问题5.1“病态常微分方程”第69页 电气信息学院电气信息学院 数字仿真技术数字仿真技术控制系统的数学描述控制系统的数学描述 5.1“病态”常微分方程例：其中采取四阶龙格库塔法h=0.01时h=0.04时当h0.05后，曲线发散振荡，数值不稳定系统矩阵特征值差异较大第70页 电气信息学院电气信息学院 数字仿真技术数字仿真技术控制系统的数学描述控制系统的数学描述 普通线性常微分方程组：系数矩阵A特征值含有以下特征：则称为“病态”方程。对于非线性方程若其雅克比阵特征值也含有如上特征，该非线性方程也为病态方程。5.1“病态”常微分方程第71页 电气信息学院电气信息学院 数字仿真技术数字仿真技术控制系统的数学描述控制系统的数学描述 5.2 控制系统仿真中“病态”问题1 病态系统中绝对值最大特征值对应于系统动态性能解中瞬态分量衰减最快部分，它反应了系统动态响应和系统反应灵敏度。普通与系统中含有最小时间常数Tmin步骤相关，要求计算步长h取得很小。2 病态系统中绝对值最小特征值对应于系统动态性能解中瞬态分量衰减最慢部分，它决定了整个系统动态过渡过程时间长短。普通与系统中含有最小时间常数Tmax步骤相关，要求计算步长h取得很大。3 对于病态问题仿真需要寻求愈加合理算法，以处理病态系统带来选取计算步长与计算精度，计算时间之间矛盾。第72页 电气信息学院电气信息学院 数字仿真技术数字仿真技术控制系统的数学描述控制系统的数学描述 5.3 “病态”系统仿真方法采取稳定性好，计算精度高数值算法，而且允许计算步长能依据系统性能动态改变情况在一定范围内作对应改变，采取隐式吉尔法该法已经证实对病态方程求解过程是数值稳定。第73页 电气信息学院电气信息学院 数字仿真技术数字仿真技术控制系统的数学描述控制系统的数学描述 隐式吉尔法从理论上十分适应于病态系统，但需要处理好以下问题(1)自开启 r阶多步算式无法自开启，需要用单步法求出前r步值(2)预估迭代 迭代方法要求收敛性良好，不然在大步长时会造成数 值发散。(3)变步长 初始阶段采取小步长，随即可逐步放大步长。对不一样精度要求系统仿真，要考虑变阶次问题，即为减小每一步计算截断误差，以提升精度，应选取较高阶次，而当精度较低时，为降低工作量，则应选取较低阶次。仿真时应依据预计误差 与给定误差精度相比较改变步长或阶次来重新计算。5.3 “病态”系统仿真方法第74页 电气信息学院电气信息学院 数字仿真技术数字仿真技术控制系统的数学描述控制系统的数学描述 小结小结1)控制系统数学模型是对系统进行计算机仿真基础。本章介绍了线性系统微分方程、状态方程、传递函数、零极点增益和部分分式等数学模型表示方法和对应模型参数表示方法。2)为使所建立模型方程方便应用MATLAB语言进行处理，模型参数采取MATLAB语言控制工具箱中对应格式，即 微分方程、传递函数：(num,den)零极点增益：(Z,P,K)部分分式：(R,P,H)状态方程：(A,B,C,D)第75页 电气信息学院电气信息学院 数字仿真技术数字仿真技术控制系统的数学描述控制系统的数学描述 小结小结3)数学模型各种形式是为适应不一样分析与设计要求而建立，它们之间均能够经过一定方法相互转换。MATLAB语言为此提供了方便可靠数学模型转换函数ss2tf()、tf2ss()、tf2zp()等。4)控制系统建模普通采取机理法，统计法和混正当，又称之为一次模型化。需要依据对系统内部结构、特征或是外部输入、输出数据了解和掌握程度，确定采取何种建模方法更能准确反应系统中各物理量改变规律动力学特征。系统建模对最终数字仿真结果有直接影响，应给予充分重视。第76页 电气信息学院电气信息学院 数字仿真技术数字仿真技术控制系统的数学描述控制系统的数学描述 小结小结5)实现问题就是依据控制系统传递函数描述求取其对应状态空间描述；计算机仿真技术实现问题更详细，就是将一次模型化得到系统数学模型，再加以二次模型化，得到可在数字计算机上运行求解仿真模型。6)数值积分是计算机求解一阶微分方程有效伎俩。欧拉法最简单易行，且是其它各种数值积分算法基础，但其截断误差大，不能满足普通工程精度要求；龙格库塔法是控制系统仿真最惯用算法，能够依据对仿真精度不一样要求，选取对应阶次，普通情况下采取三阶或四阶龙格库塔法以能满足较高精度需要。数值积分单步于多步、显式与隐式等各种方法各有特点，应依据需要灵活使用。第77页 电气信息学院电气信息学院 数字仿真技术数字仿真技术控制系统的数学描述控制系统的数学描述 小结小结7)数值稳定性问题是指数值计算过程中，各种误差等积累能否得到很好抑制，是否不会伴随计算时间增加而不停增大，所得数值结果是否迫近实际结果等。经过试验方程式能够对数值积分方法稳定性做出判断，大致预计出不一样方法对计算步长h限制范围。对h无限制方法，称无条件恒稳格式；对h有限制方法，则称条件稳定格式。8)选取数值算法应从精度、计算速度和稳定性三个方面要求来综合考虑。首先确保算法数值稳定性，其次是满足精度要求，然后再尽可能提升计算速度，降低计算步骤和计算时间。第78页 电气信息学院电气信息学院 数字仿真技术数字仿真技术控制系统的数学描述控制系统的数学描述 小结小结9)“病态”系统因为其系统特征值之间实部绝对值相差过大，造成对所用算法数值稳定性要求很高，对步长选取非常敏感，故求解“病态”系统需要采取稳定性好、精度高，能自动变步长数值积分法。隐式吉尔法是含有以上特点惯用算法之一。第79页 电气信息学院电气信息学院 数字仿真技术数字仿真技术控制系统的数学描述控制系统的数学描述 本章内容结束 谢谢大家第80页